Teorema de Tales

1. Teorema de Tales Colégio Jardim São Paulo Prof. Mauricio Boni

2. Feixe de paralelas Um conjunto de três ou mais retas paralelas de um plano chama-se feixe de paralelas. Uma reta que corta um feixe de paralelas é chamada de transversal.

3. Feixe de paralelas Na figura a seguir, considerando r // s // t, e supondo AB = BC, vamos provar que DE = EF. A D r Primeiro, traçamos por D o segmento DX // AC e por E o segmento EY // AC. X B E s Y C F t Agora, temos que os quadriláteros ABXD e BCYE são paralelogramos e, portanto, DX = AB e EY = BC. Como, por hipótese, AB = BC, temos DX = EY. Agora, observando os triângulos DXE e EYF, temos que os ângulos XDE e YEF são correspondentes e os ângulos DEX e EFY também são congruentes. Logo, os triângulos são congruentes pelo lado LAAO. Portanto, DE = EF. Então, se um feixe de paralelas determina sobre uma transversal segmentos congruentes, então esse feixe determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.

4. Teorema de Tales Na figura a seguir, vamos considerar que r // s // t. u A D Suponha que os segmentos AB e BC são tais que AB = 3u e BC = 4u. u r u u B E u Então, temos que AB 3 BC 4 s = u u C F Se traçarmos retas paralelas ao feixe pelos pontos de divisão de AB e BC, teremos que DE 3 EF 4 t = Então, AB, BC, DE e EF são proporcionais, nessa ordem. Portanto, um feixe de paralelas determina segmentos proporcionais sobre retas transversais a esse feixe.

5. Teorema de Tales – um exemplo de exercício Considerando r // s // t, determine o valor de x. x 10 r 18 x + 4 s t