Problemlösen im Mathematikunterricht

1. Problemlösen im Mathematikunterricht Michael Rüsing B. M. V. – Schule Bardelebenstraße 9 45147 Essen michael@ruesing-essen.de

2. Voraussetzungen • Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen • Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein • Problemlösestrategien können in allen Gebieten der Mathematik erfahren und eingeübt werden • Schulbuchaufgaben müssen Anlässe zum Problemlösen bieten

4. Klasse 6: -  wenden die heuristischen Strategien „Beispiele finden“, „Überprüfen durch Probieren“, „Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Fälle“ an -  übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme, Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme) Klasse 8: -  überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen -  wenden die heuristischen Strategien „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an und variieren damit die Problemstellung -  nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung Klasse 10: -  zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme -  nutzen verschiedene heuristische Strategien („Zerlegen“, „Analogie bilden“, „Zurückführen auf Bekanntes“, „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“) und bewerten ihre Praktikabilität

5. Problemlösen im Mathematikunterricht (Problemlösen im weiteren Sinne) • Problem findenSchülerinnen und Schüler entdecken Probleme und Fragestellungen in inner- wie außermathematischen Kontexten. Hierbei erfassen sie die Problemsituation genauer und bewerten, ob eine Frage interessant und verfolgenswert erscheint. • Problem lösen(Problemlösen im engeren Sinne)Schülerinnen und Schüler setzen ihre erworbenen Kompetenzen in neuer Weise oder in neuer Kombination ein, um ein selbst gesetztes oder vorgegebenes Ziel zu erreichen. Hierbei werden vorhandene Kompetenzen oder bekannte Begriffe zugleich gefestigt und flexibilisiert.

6. Problemlösen im Mathematikunterricht (Problemlösen im weiteren Sinne) • Problem weiterentwickelnDie Suche nach einer Problemlösung führt auf neue oder allgemeinere Ideen oder auf weiterführende Probleme. Hierbei entstehen neue mathematische Begriffe und Verfahren. aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

7. Warum Problemlösen? • Durch Problemlösen wird Mathematik selbstständig entwickelt • Probleme schaffen Anknüpfungspunkte für das Behalten und Erinnern • Problemlösen ist Schlüsselkompetenz • Problemlösen vermittelt Erfolgserlebnisse (Aha-Erlebnisse) aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

8. Kriterien für gute Probleme • Ein Problem führt auf allgemeinere mathematische Ideen und macht übergreifende Zusammenhänge verständlich. Dabei macht es gegebenenfalls neue Begriffsbildungen nötig und zugleich einsichtig. • Ein Problem gibt Anlass zu divergentem Arbeiten und individuellen Erkundungen. Dabei sollte es vor allem unterschiedliche Ansätze –auch auf unterschiedlichem Niveau- erlauben.

9. Kriterien für gute Probleme • Ein Problem bietet einen (inner- oder außermathematischen) Kontext für ein mathematisches Konzept. Dabei sollte es vor allem leicht zugänglich sein, die Problemsituation muss den Lernenden unmittelbar verständlich sein. • Ein Problem besteht aus einer Situation, in der Schülerinnen und Schüler erst die Strategie selbst entwickeln müssen. Dabei können sie aus vorhandenen Kenntnissen schöpfen und diese neu kombinieren. aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

10. Wie gestaltet man einen problemlösenden Unterricht? • ••• • Schließlich müssen Schülerinnen und Schüler fortschreitend auch effektive Problemlösestrategien und hilfreiche Arbeitstechniken entwickeln. Diese können sukzessive im Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden. Insbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schülern keineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit Versuch und Irrtum und Spezialfällen arbeiten darf. • ••• aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

11. Wie gestaltet man einen problemlösenden Unterricht? • ••• • Schließlich müssen Schülerinnen und Schüler fortschreitend auch effektive Problemlösestrategien und hilfreiche Arbeitstechniken entwickeln. Diese können sukzessive im Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden. Insbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schülern keineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit Versuch und Irrtum und Spezialfällen arbeiten darf. • ••• aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

12. Abgrenzung Problemlösen - Modellieren (so wie es die Kernlehrpläne in NRW verstehen) Modellieren: Arbeiten in außermathematischen Kontexten Problemlösen: Arbeiten in innermathematischen Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist

14. Heuristische Strategien sind • niemals Selbstzweck • immer ein Angebot • keine Garantie auf Erfolg • nicht eindeutig der Aufgabe zuzuordnen • nur durch eigenes Handeln erlernbar

15. Aufgabenbeispiel Ria, Sarah und Tom spielen ein Spiel. Zu Anfang wählen sie drei ganze Zahlen a, b und c mit a > b > c > 0. Dann spielen sie mehrere Runden des Spiels; in jeder Runde gilt: Einer der drei wird Erster und bekommt a Punkte, ein anderer wird Zweiter und bekommt b Punkte, der dritte wird Letzter und bekommt c Punkte. Außerdem wird noch als bekannt vorausgesetzt: In der zweiten Runde hatte Sarah a Punkte bekommen. Der Endstand lautete: Ria 20 Punkte, Sarah 10 Punkte, Tom 9 Punkte. • Weise nach, dass genau drei Runden gespielt wurden. • Wer gewann die erste Runde? • Wie viele Punkte erzielte Tom in der letzten Runde?

16. Lösungshinweise Gesamtzahl der erreichten Punkte: 20 + 10 + 9 = 39 Zerlegung in ein Produkt (4 Möglichkeiten): 39 = 1 · 39 39 = 3 · 13 39 = 13 · 3 39 = 39 · 1 mehrere Runden 3 Runden zu je 13 Punkten mindestens 6 Punkte pro Runde

17. Lösungshinweise • Zerlegung von 13 in drei Summanden • Mit einschränkenden Bedingungen: • alle Summanden unterschiedlich • alle Summanden größer 1 • größter Summand 8 a > b > c a > b > c > 0 Sarah hat einmal gewonnen und insgesamt 10 Punkte

18. Lösungshinweise Systematische Darstellung in einer Tabelle

19. Lösungshinweise Systematische Darstellung in einer Tabelle

20. Lösungshinweise Systematische Darstellung in einer Tabelle

21. Lösungshinweise Systematische Darstellung in einer Tabelle Probe! 20 Punkte Ria

22. Lösungshinweise Probe Die einzige mögliche Lösung ist a = 8; b = 4; c = 1 Ria: 20 Punkte 20 = 8 + 8 + 4 Sarah: 10 Punkte 10 = a + d = 8 + 1 + 1 Tom: 9 Punkte 9 = 4 + 4 + 1 8 Punkte von Sarah in der zweiten Runde;somit hat Tom 4 Punkte in der dritten Runde

23. Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

24. Systematisches Probieren Erfassen aller möglichen Fälle und Ausschließen der unmöglichen Fälle Ohne Systematik verliert man leicht den Überblick. Wurden wirklich alle Fälle betrachtet?

25. Anke, Bastian und Clemens haben an einem Wettbewerb teilgenommen. Dabei hat Anke mehr Punkte erzielt als die beiden anderen Kinder, und Clemens hat weniger Punkte erzielt als die beiden andern. Wenn man die Punktzahlen der drei Kinder miteinander multipliziert, ergibt sich das Produkt 120. • Wie viele Punkte können die Kinder erreicht haben? Gib alle Möglichkeiten an. • Es hat sich herausgestellt, dass der Punktabstand zwischen Anke und Bastian genau so groß ist wie der zwischen Bastian und Clemens. Gib alle Möglichkeiten der Punktverteilung an, für die dies zutrifft. Mathematikolympiade Aufgabe 400521

27. Darstellung des Weges: • Polygonzug • Codierung u-r-r-r-u-r-u Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren Zahl

28. Problem der Eindeutigkeit der Lösung

32. Aufgabe 1 Peter erzählt seinen Freunden Paul, Kathrin und Maria von seinem letzten Sommerurlaub in Afrika: „Auf einem Safariausflug sah ich zuerst genau so viele Geier noch auf einem Baum sitzen wie schon von einem toten Tier fraßen. Nach einigen Minuten flogen 5 Geier von dem Baum zum Aas. Jetzt waren drei Mal so viele Vögel beim Aas wie oben noch auf dem Baum.“ • Paul sagt: „Dann hast du 6 Geier am Anfang auf dem Baum gesehen.“„Nein“, sagt Maria. „Es waren 9 Geier“.Wer hat Recht? • Kathrin schlägt vor, verschiedene Möglichkeiten auszuprobieren.Schreibe einige Möglichkeiten übersichtlich auf!

33. Arbeitsanweisung für die Schülerinnen und Schüler Arbeitsform: GruppenarbeitGruppenmitglieder:Zeit:Zeitnehmer:Lautstärkenwächter:Sprecher: alle Gruppenmitglieder müssen die Lösung erklären! I. Phase der Gruppenarbeit: Bearbeitet die Aufgabe 1 Dauer 10 – 12 Minuten

34. II. Phase der Gruppenarbeit Die „alte“ Gruppe wird aufgelöst und eine neue Gruppe gebildet. In der neuen Gruppe sind alle Gruppenmitglieder neu! Arbeitsform: GruppenarbeitGruppenmitglieder:Zeit:Zeitnehmer:Lautstärkenwächter:Sprecher: Schreiber:

35. Arbeitsauftrag für die neu gebildeten Gruppen: • Erklärt euch gegenseitig, wie ihr vorhin in der ersten Gruppenzusammensetzung (Phase I) vorgegangen seid und zu welcher Lösung ihr gekommen seid! • Diskutiert, welches Verfahren zum Finden der Lösung am geeignetesten ist! • Beschreibt, wie man am besten aus eurer Sicht vorgehen sollte, um die Wahrheit herauszufinden! Notiert euer Verfahren auf Folie oder Plakat! Dauer 20 Minuten einschließlich Dokumentation auf Plakaten

36. III. Phase der Gruppenarbeit: Vorstellen der Gruppenergebnisse aus Phase II

39. Aufgabe 2 Peter erzählt weiter: „ Es dauerte nicht lange, da kamen zu dem Aas zusätzlich noch Hyänen. Einige Geier flüchteten, doch es blieben auch noch welche. Insgesamt sah ich beim Aas dann 20 Tiere. Zusammen hatten sie 56 Beine.“ Wie viele Tiere von jeder Art stritten sich nun um das Aas?

40. Lösung zu Aufgabe 2

41. Aufgabe 3 Peters Bericht geht noch weiter. „Plötzlich bebte die Erde! Ich drehte mich erschrocken um und sah einen riesigen Elefanten! Der Wildhüter beruhigte mich und erklärte mir, dass dieser Elefant ein guter alter Bekannter sei. Das Alter des Elefanten verriet er mir in Form eines Rätsels: Wenn du von dem Alter des Elefanten 20 subtrahierst und das Ergebnis verdreifachst, so bekommst du eine Zahl zwischen 130 und 140, die durch 4 teilbar ist.“ Wie alt war der Elefant, den Peter gesehen hatte?

42. Lösung zu Aufgabe 3

44. Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

45. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen • Übertragung in eine andere Darstellung • K > A; K > J • K > L; F > L • F > N; F an Position 1; N an Position 2 F > N > K; die Reihenfolge von A, L und J ist unbestimmt

46. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen • Übertragung in eine andere Darstellung • K > A; K > J • K > L; F > L • F > N; F an Position 1; N an Position 2 Weitere Fragestellungen: Welche Aussage war überflüssig?

47. F < L Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen • Übertragung in eine andere Darstellung • K > A; K > J • K > L; F > L • F > N; F an Position 1; N an Position 2 Weitere Fragestellungen: Ersetze (2) durch „Florian ist jünger als Leila.“

49. 5. Stunde Arbeit am Vormittag Lehrling in einer Stunde Maler in einer Stunde