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MATRIZ INVERSA

MATRIZ INVERSA. Bloque I * Tema 024. MATRIZ INVERSA. Dada la matriz cuadrada A=(aij) de orden n, se llama matriz inversa de A aquella que cumple, si es que existe : A . A – 1 = A – 1 . A = I , siendo I la matriz identidad. PROPIEDADES

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  1. MATRIZ INVERSA Bloque I * Tema 024 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. MATRIZ INVERSA • Dada la matriz cuadrada A=(aij) de orden n, se llama matriz inversa de A aquella que cumple, si es que existe : • A . A – 1 = A – 1. A = I , siendo I la matriz identidad. • PROPIEDADES • La inversa de la inversa es la matriz dada. • La inversa de un producto (si existe) es el producto de las inversas (si existen). • La transpuesta de una matriz inversa es la inversa (si existe) de la matriz transpuesta. • Si A.X = B, siendo A y B matrices … • X = B / A, pero como no se pueden dividir matrices … • 1 • X = ----. B , donde 1 / A = A-1 es la matriz inversa. • A Matemáticas Acceso a CFGS

  3. CALCULO MATRIZ INVERSA • MÉTODO DIRECTO • Dada la matriz de orden 2: 3 4 -1 x y • A = , hay que hallar A = • 5 6 z t • -1 • Como A . A = I , efectuamos el producto de matrices e identificamos elementos, quedándonos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que hay que resolver. • 3.x + 4.z = 1 3.x + 4.z = 1 • 3.y + 4.t = 0 3.y + 4.t = 0 • 5.x + 6.z = 0 5.x + 6.z = 0 • 5.y + 6.t = 1 5.y + 6.t = 1 • Si el sistema es incompatible, entonces no existe la matriz inversa. Matemáticas Acceso a CFGS

  4. ... MÉTODO DIRECTO • Resolviéndolo: • 15.x + 20.z = 5 2.z = 5  z = 5 / 2 • 15.y + 20.t = 0 x = - 45 / 15  x = -3 • 15.x + 18.z = 0 2.t = - 3  t = - 3 / 2 • 15.y + 18.t = 3 y = 30 / 15  y = 2 • Podemos comprobar que A.A-1=A-1.A = I • 3 4 -3 2 -9+10 6-6 1 0 • 5 6 . 5/2 -3/2 = -15+15 10-9 = 0 1 • -3 2 3 4 -9+10 -12+12 1 0 • 5/2 -3/2 . 5 6 = 15/2-15/2 10-9 = 0 1 Matemáticas Acceso a CFGS

  5. Calculo matriz inversa • MÉTODO DE GAUSS-JORDAN • Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. • Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. • Es decir: (A | I) las mismas operaciones en ambas  ( I | A – 1 ) Matemáticas Acceso a CFGS

  6. Ejemplo: Dada la matriz de orden 2: 3 4 -1 x y A = , hay que hallar A = -1 5 6 z t Como A . A = I , aplicamos el método de Gauss.Jordan: 3 4 1 0 que es ( A | I ) 5 6 0 1 • Divido la primera fila entre 3 . Queda: • 1 4/3 1/3 0 • 5 6 0 1 • A la segunda fila la resto 5 veces la primera. Queda: • 1 4/3 1/3 0 • 0 -2/3 -5/3 1 Matemáticas Acceso a CFGS

  7. A la primera fila la sumo dos veces la segunda. Queda: • 1 0 - 3 2 • 0 -2/3 -5/3 1 • Finalmente divido la segunda fila por -2/3. Queda: • 1 0 - 3 2 • 0 1 5/2 -3/2 • Queda: • -1 - 3 2 • A • 5/2 - 3/2 • Que es la matriz inversa. Matemáticas Acceso a CFGS

  8. Otro Ejemplo: • Dada la matriz de orden 3: 3 4 0 -1 • A = -2 1 -1 , hay que hallar A • 5 0 6 • 3 4 0 1 0 0 • -2 1 -1 0 1 0 que es ( A | I ) • 5 0 6 0 0 1 • Divido la primera fila entre 3. Queda: • 1 4/3 0 1/3 0 0 • -2 1 -1 0 1 0 • 5 0 6 0 0 1 • A la F2 la sumo 2xF1 y a la F3 le resto 5xF1. Queda: • 1 4/3 0 1/3 0 0 • 0 11/3 -1 2/3 1 0 • 0 -20/3 6 -5/3 0 1 Matemáticas Acceso a CFGS

  9. A la F3 la sumo 2xF2. Queda: • 1 4/3 0 1/3 0 0 • 0 11/3 -1 2/3 1 0 • 0 0 4 -1/3 2 1 • A la F3 la divido entre 4 y a la F2 la sumo la nueva F3. Queda: • 1 4/3 0 1/3 0 0 • 0 11/3 0 7/12 3/2 1/4 • 0 0 1 -1/12 1/2 1/4 • A F1 le resto 4/11 de F2. Queda: • 1 0 0 4/33 -6/11 -1/11 • 0 11/3 0 7/12 3/2 1/4 • 0 0 1 -1/12 1/2 1/4 • Y por último divido F2 entre 11/3. Queda: • 1 0 0 4/33 -6/11 -1/11 • 0 1 0 7/44 9/22 3/44 • 0 0 1 -1/12 1/2 1/4 Matemáticas Acceso a CFGS

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