Вебинар для учителей математики Хабаровского края 17 мая 2013 года

1. «Подготовка к ЕГЭ по математике: методический комментарий к выполнению заданий базового и повышенного уровней сложности» Вебинар для учителей математики Хабаровского края 17 мая 2013 года Марина Геннадьевна Ким, учитель МАОУ СОШ №77, эксперт региональной предметной комиссии, город Хабаровск

2. Типичные ошибки в ЕГЭ и как их избежать Какие подходы и практические решения целесообразно использовать для нивелирования тех затруднений , которые испытывают выпускники на ЕГЭ

3. У выпускников слабо развиты вычислительные навыки, недостаточная подготовка в геометрии, невнимательное прочтение условия заданий. Следует обратить особое внимание на формирование у учащихся навыков детального прочтения условия задач, отработку вычислительных навыков, умения проводить по известным формулам и правилам преобразования числовых выражений, систематическое повторение основных формул и правил планиметрии при решении стереометрических задач. Традиционно сложными для выполнения остаются задания по темам «Наибольшее и наименьшее значение функции», «Преобразование выражений, содержащих степень», «Объемы многогранников». Также, остаются проблемными задания, в которых необходимо применить умения составления и исследования простейших математических моделей, решать текстовые задачи на проценты, задачи физического характера. Низкий процент выполнения заданий на выполнение действий с геометрическими фигурами, координатами и векторами, что показывает низкий уровень умения использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

4. Задачи B1 • 1.Диагональ экрана телевизора равна 64 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров. • 2.Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров. • 3. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час. • 4. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять  фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг. • 5.Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37000 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см. • 6.Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

5. 7.На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Какую сумму должен получить клиент сдачи? Ответ дайте в рублях. 8.На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак? 9.В квартире, где проживает Алексей, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 103 куб.м воды, а 1 октября — 114 куб.м. Какую сумму должен заплатить Алексей за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб.м холодной воды составляет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях. 10.Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку весом в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток? 11.При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

6. 12.В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре? 13.Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

7. Задачи В3 1.В треугольнике   ABCDE — средняя линия. Площадь треугольника CDE  равна 38. Найдите площадь треугольника  ABC. 2.Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E  — середина стороны AD . Найдите площадь трапеции  AECB. 3.Площадь параллелограмма ABCD  равна 153. Найдите площадь параллелограмма A’B’C’D’ , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма. 4.Площадь параллелограмма ABCD  равна 176. Точка E  – середина стороны CD . Найдите площадь треугольника ADE . 5.Площадь треугольника ABC  равна 12. DE  – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE . 6.На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

8. 7.На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры. 8.На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры. 9.На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора. 10.На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

9. 11.Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см   1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 12.Найдите (в см2) площадь   фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см   1 см (см. рис.). В ответе запишите  . 13.Площадь параллелограмма ABCD равна 3. Точка  E — середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE . 14.Площадь параллелограмма  ABCD равна 11. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.

10. 15.Периметры двух подобных многоугольников относятся как 2:11 . Площадь меньшего многоугольника равна 10. Найдите площадь большего многоугольника. 16.Периметры двух подобных многоугольников относятся как 4:7 . Площадь меньшего многоугольника равна 56. Найдите площадь большего многоугольника. 17.Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 164, а отношение соседних сторон равно 4:37 . 18.Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 64, а отношение соседних сторон равно 3:13 . 19.Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как  , а другая сторона равна 80. Найдите площадь прямоугольника 21:29. 20.Периметр прямоугольника равен 64, а площадь равна 31,5. Найдите диагональ этого прямоугольника. 21.Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

11. Задачи В12

13. Подготовка к заданиям с развернутым ответом повышенного уровня сложности С4

14. В планиметрических заданиях С4 по сравнению с ЕГЭ-2011 и ЕГЭ-2012изменения минимальны с точки зрения структуры задач, постановкивопросов и критериев оценивания выполнения этих задач. • По фактическим данным выполнения, задание С4 является своего родаграницей, разделяющей высокий и повышенный уровень подготовкиучастников ЕГЭ.Практика проверки работ на ЕГЭ–2010-2012 показала, что экспертамзадание С4 проверять было, пожалуй, легче всего. По крайней мере,количество спорных ситуаций и неоднозначных, пограничных способовтрактовки критериев оценивания было меньше всего.

15. Критерии оценивания выполнения задания С4

16. Как и во всякой геометрической, и особенно, достаточно сложной геометрической задаче весьма деликатным является вопрос о степени и характере обоснованности построений и утверждений. Излишняя требовательность к обоснованиям в принципе ведет к необходимости текста, изложение в котором начинается, грубо говоря, с аксиом, продолжается формулировками теорем, приведением нужных формул, и в котором только после этого происходит собственно решение задачи. Позиция разработчиков КИМ ЕГЭ–2012 состоит в том, что в задании С4 невозможно от выпускников школ на ЕГЭ требовать изложения, приближающегося к стилю учебников и научно-методических статей.

17. Достаточным является наличие ясного понимания возможности разных геометрических конфигураций искомых объектов, верного описания(предъявления) этих конфигураций и грамотно проведенных вычислений. Обратим также внимание на то, что часто при решении геометрических задач школьники ссылаются на весьма невразумительный чертёж, а иногда чертёж вообще отсутствует (если рисунок сделан на бланке карандашом, то эта область не сканируется). Снижать оценку только за это не рекомендуется.

18. Наконец, специально отметим, некоторую несогласованность единственного и множественного числа в постановке вопроса задачи и в ответе на этот вопрос. Традиции отечественного геометрического образования таковы, что вопрос «Найти геометрический объект, удовлетворяющий некоторым условиям», всегда трактовался как полное решение, то есть отыскание всех объектов, удовлетворяющих условиям задачи. Мы следуем традиционному подходу и считаем нецелесообразным вопрос «Найти радиус окружности, вписанной в…» приводить в формулировке, типа, «Найти радиусы всех окружностей, …».

19. Треугольник, основные теоремы

20. Треугольник, основные теоремы 1. Две прямые пересекаются под углом . От точки пересечения на одной из прямых отложен отрезок , на другой прямой отложен отрезок . Найти длину радиуса окружности, описанной около треугольника . I вариант. По теореме косинусов найдем Радиус окружности найдем из теоремы синусов . II вариант. Следует из чертежа Ответ. 1;

21. Треугольник, основные теоремы 2. На двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно , расположены вершины треугольника, боковые стороны которого равны . Найдите третью сторону треугольника. I вариант. Дано: . По теореме Пифагора найдем . Сторона треугольника . II вариант. Пусть теперь треугольник расположен так, что Ответ. 10;

22. Треугольник, основные теоремы 3. В прямоугольном треугольнике длины катетов и .На прямой взята точкатак, что . Найдите I вариант. По теореме Пифагора найдем . Найдем , затем . Т.к. , . Получаем . Заметим, что можно было из треугольника по теореме косинусов найти , затем . II вариант. Рассмотрите другой вариант положения точки Ответ.

23. Треугольник, основные теоремы 4. I вариант. Треугольники и равны, т.к. оба они прямоугольные, имеют по условию равные гипотенузы и угол как два острых угла со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, ,и треугольник прямоугольный и равнобедренный, откуда . Высоты треугольника пересекаются в точке . Известно, что . Найдите угол . II вариант. Рассмотрите вариант тупого угла . Докажите равенство треугольников и , затем докажите, что . Ответ.

24. Треугольник, основные теоремы 5. В треугольнике проведена прямая, параллельная и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Прямая делит треугольник на две фигуры, площади которых относятся как . Найдите отношение длин отрезков и . I вариант. Пусть Тогда . Треугольники и подобны, причем коэффициент подобия или . Следовательно, . II вариант. Рассмотрите случай . Ответ.

25. Треугольник, основные теоремы 6. Площадь прямоугольного треугольника равна 8, длина катета равна 2. Прямая проходит через точку и образует угол с прямой . Найдите расстояние от точки до указанной прямой. I вариант. Из формулы площади следует, что , по теореме Пифагора найдем . Найдем , получаем . Затем II вариант. Рассмотрите другой вариант положения точки прямой Ответ.

26. Треугольник, основные теоремы 7. В треугольнике , а . В треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне , а две другие на сторонах и . Известно, что одна сторона прямоугольника вдвое больше другой. Найдите диагональ прямоугольника. I вариант. По теореме Пифагора найдем . Из треугольника найдем . Пусть , тогда , а . Из треугольника следует, что или . Получаем . Диагональ равна . II вариант. Рассмотрите другой вариант расположения прямоугольника Ответ.

27. Окружность, основные теоремы

28. Окружность, основные теоремы 1. I вариант. Длина окружности , откуда . Из треугольника следует, что . Из треугольника находим Далее . По теореме косинусов находим . Из прямоугольного треугольника найдем . Длина окружности равна . Диаметр и хорда лежат на параллельных прямых. Расстояние между указанными прямыми равно . Найдите длину хорды . II вариант. Поменяйте местами точки и . Ответ. .

29. Окружность, основные теоремы 2. Площадь круга, ограниченного некоторой окружностью, равна , – диаметр этой окружности, тока – ее центр. Точка лежит на окружности, причем площадь треугольника равна 3. Найдите величину угла . I вариант. Пусть . Тогда и . Треугольник равнобедренный, его площадь , откуда . При данном расположении точки угол тупой, следовательно, , откуда следует . II вариант. Рассмотрите вариант острого угла Ответ. .

30. Окружность, основные теоремы 3. Площадь круга с центром в точке равна . Точки и расположены на расстоянии 12,5 и 26 соответственно от точки . Длина хорды, лежащей на прямой равна . Найдите площадь треугольника . I вариант. Длина . Из треугольника следует, что . Из треугольника находим , а из треугольника О находим . Далее II вариант. Рассмотрите случай, когда точки и лежат по одну сторону от хорды Ответ. .

31. Окружность, основные теоремы 4. На окружности с радиусом последовательно поставлены точки и так, что дуги и , а хорды и пересекаются под углом . Найдите длину наибольшей стороны четырехугольника . I вариант. Сначала надо доказать, что наибольшей стороной является , для этого найдем величину дуги . Вписанный угол , угол , следовательно, угол , а дуга . Дуга является наибольшей, следовательно хорда является также наибольшей. Треугольник вписан в окружность и по теореме синусов . Получаем II вариант. Рассмотрите другой вариант расположения хорды Ответ. .

32. Вписанные и описанные окружности

33. Вписанные и описанные окружности 1. В треугольник вписана окружность. Точка касания окружности стороны делит ее на отрезки с длинами 6 и 4. Периметр треугольника равен . Найдите . I вариант. Пусть , , а . Тогда и . Длины треугольника таковы, что он является прямоугольным с гипотенузой . Получаем . II вариант. Пусть Ответ. .

34. Вписанные и описанные окружности 2. I вариант. Из теоремы синусов следует, что , откуда . Аналогично найдем . Очевидно, что острый. Тогда . Угол может быть и острым, и тупым. Рассмотрим вариант острого угла, тогда . Найдем , т.е. . По теореме синусов найдем Треугольник вписан в окружность радиуса . Известно, что и . Найдите . II вариант. Пусть тупой, тогда Ответ. .

35. Вписанные и описанные окружности 3. Угол между радиусом окружности, описанной около треугольника и со стороной равен . Найдите угол треугольника , если угол равен . I вариант. Проведем радиус . Треугольник равнобедренный, следовательно, , а Получаем . II вариант. Рассчитайте самостоятельно Ответ. .

36. Вписанные и описанные окружности 4. Около треугольника описана окружность с центром , угол . В треугольник вписана окружность с центром . Найдите угол . I вариант. Пусть острый, тогда . Точка лежит на пересечении биссектрис, значит, , откуда . Далее . II вариант. Пусть тупой, тогда . Ответ. .

37. Вписанные и описанные окружности 5. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки с длинами 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла. I вариант. Пусть и , тогда . Обозначим и . Тогда и , т.к. квадрат. Находим , . II вариант. Совсем простой, т.к. получается окружность, вписанная в египетский треугольник Ответ. .

38. Вписанные и описанные окружности 6. В треугольнике . В треугольник вписана окружность. Касательная к этой окружности, параллельная высоте , пересекает стороны треугольника в точках и . Найдите длину радиуса окружности, описанной около треугольника . I вариант. Найдем . Площадь , полупериметр. Тогда и . Тогда . Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, треугольник – египетский, и длина искомого радиуса . II вариант. Рассчитайте второй вариант согласно чертежу Ответ. .

39. Вписанные и описанные окружности 7. Площадь квадрата равна . Окружность проходит через вершину и касается прямых и . Найдите радиус этой окружности. I вариант. Сторона квадрата равна 4. Диагональ . Пусть . Тогда . Отсюда . II вариант. Рассчитайте второй вариант согласно чертежу Ответ. .

40. Четырехугольники

41. Четырехугольники 1. В параллелограмме .Площадь параллелограмма равна . Круг, с центром в точке касается прямой . Найдите площадь части круга, расположенной внутри параллелограмма. I вариант. Площадь параллелограмма , откуда . По чертежу острый, следовательно, и . В треугольнике по теореме косинусов найдем . Проведем в точку касания радиус , который является высотой треугольника . Площадь, откуда . Площадь круга . Внутри параллелограмма находится часть круга. II вариант. Рассчитайте вариант тупого угла . Ответ. .

42. Четырехугольники 2. Впараллелограмме биссектрисы при стороне делят сторону в точках и так, что . Найдите длину стороны , если . I вариант. Треугольник равнобедренный, следовательно, , и . Треугольник также равнобедренный и . Получаем . II вариант. Рассчитайте другой вариант расположения биссектрис. Ответ. .

43. Четырехугольники 3. I вариант. Т.к. , то , . В треугольнике найдем и . По теореме Пифагора найдем . Получаем . В треугольнике по теореме Пифагора найдем В трапеции основание , а боковые стороны и . Известно, что . Найдите . II вариант. Рассчитайте другой вариант трапеции Ответ. .

44. Четырехугольники 4. I вариант. Пусть центр окружности расположен внутри трапеции. Проведем высоту трапеции через центр окружности . Т.к. перпендикуляр к хорде делит ее пополам, то , а . По теореме Пифагора найдем и . Следовательно . Трапеция с основаниями и вписана в окружность радиуса . Найдите высоту трапеции II вариант. Рассчитайте вариант расположения центра окружности вне трапеции Ответ. .

45. Четырехугольники 5. I вариант. Найдем высоту трапеции . Из треугольника найдем . По теореме косинусов найдем . Пусть , а . Получаем систему и . Из системы получаем Дана трапеция , основания которой и . Боковые стороны . Окружность, касающаяся прямых и , касается стороны в точке . Найдите длину отрезка . II вариант. Рассчитайте вариант расположения окружности вне трапеции. Воспользуйтесь равенством треугольников и . Тогда , а Ответ. .

46. Четырехугольники 6. I вариант. Найдем и . Следовательно, . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, . Обозначим . Из подобия треугольников и легко доказать, что . Пусть , а . Площади и удовлетворяют отношению или . Найдем площадь трапеции . Составим уравнение . Учитывая предыдущие соотношения, найдем В трапеции основание , а боковые стороны и , диагонали пересекаются в точке . Высота трапеции равна . Найдите площадь треугольника . II вариант. Рассчитайтедругой вариант трапеции Ответ. .

47. Взаимное расположение окружностей

48. Взаимное расположение окружностей 1. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны и , а расстояние между центрами окружностей равно . I вариант. Радиусы и перпендикулярны касательной . Проведем параллельно . Очевидно, что , а . По теореме Пифагора найдем . II вариант. Другой вариант общей касательной рассчитайте самостоятельно. Ответ. .

49. Взаимное расположение окружностей 2. Расстояние между центрами двух окружностей равно 20, длина радиуса одной из них равна 10. Окружности пересекаются в точках и , причем . Найдите длину радиуса второй окружности. I вариант. Пусть . Из треугольника найдем , тогда . По теореме Пифагора найдем . II вариант. Другой вариант расположения окружностей рассчитайте самостоятельно Ответ. .

50. Взаимное расположение окружностей 3. I вариант. Найдем и . По формуле найдем радиус вписанной окружности . Обозначим искомый радиус . В треугольнике и . Запишем теорему Пифагора для этого треугольника . Откуда . В треугольнике , .Найдите длину радиуса окружности с центром в точке касающейся окружности, вписанной в треугольник . II вариант. Другой вариант расположения окружностей рассчитайте самостоятельно Ответ. .