Funktionen Ein zentraler Begriff im Mathematikunterricht Teil II

1. Didaktik der Algebra (9) FunktionenEin zentraler Begriff im MathematikunterrichtTeil II

2. Ähnlich wie bei den Zahlbereichen und der Formelsprache kann man auch bei der langfristigen Aneignung des Funktionsbegriffs ein Phasenmodell des Lernens heranziehen, das sich auf die Konzepte Lernen in Stufen bzw. Lernen durch Erweiterung stützt.

3. Vollrath (1994) schlägt folgende Phasen vor: • Vermittlung von Grunderfahrungen, • Entdeckung von Funktionseigenschaften, • Aufdecken von Zusammenhängen, • Entdeckung neuer Funktionstypen, • Funktionen und Relationen, • Mit Funktionen operieren, • Erweiterungen.

4. In der ersten Phase geht es um die intuitive Verwendung von Zuordnungen und funktionalen Zusammenhängen, ohne explizit den Funktionsbegriff in den Vordergrund zu stellen.Es sollen Grunderfahrungen im Umgang mit Zuordnungen und Abhängigkeiten zwischen Größen vermittelt werden.

5. Dazu gehören u.a. • das Arbeiten mit Operatoren, • das Arbeiten mit Tabellen (Einsetzen von Zahlen für Variablen), • die Entwicklung von Rechenschemata in Form von Termen, • das Suchen von Gesetzmäßigkeiten beim Aufbau von Aufgabenfolgen.

6. Von großer Bedeutung sind dabei Aufgabenstellungen, denen Abhängigkeiten von Größen zugrunde liegen, wie z.B. die Beziehung Warenmenge - Preis, die schon in der Grundschule behandelt wird.

7. Insbesondere beim Thema „Geld“ sind die Schülerinnen und Schüler in der Lage, schon früh proportionale Zusammenhänge zu erfassen. Diese bereichsspezifische Fähigkeit geht dabei dem erst später vorhandenen Verständnis der Proportionalität im Allgemeinen voraus.

8. Auch in der Jahrgangsstufe 5/6 werden Abhängigkeiten zwischen Größen behandelt, ohne dies explizit zu thematisieren. Dies passiert z.B. bei Aufgaben zur Multiplikation/Division wieEin Nagel wiegt 4 g. Wie viel g wiegen 500 Nägel?

9. In der Regel in der 7. Klasse werden dann Abhängigkeiten zwischen Größen explizit thematisiert. Ausgehen wird man dabei von verschiedenen Darstellungsformen dieser Abhängigkeiten, die aus dem alltäglichen Leben bekannt sind.

10. Darstellungsformen sind • einzelne Wertepaare, • Tabelle, • Skala, • Zuordnungsvorschrift, • Schaubild/Graph.

11. Beispiel Wertepaare: Beispiel Tabelle:

12. Beispiel Tabelle:

13. Beispiel Skala: Beispiel Zuordnungsvorschrift: Normalgewicht = Körpergröße in cm - 100 Beispiel Schaubild:

14. An den verschiedenen Darstellungsformen zur Abhängigkeit zwischen zwei Größen lassen sich zwei Grundaufgaben ableiten:1. Zur gegebenen ersten Größe ist die zugeordnete zweite Größe gesucht.2. Zur gegebenen zweiten Größe ist die zugehörige erste Größe gesucht.

15. Aus den einzelnen Darstellungen lassen sich diese Aufgaben durch Ausrechnen, Schätzen, Überlegen oder evtl. gar nicht lösen.Da die Darstellungen und auch die gewählten Sachsituationen für die Schüler nicht unbekannt sind (außerschulischen Erfahrungen), sollte dieser Zugang für sie ganz selbstverständlich sein.

16. Die verschiedenen Darstellungsformen werden im Laufe des Lernprozesses des Funktionsbegriffs immer wieder von Bedeutung sein. Die Kenntnisse von vielfältigen Repräsentationsmöglichkeiten erleichtert den Schüler ein tragfähiges Begriffswissen aufzubauen.

17. Es bietet sich deshalb an, den Schüler im Unterricht selber die Möglichkeit zu geben, Daten zu erheben und Zusammenhänge zu finden, z.B. indem die Anzahl von Nägeln über das Gewicht bestimmt werden soll oder analog der Flächeninhalt eines Pappstückes.

18. Phasen zum Lernen des Funktionsbegriffs • Vermittlung von Grunderfahrungen, • Entdeckung von Funktionseigenschaften, • Aufdecken von Zusammenhängen, • Entdeckung neuer Funktionstypen, • Funktionen und Relationen, • Mit Funktionen operieren, • Erweiterungen.

19. Die Sicht der Funktionen ändert sich für die Schülerinnen und Schüler, wenn Eigenschaften von Funktionen betrachtet werden. Hier steht nicht mehr der funktionale Zusammenhang sondern die Funktion als mathematisches Objekt im Mittelpunkt.

20. Die ersten wichtigen Eigenschaften sind Proportionalität und Antiproportionalität.Beide Eigenschaften werden schon thematisiert, bevor Funktionen explizit eingeführt wurden. Sie werden im Rahmen von Zuordnungen betrachtet.

21. Hahn/Dzewas, Mathematik 7, Westermann 1994

22. Proportionale Zuordnungen x kx, kQ+ werden in Tabellenform und in graphischer Form dargestellt. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ergibt eine Halbgerade durch den Ursprung (zu diesem Zeitpunkt wurden negative Zahlen noch nicht behandelt!).

23. Eine wichtige Eigenschaft proportionaler Zuordnungen x kx, kQ+ ist die Quotientengleichheit, d.h. Die Quotientengleichheit liefert den Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung.

24. Im Rahmen von proportionalen Zuordnung wird auch die sogenannte Dreisatzrechnung behandelt: Hahn/Dzewas, Mathematik 7, Westermann 1994

25. Im Zuge der proportionalen Zuordnungen werden viele Anwendungsaufgaben gerechnet, in denen ein proportionaler Zusammenhang angenommen wird. Hier sollte anhand von Beispielen aus dem täglichen Leben aufgezeigt werden, dass diese Annahme häufig nicht stimmt.

26. Antiproportionaler (oder umgekehrt proportionale) Zuordnungen sind Zuordnungen vom Typ Diese Zuordnungen sind produktgleich, der zugehörige Graph ist eine Hyperbel.

27. Phasen zum Lernen des Funktionsbegriffs • Vermittlung von Grunderfahrungen, • Entdeckung von Funktionseigenschaften, • Aufdecken von Zusammenhängen, • Entdeckung neuer Funktionstypen, • Funktionen und Relationen, • Mit Funktionen operieren, • Erweiterungen.

28. Wurden bisher Zuordnungen durch Betrachtung von Einzelfällen bearbeitet und untersucht, so spielt in dieser Phase die abstrakte Betrachtung u.a. durch Rückgriff auf die Termdarstellung eine größere Rolle. Zudem werden Funktionen explizit definiert.

29. Nach den derzeitigen Rahmenrichtlinien wird diese Phase der Klasse 8 zugeordnet. Inhaltlich sind vor allem die linearen Funktionen zu behandeln, die von den proportionalen Funktionen abgeleitet werden.

33. Funktionen werden durch Rückgriff auf die bekannten Zuordnungen als eindeutige Zuordnungen definiert. Dabei ist die Besonderheit der eindeutigen Zuordnungen hervorzuheben.

34. Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg, 1993

35. Funktionen werden schließlich je nach Schultyp mehr oder weniger formal definiert, z.B.Eine Zuordnung, die jedem Element einer Menge A eindeutig ein Element einer Menge B zuordnet, heißt Funktion von A in B. Dabei heißt A die Definitionsmenge und B heißt Zielmenge.

36. Zum ersten Umgang mit dem Funktionsbegriff werden proportionale Funktionen behandelt. Diese sind aus Klasse 7 bekannt, werden nun aber auch für negative Zahlen betrachtet.

37. Neben der graphischen Veranschaulichung und der Wertetabelle bekommt die Funktionsgleichung ein größeres Gewicht als Darstellung von Funktionen. Insbesondere das Erkennen von Funktionseigenschaften anhand von Graph und Funktionsterm ist von Bedeutung.

38. Eigenschaften von Funktionen x mx : Gerade, Funktion enthält Punkte (0,0) und (1,m), m ist Steigung: m>0 steigende Gerade, m<0 fallende Gerade, m=0 Gerade ist x-Achse (Steigungsdreieck). Alle Eigenschaften sollen anhand des Graphs und der Funktionsgleichung behandelt werden.

39. Als Erweiterung der proportionalen Funktionen erhält man die linearen Funktionen: Neues Mathema-tisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg, 1993

40. Die Ableitung einer linearen Funktion x mx+b aus einer proportionalen Funktion x mx lässt sich leicht anhand der Funktionsgraphen erklären. Es handelt sich dabei um eine Verschiebung des Graphen auf der y-Achse um den y-Achsenabschnitt b.

41. Auch bei linearen Funktionen werden wieder die Beziehungen zwischen den Darstellungsformen Funktionsgleichung und Funktionsgraph eingehend behandelt. Die proportionalen und die konstanten Funktionen werden als besondere Spezialfälle festgehalten.