FUNÇÃO INVERSA

1. FUNÇÃO INVERSA Conteúdo: Profª Maria Cristina Kessler Implementação: Prof. Claudio Gilberto de Paula

2. DICAS PARA USAR ESTE CADERNO • Para continuar trabalhando: • Para recomeçar do início da apresentação: clique na tecla F5. • Para continuar do ponto onde parou: clique shift + F5 Neste caderno de exercícios você pode escrever nestas caixas. Note que isto só é possível no modo de apresentação. Se o tamanho da caixa parecer pequeno, para o que você pretende escrever, não se preocupe pois ela irá se adequar ao texto. Consulte também o material disponível no site do Ensino Propulsor. Bom trabalho! Para salvar o que escreveu você deve: 1 - Sair do modo de apresentação (clicando no botão esc ); 2 – Salvar.

3. Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra. FUNÇÃO INVERSA Dada uma função f, dizemos que ela é invertível quando podemos determinar outra função g que "desfaz o serviço de f". Nesse caso, g é denominada a função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g. Normalmente, a função inversa de f é representada por f-1. f Dom f Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a função g que, a cada y na imagem de f associa o x inicial no domínio de f. Em linguagem simples, “o x vira y e o y vira x”. Pergunta: Dada uma função f, como fazemos, na prática, para determinar sua inversa? Vejamos: se temos a função f, significa que para cada valor da variável independente x obtemos, em correspondência, um valor para a variável dependente y. Dom g = Im f Im g = Dom f

4. FUNÇÃO INVERSA Vamos agora encontrar a função inversa trocando o y pelo x e vice-versa: Vejamos a função representada no diagrama abaixo: A A B B 1 3 s4 1 3 2 5 5 2 3 7 7 3 4 9 9 4 Observe o domínio da função: Agora o domínio da função é: B = {3,5,7,9} e o conjunto imagem A = {1,2,3,4}. A = {1,2,3,4} Observe o conjunto imagem da função: B = {3,5,7,9} O contradomínio da função: A Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y: Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y: Clique para conferir . Y = Clique aqui para conferir . Y =

5. OBSERVE QUE: Para encontrarmos a função inversa de f(x), a f-1 (x) devemos realizar as seguintes etapas: O domínio de f é a imagem de f -1 = imagem de f domínio de f -1 Imagem de f -1 = domínio de f 1 a imagem de f é o domínio de f -1 trocar x por y e y por x; Considerando a função y = 2x+1, fica : Tudo isso sugere as seguintes relações: x = 2y + 1 isolar novamente o y, deixando-o em função de x. 2 ou seja f-1(x) =

6. EXEMPLO Considerando a função f(x) = x+2, encontre f-1(x). Utilizando o winplot construa o gráfico de f(x) e da sua inversa e cole-o no espaço ao lado. Observe que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta y = x (função identidade). Clique aqui para conferir a resposta.

7. EXERCÍCIOS Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x). s7 1) y = 2x+3 Clique aqui para conferir a resposta.

8. EXERCÍCIOS Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x). 2) y = x+4 Clique aqui para conferir a resposta.

9. EXERCÍCIOS Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x). 3) y = x³ Clique aqui para conferir a resposta.

10. Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa: Se fôssemos agora tentar encontrar a inversa, trocando o x pelo y, teríamos: Vejamos a função representada no diagrama abaixo: 1 2 1 2 condiçõs 4 2 2 4 6 3 3 6 8 8 Observe que não temos uma função, pois o elemento 8 não tem correspondente no conjunto B. O domínio da função: Dom f {1,2,3} e o conjunto imagem {2,4,6}. Neste exemplo o conjunto imagem não é igual ao contradomínio da função. RECORDE A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B. Cont f : {2,4,6,8}.

11. Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas: 1 A função precisa ser sobrejetora -1 1 Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função. 1 -2 4 condiçõs1 Analisaremos agora outra situação a partir do diagrama abaixo: 2 Observe que este conjunto de pares ordenados não representa uma função. -1 1 {(1,-1); (1,1), (4, -2); (4,2)} 1 Os elementos 1 e 4 apresentam duas imagens, o que contraria a definição de função. -2 4 2 RECORDE A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B. Na tentativa de encontrar a inversa, troca-se o x pelo y.

12. Desta forma temos outra condição a ser cumprida: 2 Vejamos o seguinte exemplo: A função precisa ser injetora Considere-se a função f(x) = x² Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens. Esta função, f: R→R com imagem de [0, +∞), não admite inversa pois não é injetora, mas se restringíssemos o domínio da função para f: [0, +∞) →[0, +∞)? condiçõs2 Conclusão: Para que uma função admita inversa ela precisa ser bijetora. sobrejetora+ injetora. Desta forma a função f: [0, +∞) → [0, +∞) com y = x² terá como inversa a função y = + É preciso ficar claro que se uma função não for invertível, é possível estabelecer uma restrição, ou seja, restringir o domínio de tal modo que a função definida nesse novo domínio o seja.

13. Observe os gráficos de f(x)= x² , da sua inversa f-1(x) e de y = x. condic3 AGORA VAMOS FAZER ALGUNS EXERCÍCIOS

14. EXERCÍCIOS y = x² + 1 1 a) Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo, estabelecendo, quando necessário, uma restrição. b) Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x). c) Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. Exerc.1 Dom f: Im f: Im f-1 Dom f-1 Clique aqui para conferir .

15. EXERCÍCIOS y = x² - 3 2 Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo estabelecendo, quando necessário uma restrição. Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x). Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. Exerc.2 Dom f: Dom f-1 Im f-1 Im f: Clique aqui para conferir .

16. RESPOSTA: Resp 1 y = 2x+1

17. RESPOSTA: Resp 2

18. RESPOSTA: 1) f = 2x+3 Resp 3

19. RESPOSTA: 2) f = x+4 Resp 3a f-1 = x+4

20. RESPOSTA: 3) y = x³ Resp 3aa

21. RESPOSTA: 1 Resp 4 Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [1, +∞) Im f: [1, +∞) Im f-1: [0,+∞)

22. 2 RESPOSTA: Resp5 Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [-3, +∞) Im f: [-3, +∞) Im f-1: [0,+∞)

23. RESPOSTA: 1) f = 2x+1 Resp 3