Proporcionalidade Inversa

1. Proporcionalidade Inversa

2. Actividade: Com 12 quadradinhos iguais, com 1 cm de lado, constrói vários retângulos, todos com a mesma área. Recorda: Área do rectângulo = base x altura

3. Preenche a seguinte tabela:

4. Assim,

5. Que relação existe entre a variação da base e da altura de cada rectângulo? Verifica-se que quando uma das dimensões duplica, a outra reduz-se a metade; quando uma triplica, a outra reduz-se à terça parte,... Conclusão: Ao aumento da base corresponde uma diminuição da altura na mesma proporção e vice-versa

6. Repara que: O produto das duas dimensões é constante: base x altura =12 • Grandezas desta forma dizem-se inversamente proporcionais. • Designando: • x medida da base e • y medida da altura • A relaçãoxx y= 12é uma proporcionalidade inversa • 12 é aconstante de proporcionalidade

7. Recorda: Uma Função é uma correspondência entre dois conjuntos A e B, tal que a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B

8. Pela observação do gráfico e da tabela verificámos que a cada valor de x corresponde um único valor de y. Logo, y é função de x.

9. Podemos “arrumar” os rectângulos de área 12 e dimensões inteiras num gráfico: Verificamos que os pontos estão sobre uma curva a que se chama hipérbole

10. Será que com as coordenadas de outros pontos do gráfico é possivel descobrir mais rectângulos de área 12? ´ = Û x y 12 12 = y x Repara que: Conhecendo a base, a altura é dada por:

11. 1,5 8 2,5 4,8 7,5 1,6 Vejamos alguns exemplos:

12. Vamos “arrumar” estes novos rectângulos no nosso gráfico:

13. Actividade: • Já representámos gráficamente a função de proporcionalidade inversa • x • sabendo que x é um número positivo (representa uma medida de comprimento). 12 = y x • Representa gráficamente a função sabendo que x é um número relativo qualquer diferente de zero.

14. 12 = y x Resolução: Como x é um número relativo qualquer, diferente de zero vamos-lhe atribuir valores positivos e negativos.

15. De um modo geral, • O gráfico de uma função de proporcionalidade inversa é sempre uma hipérbole. • Repara que a hipérbole passa pelo ponto (1,k). • K é a constante de proporcionalidade. • Numa função cujo domínio é apenas o conjunto dos números positivos ou apenas o conjunto dos números negativos, o gráfico é apenas um ramo da hipérbole.

16. Repara que: • No gráfico de uma proporcionalidade inversa, o produto das coordenadas de qualquer ponto é sempre o mesmo – a constante de proporcionalidade. • Uma função de proporcionalidade inversa pode ser representada por uma expressão analítica, por uma tabela ou por um gráfico.

17. Duas variáveis x e y são inversamente proporcionais quando o produto de quaisquer dois valores correspondentes é constante e diferente de zero. x x y= k ou y=k/x (k constante diferente de zero) K é a constante de proporcionalidade inversa. De um modo geral,

18. Fim