Una relación entre Hipótesis del Continuo, Cardinales Inaccesibles y Problema de la Medida

1. Una relación entre Hipótesis del Continuo, Cardinales Inaccesibles y Problema de la Medida Luz Victoria De La Pava Castro Universidad del Cauca

2. Ordinales Una extensión de los números naturales

3. Un conjunto A es transitivo si cada elemento de A es un subconjunto de A. Un ordinal es un conjunto transitivo bien ordenado por la relación de pertenencia ∈. El ordenen los ordinales es:

6. CARDINALES Ejemplos  es un cardinal. + 1 no es un cardinal. no es un cardinal.

7. LOS ALEPHS

8. EL TAMAÑO DEL CONTINUO Hipótesis del Continuo (HC). Conjetura de Cantor

9. HC es independiente de ZFC. Es decir, si ZFC es consistente, ZFC + HC y ZFC +¬HC son consistentes. Kurt Gödel, en 1938, construyó un modelo de ZFC, la clase de los conjuntos constructibles, L, de tal manera que L⊧HC. Paul Cohen, en 1963,con la técnica del forcing, construyó un modelo en el que vale ¬HC. Existen modelos de la teoría de conjuntos en los que

10. CardinalesLímites Cofinalidad

12. Ejemplo

13. Cardinales Inaccesibles Un cardinal débilmente inaccesible o simplemente inaccesible es un cardinal no numerable y regular. En ZFC no se puede demostrar la proposición: existe un cardinal inaccesible

14. MEDIDA

15. Una medida (σ-aditiva probabilística no trivial) sobre un conjunto no vacío S es función μ : ℘(S) → [0,1] que satisface las siguientes propiedades:

16. Una medida sobre una -álgebraS de conjuntos es una función  de valor real, con dominio S,que satisface las 4 propiedades anteriores. Una medida sobre S es una medida sobre ℘(S) Ejemplo: La Medida de Lebesgue sobre el intervalo [0,1]

17. La Medida de Lebesgue Satisface:

18. Bajo AC se prueba que: No todos los conjuntos de números reales son Lebesgue medibles Problema de la medida ¿Existe alguna medida σ-aditiva sobre [0,1] que extienda la medida de Lebesgue?

19. Respuesta parcial: (Bajo AC) No existe una medida σ -aditiva sobre ℝ que extienda la medida de Lebesgue y que satisfaga la propiedad de invariancia bajo traslaciones.

20. El continuo: ¿más que inaccesible? Siexiste una medida σ-aditiva sobre ℝ que extienda la medida de Lebesgueentonces existe un cardinal débilmente inaccesibleκ tal que

21. Cardinales Grandes Cardinales Supercompactos Cardinales medibles Cardinales Mahlo Cardinales fuertemente compactos