INF 1366 – Computação Gráfica Interativa Clipping (Recorte)

INF 1366 – Computação Gráfica InterativaClipping (Recorte) Alberto B. Raposo e Marcelo Gattass abraposo@tecgraf.puc-rio.br http://www.tecgraf.puc-rio.br/~abraposo/INF1366/index.htm Alberto Raposo – PUC-Rio

Pipeline Gráfico Cluter & Durand, MIT Modeling Transformations Illumination (Shading) Viewing Transformation (Perspective / Orthographic) Clipping Projection (to Screen Space) Scan Conversion(Rasterization) Visibility / Display Alberto Raposo – PUC-Rio

Clipping (Recorte) Cluter & Durand, MIT Modeling Transformations  Illumination (Shading) • Partes do objeto fora do volume de visualização(view frustum) são removidas Viewing Transformation (Perspective / Orthographic)  Clipping Projection (to Screen Space) Scan Conversion(Rasterization) Visibility / Display Alberto Raposo – PUC-Rio

Por que o recorte? • Não perder tempo rasterizando objetos fora da janela de visualização! • Classes de algoritmos: • Pontos • Linhas • Polígonos Alberto Raposo – PUC-Rio

y yp 2.tol 2.tol ym xm xp x Ponto em retângulo int pontInRect(int xm, int ym, float xp, float yp, float tol) { return ( (xp>=xm-tol) && (xp<=xm+tol) ) && ( (yp>=ym-tol) && (yp<=ym+tol) ); } Alberto Raposo – PUC-Rio

E (x2, y2) (x’2, y’2) C (x’1, y’1) B D (x1, y1) Casos de clipping de linhas A Alberto Raposo – PUC-Rio

Casos Triviais D. Brogan, Univ. of Virginia • Grande otimização: aceitar/rejeitar casos triviais • Testar extremidades do segmento de reta Alberto Raposo – PUC-Rio

Aceitação Trivial • Como saber se uma linha está totalmente dentro de uma janela? • R: se ambas as extremidades estão dentro de todas as arestas da janela, a linha está totalmente dentro da janela Essa linha está trivialmente dentro Alberto Raposo – PUC-Rio

Rejeição Trivial • Como saber se uma linha está totalmente fora de uma janela? • R: se ambas as extremidades estão do mesmo lado (de fora) de uma aresta da janela, a linha pode ser rejeitada Essa linha está fora, mas não cai no caso trivial, pois as extremidades não estão do mesmo “lado“ de uma mesma aresta Essa linha está trivialmente fora Alberto Raposo – PUC-Rio

Recorte de Linhas em Relação ao Viewport D. Brogan, Univ. of Virginia • Combinando casos triviais • Aceitar (desenhar) linhas com ambos os pontos extremos dentro de todas as arestas da janela de visualização • Rejeitar linhas com ambos extremos fora de uma mesma aresta da janela de visualização • Reduzir outros casos aos casos triviais, encontrando intrerseçõese dividindo os segmentos Alberto Raposo – PUC-Rio

Cohen-Sutherland Line Clipping • Dividir janela de visualização em regiões definidas pelas arestas da janela • Atribuir código (outcode) de 4 bits para cada região: • Bit 1 indica que valor y dos pontos está acima de ymax • Outros bits indicam relação com outros vértices da janela ymax 1001 1000 1010 xmax 0001 0000 0010 0101 0100 0110 Alberto Raposo – PUC-Rio D. Brogan, Univ. of Virginia

1001 1000 1010 0001 0000 0010 0101 0100 0110 Cálculo do código de um vértice Outcode compOutCode(double x, double y, double xmin, double xmax, double ymin, double ymax) { Outcode code; code.top = 0, code.bottom = 0, code.right = 0, code.left = 0, code.all = 0; if (y > ymax) { code.top = 1; code.all += 8; } else if(y < ymin) { code.bottom = 1; code.all += 4; } if (x > xmax) { code.right = 1; code.all += 2; } else if(x < xmin) { code.left = 1; code.all += 1; } return code; } Alberto Raposo – PUC-Rio

Cohen-Sutherland Line Clipping • Para cada segmento de reta • Atribua o outcode para cada extremo • Se ambos outcodes = 0, aceitação trivial • if (bitwise OR = 0) • Caso Contrário • bitwise AND para os outcodes dos vértices • if result  0, rejeição trivial Alberto Raposo – PUC-Rio

Cohen-Sutherland Line Clipping • Se a linha não cai nos casos triviais, subdividi-la de forma que um ou os dois segmentos possam ser descartados • Selecione uma aresta da janela de visualização que a linha cruza • Ache a interseção da linha com a aresta • Descarte a parte do segmento do lado de fora da aresta e atribua novo outcode ao novo vértice • Aplique os testes triviais; repetidamente se necessário D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Cohen-Sutherland Line Clipping D. Brogan, Univ. of Virginia • Se a linha não cai nos casos triviais, subdividi-la de forma que um ou os dois segmentos possam ser descartados • Selecione uma aresta da janela de visualização que a linha cruza • Cheque as arestas na mesma ordem sempre • Ex: top, bottom, right, left E D C B A Alberto Raposo – PUC-Rio

E D C B A Cohen-Sutherland Line Clipping D. Brogan, Univ. of Virginia • Ache a interseção da linha com a aresta Alberto Raposo – PUC-Rio

Cohen-Sutherland Line Clipping D. Brogan, Univ. of Virginia • Descarte a parte do segmento do lado de fora da aresta e atribua novo outcode ao novo vértice • Aplique os testes triviais; repetidamente se necessário D C B A Alberto Raposo – PUC-Rio

Cohen-Sutherland Line Clipping D. Brogan, Univ. of Virginia • Descarte a parte do segmento do lado de fora da aresta e atribua novo outcode ao novo vértice • Aplique os testes triviais; repetidamente se necessário C B A Alberto Raposo – PUC-Rio

Interseção com Janela de Visualização • (x1, y1), (x2, y2): interseção com aresta vertical direita: xright • yintersect = y1 + m(xright – x1) • onde m=(y2-y1)/(x2-x1) • (x1, y1), (x2, y2): interseção com aresta horizontal de baixo: ybottom • xintersect = x1 + (ybottom – y1)/m • onde m=(y2-y1)/(x2-x1) D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

void CohenSutherlandLineClipAndDraw(double x0, double y0, double x1, double y1, double xmin, double xmax, double ymin, double ymax, int value) { outcode outcode0, outcode1, outcodeOut, CompOutCode(); double x, y; boolean accept = FALSE, done = FALSE; outcode0 = CompOutCode(x0, y0, xmin, xmax, ymin, ymax); outcode1 = CompOutCode(x1, y1, xmin, xmax, ymin, ymax); do { if (outcode0.all == 0 && outcode1.all == 0) { accept = TRUE; done = TRUE; /* trivial draw and exit */ } else if((outcode0.all & outcode1.all) != 0) { done = TRUE; /* trivial reject and exit */ } else { if (outcode0.all != 0) outcodeOut = outcode0; else outcodeOut = outcode1; if (outcodeOut.top) { x = x0 + (x1 - x0) * (ymax - y0) / (y1 - y0); y = ymax; } else if(outcodeOut.bottom) { x = x0 + (x1 - x0) * (ymin - y0) / (y1 - y0); y = ymin; } else if(outcodeOut.right) { y = y0 + (y1 - y0) * (xmax - x0) / (x1 - x0); x = xmax; } else if(outcodeOut.left) { y = y0 + (y1 - y0) * (xmin - x0) / (x1 - x0); x = xmin; } if (outcodeOut.all == outcode0.all) { x0 = x; y0 = y; outcode0 = CompOutCode(x0, y0, xmin, xmax, ymin, ymax); } else { x1 = x; y1 = y; outcode1 = CompOutCode(x1, y1, xmin, xmax, ymin, ymax); } } /* Subdivide */ } while (!done); if (accept) DrawLineReal(x0, y0, x1, y1, value); } Algoritmo de Cohen-Sutherland Alberto Raposo – PUC-Rio

Cohen-Sutherland • Outcodes facilitam descoberta de casos triviais • Melhor algoritmo quando casos triviais são comuns • Os casos não triviais, por outro lado: • Têm custo elevado • Geram às vezes recortes redundantes • Existem algoritmos mais eficientes Alberto Raposo – PUC-Rio

Equações Paramétricas • Equações de reta • Explícita: y = mx + b • Implícita: Ax + By + C = 0 • Paramétrica: linha definida por 2 pontos, P0 e P1 • P(t) = P0 + (P1 - P0) t, onde P é vetor [x, y]T • x(t) = x0 + (x1 - x0) t • y(t) = y0 + (y1 - y0) t Alberto Raposo – PUC-Rio

Equação Paramétrica da Reta • Descreve segmento (linha finita) • 0 <=t <= 1 • Define linha entre P0 e P1 • t < 0 • Define linha antes de P0 • t > 1 • Define linha depois de P1 Alberto Raposo – PUC-Rio

Linhas Paramétricas e Clipping • Definir cada linha na forma paramétrica: • P0(t)…Pn-1(t) • Definir cada aresta da janela de visualização na forma paramétrica: • PL(t), PR(t), PT(t), PB(t) • Realiza testes de interseção de Cohen-Sutherland usando linhas e arestas apropriadas Alberto Raposo – PUC-Rio

Equações: Line / Edge Clipping • Equações paramétricas permitem recortes mais eficientes • Linha 0: • x0 = x00 + (x01 - x00) t0 • y0 = y00 + (y01 - y00) t0 • x00 + (x01 - x00) t0 = xL0 + (xL1 - xL0) tL • y00 + (y01 - y00) t0 = yL0 + (yL1 - yL0) tL • Resolver para t0 e/ou tL • View Window Edge L: • xL = xL0 + (xL1 - xL0) tL • yL = yL0 + (yL1 - yL0) tL D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Limitações de Cohen-Sutherland • Só funciona para janelas de visualização retangulares • Algoritmo para recorte em janelas convexas arbitrárias: • Cyrus-Beck Alberto Raposo – PUC-Rio

Algoritmo de Cyrus-Beck • Queremos otimizar o cálculo das interseções linha/linha • Começa com equação paramétrica da linha: • P(t) = P0 + (P1 - P0) t • E um ponto e a normal de cada aresta da janela • PL, NL Alberto Raposo – PUC-Rio

PL P(t) Inside NL Algoritmo de Cyrus-Beck P1 • Encontre t tal que: • NL [P(t) - PL] = 0 • Substitua P(t) pela equação da linha: • NL [P0 + (P1 - P0) t - PL] = 0 • Encontre t • t = NL [PL – P0] / -NL [P1 - P0] P0 D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Algoritimo de Cyrus-Beck Produto escalar de 2 vetores Alberto Raposo – PUC-Rio

Algoritimo de Cyrus-Beck Alberto Raposo – PUC-Rio

Algoritmo de Cyrus-Beck • Compute t para a interseção da linha com todos as arestas da janela • Descarte todos (t < 0) e (t > 1) • Classifique as interseções restantes em • Potentially Entering (PE) • Potentially Leaving (PL) • NL [P1 - P0] > 0 implica PL • NL [P1 - P0] < 0 implica PE Alberto Raposo – PUC-Rio

Entrando ou Saindo ? Alberto Raposo – PUC-Rio

Cálculo das interseções PL C PL PE A PL PL PL PE B PE PL PE PE PE Alberto Raposo – PUC-Rio

P1 PL PL PE PE P0 Algoritmo de Cyrus-Beck D. Brogan, Univ. of Virginia • Para cada reta: • Ache o PE com maior t • Ache o PL com menor t • Recorte nesses 2 pontos Alberto Raposo – PUC-Rio

Cyrus-Beck - caso geral { Calcule Ni e escolha um PEi para cada aresta tE = 0; tL = 1; for(cada aresta ){ if (Ni.(P1-P0)!=0 ){ /* aresta não é paralela ao segmento */ calcule t; use sign of Ni.(P1-P0) para categorizar como PE ou PL; if( PE ) tE = max(tE, t); if( PL ) tL = min(tL, t); } else { /* aresta paralela ao segmento */ if (Ni.(P0-PEi) > 0) /* está fora */ return nil; } if(tE > tL) return nil; else return P(tE) and P(tL) as true clip intersections; } } } Alberto Raposo – PUC-Rio

Caso particular: Liang e Barsky • Janela retangular: linhas de recorte horizontais e verticais: • Normais: (-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1) • Soluções para t: • -(x0 - xleft) / (x1 - x0) • (x0 - xright) / -(x1 - x0) • -(y0 - ybottom) / (y1 - y0) • (y0 - ytop) / -(y1 - y0) Alberto Raposo – PUC-Rio

Ei NEi PEi t -(x0-xmin) (x1-x0) left: x = xmin (-1, 0) (xmin, y) (x0-xmax) -(x1-x0) right: x = xmax (1, 0) (xmax, y) -(y0-ymin) (y1-y0) bottom: y = ymin (0,-1) (x, ymin) (y0-ymax) -(y1-y0) top: y = ymax (0, 1) (x, ymax) Liang e Barsky y ymax ymin x xmin xmax Alberto Raposo – PUC-Rio

Comparação • Cohen-Sutherland • Clipping repetitivo é caro • Melhor utilizado quando a maioria das linhas se encaixam nos casos de aceitação e rejeição triviais • Cyrus-Beck • Cálculo de t para as interseções é barato • Computação dos pontos (x,y) de corte é feita apenas uma vez • Algoritmo não considera os casos triviais • Melhor usado quando a maioria das linhas precisa ser recortada D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Recorte de Polígonos • Mais complicado • Ainda mais quando polígono é côncavo Alberto Raposo – PUC-Rio Cluter & Durand, MIT

Recorte de Polígonos • Mais complexo que corte de linhas • Input: polígono • Output: polígono original, novo(s) polígono(s), ou nada • A melhor otimização são os casos de aceitação ou rejeição trivial… Alberto Raposo – PUC-Rio

Tarefa complicada!!! • O que pode acontecer com um triângulo? • Possibilidades: triângulo  quad triângulo  5-gon triângulo  triângulo • Quantos lados pode ter um triângulo recortado? D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Quantos lados? • Sete… D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Tarefa complicada!!! Polígono côncavo  múltiplos polígonos D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Algoritmo de Sutherland-Hodgman • Idéia básica: • Considerar cada aresta da janela de visualização individualmente • Recortar o poligono pela equação de cada aresta D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Sutherland-Hodgman Clipping D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

INF 1366 – Computação Gráfica Interativa Clipping (Recorte)