• 200 likes • 642 Views
Determinantes e o Teorema de Laplace. Profª Débora Bastos IFRS – Campus Rio Grande. Dê dois cliques. Determinante de ordem 3. Produtos possíveis: a 1 b 2 c 3 0 inversão Adição a 2 b 3 c 1 2 inversões Adição a 3 b 1 c 2 2 inversões Adição
E N D
Determinantes e o Teorema de Laplace Profª Débora Bastos IFRS – Campus Rio Grande
Dê dois cliques. Determinante de ordem 3 • Produtos possíveis: • a1b2c3 0 inversão Adição • a2b3c1 2 inversões Adição • a3b1c2 2 inversões Adição • a3b2c1 1 inversão Subtração • a2b1c3 1 inversão Subtração • a1b3c2 1 inversão Subtração • detA = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
Dê dois cliques. Teorema de Laplace • Laplace define um método que diz quando os produtos são adicionados ou subtraídos e como fazer esses produtos de maneira mais fácil. No caso ele associou a determinantes de ordem n-1, quando calculamos determinantes de ordem n.
Dê dois cliques. Determinante de ordem 4 • Produtos com a1: • a1b2c3d4 0 inversão adição • a1b4c2d3 2 inversões adição • a1b3c4d2 2 inversões adição • a1b4c3d2 1 inversão subtração • a1b3c2d4 1 inversão subtração • a1b2c4d3 1 inversão subtração • a1b2c3d4 + a1b4c2d3 + a1b3c4d2 – a1b4c3d2 – a1b3c2d4 – a1b2c4d3 = ...
Dê dois cliques. Produtos com a1 • Colocando a1 em evidência, teremos uma parte do determinante que queremos: • a1(b2c3d4+ b4c2d3+ b3c4d2 b4c3d2 b3c2d4 b2c4d3) = • Faça o determinante de ordem 3 para testar.
Dê dois cliques. Produtos com a2 • a2b1c3d4 1 inversão Subtração • a2b3c4d1 3 inversões Subtração • a2b4c1d3 3 inversões Subtração • a2b4c3d1 2 inversões Adição • a2b3c1d4 2 inversões Adição • a2b1c4d3 2 inversões Adição • – a2b1c3d4 – a2b3c4d1 – a2b4c1d3 + a2b4c3d1 + a2b3c1d4 + a2b1c4d3 = • = – (a2b1c3d4 + a2b3c4d1 + a2b4c1d3–a2b4c3d1 –a2b3c1d4 – a2b1c4d3)=....
Dê dois cliques. Produtos com a2 • = –a2(b1c3d4+ b3c4d1+ b4c1d3 –b4c3d1 – b3c1d4 –b1c4d3)=
Dê dois cliques. Produtos com a3 e com a4 • Analogamente fazendo os produtos possíveis com a3 e a4, teremos: • Ou seja, o determinante de ordem 4 pode ser escrito como
Teorema de laplace Dê dois cliques. • .... • Laplace generalizou o processo para qualquer ordem, com exceção da ordem 1. • Notações de Laplace: • 1) Submatrizes: • Mij é uma matriz extraída de uma de ordem n retirando desta a linha i e a coluna j. • Exemplo na matriz de ordem 4:
Teorema de Laplace Dê dois cliques. • 2) Cofatores. • Aij = (– 1)i+jdetMij • A cada elemento de uma submatriz está associado um cofator que nada mais é que o determinante da submatriz com o sinal trocado ou não. • Se a soma de i com j é par então o cofator não troca o sinal do determinante da submatriz. • O cofator já nos diz quando precisamos somar ou subtrair os produtos. • Quando somamos? Quando a soma de i com j é par. • Quando subtraímos? Quando a soma de i com j é ímpar. • No caso de A11 e A31 o sinal do determinante da submatriz permanece, no caso de A21 e A41 o sinal do determinante da submatriz fica trocado.
enunciado do teorema de laplace Dê dois cliques. • Escolhida uma fila (linha ou coluna) da matriz faz-se a soma dos produtos dos elementos dessa fila pelos seus cofatores. • Exemplo do determinante de ordem 4: • detA=a1A11 + a2A21+a3A31 + a4A41 = a1detM11 – a2detM21 +a3detM31 – a4detM41 =
Observações • A fila escolhida não altera o resultado do determinante. • Faça uma escolha inteligente que diminua o número de cálculos, por exemplo, escolher a fila que possuir mais elementos nulos, pois os cofatores que multiplicarem os elementos nulos não precisam ser calculados, já que qualquer número vezes 0 é 0.