Loeng 1-2

1. Loeng 1-2 Staatika Staatika aksioomid. Sidemed ja sidemereaktsioonid. Jõudude liitmine. Jõusüsteemi tasakaal.

2. Terminoloogia • Staatikaks nimetatakse mehaanika osa, milles antakse üldine õpetus jõududest ja uuritakse jõudude mõju all olevate materiaalsete kehade tasakaalu tingimusi. • Tasakaalu all mõistetakse keha paigalseisu teiste materiaalsete kehade suhtes. • Absoluutselt jäiga keha all mõistetakse keha, mis säilitab oma geomeetrilise kuju muutumatuna, vaatamata teiste kehade mõjule. • Masspunktiks nimetatakse geomeetrilist punkti, millel on mass.

3. Jõud • Materiaalsed kehad mõjutavad teine teist. Mehaanikalise vastakmõju mõõtu nimetatakse jõuks. Jõud on vektoriaalne suurus, teda iseloomustab arvväärtus (moodul), rakenduspunkt ja suund. • Jõu moodul määratakse ühikuks võetud jõuga võrdlemise teel. Mehaanikas on jõu ühikuks võetud njuuton (1 N).

4. y y   O  x  O z Ruumiline jõud Tasapinnaline ja ruumiline jõud Tähistades telgede x, y, z ühikvektorid kui saab jõudu määrata kui või tasapinnal kui , kus , , on jõu projektsioonid vastavatele telgedele. x Tasapinnaline jõud

5. F2 q F1 h r F2 q F1 G = mg R1 R2 Jõu tüübid • Aktiivsed jõud ja sidemereaktsioonid. - Aktiivseks jõuks nimetatakse jõudu, mis püüab panna vaadeldavat keha liikuma. - Sidemereaktsiooniks (toereaktsiooniks) nimetatakse jõudu, millega side takistab keha liikumist. • Punktjõud ja lauskoormus. - Koondatud jõuks (punktjõuks) nimetatakse jõudu, mis on rakendatud keha mingis punktis. Koondatud jõu mõiste on tinglik, kuna praktiliselt ei saa jõudu rakendada ühes punktis. - Jaotatud jõududeks (lauskoormusteks) nimetatakse jõude, mis mõjuvad keha antud pinnaosa või ruumala kõikidele punktidele.

6. F5 F4 F6 F3 F7 F2 I II A F8 F9 F1 z Mz F4 F3 Qz N x F2 I Qy Mx F1 My y Jõu tüübid • Välis- ja sisejõud. - Välisjõududeks nimetatakse jõude, millega antud keha osadele mõjuvad teised materiaalsed kehad. - Sisejõududeks nimetatakse jõude, millega antud keha osad mõjuvad üksteisele. • Kehale rakendatud mitme jõu kogum on jõusüsteem.

7. A B Staatika aksioomid • Aksioom 1 (inertsiseadus) Iga isoleeritud masspunkt on tasakaalus seni, kuni rakendatud jõud teda sellest olekust välja ei vii. • Aksioom 2 (kahe jõu tasakaalu tingimus) Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis, kui nad on moodulilt võrdsed, mõjutavad piki sama sirged ja on suunalt vastupidised.

8. A B  Staatika aksioomid • Aksioom 3 (tasakaalus olevate jõudude lisamise ja ärajätmise printsiip) Jõusüsteemi mõju absoluutselt jäigale kehale ei muutu, kui lisada või jätta ära tasakaalus oleva jõusüsteemi. • Aksioom 4 (rööpküliku reegel) Keha mingisse punkti rakendatud kahe jõu resultant on rakendatud sellessesamasse punkti ning on väärtuselt ja suunalt võrdne neile kahele vektorile kui rööpküliku külgedele ehitatud rööpküliku diagonaaliga. • Aksioom 5 (mõju ja vastumõju seadus) Kaks masspunkti mõjutavad teineteist jõududega, mille moodulid on võrdsed ning mis asuvad neid punkte ühendaval sirgel ja on vastusuunalised.

9. M = FR R N = F F = G F = G m m m G = mg G = mg R2 R1 m1g m2g G = mg R1 R2 Sidemed ja sidemereaktsioonid Sidemeteks nimetatakse kehi, mis kitsendavad vaadeldava keha liikumist. Jõud, millega side takistab kehi liikumist nimetatakse sidemereaktsiooniks või toereaktsiooniks. Üldjuhul toereaktsiooni suurus ja suund on tundmatu enne ülesanne lahendamist ning neid avastatakse lahendusega.

10. Niit, kett, varras – sidemereaktsioon on suunatud piki sidet Silindriline šarniir (liigend): liikuv liigendtugi liikumatu liigendtugi kinnine tugi R2 R3 R1 R = G = mg m G = mg R R R2 R2 R2 MR R1 R1 R1 Sidemete tüübid Pind, joon, punkt – sidemereaktsioon alati risti kontaktpindalaga või punktist lastud puutujale

11. Kehale mõjuvaid jõude võib liita analüütiliselt ja graafiliselt. Graafiline meetod: 1 – jõudude parallelogramm 2 – jõukolmnurk 3 – jõuhulknurk Analüütilise jõuliitmise meetodi aluseks on jõuvektori projektsioon teljele. Jõusüsteemi resultandi leidmiseks tuleb liita iga jõu projektsioonid ning resultantjõu suurust saab avaldisest  y   O x  z Jõu liitmine

12. Koonduv tasapinnaline jõusüsteem Ühes punktis lõikuvate jõudude süsteemi nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks Koonduva jõusüsteemi tasakaalustamiseks peab viimase jõuvektori lõpp jõudma esimese jõuvektori alguspunkti, s.t. resultantjõu suurus peab võrduma nulliga. Analüütiline lahendus

13. 2 F2 2 1   F3    F1 F2 F1 1 y' y N2 N1 F2 y   x N2  F1 F3  x'  x N1 F2 F1 Koonduv tasapinnaline jõusüsteem. Näide

14. Suvaliseks jõusüsteemiks nimetatakse süsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad tasandis mistahes erinevates punktides. Jõu Fmomendiks tsentri O suhtes nimetatakse jõu mooduli ja selle tsentri suhtes võetud õla korrutist. O 90 l Õlg on minimaalne kaugus, mille mõõdetakse perpendikulaaril tsentrist jõu mõjusiirdeni. Momendi mõõtühikuks on Nm. Suvaline tasapinnaline jõusüsteem

15. Momendi märk Kui jõud F pöörab õlga ümber tsentri O vastu kellaosuti suunda (vastupäeva), loeme jõumomendi positiivseks ning päripäeva pöörlemisel negatiivseks. Antud tsentri suhtes moment võrdub nulliga siis, kui jõu suurus on null või jõu mõjusiire läbib vaatleva tsentri. F1 Varignon´i teoreem F4 Jõusüsteemi resultandi moment suvalise tsentri suhtes võrdub kõikide jõudude sama tsentri suhtes võetud momentide algebralise summaga. l4 l1 l3 O l2 F2 F3 F F A A O O - + Suvaline tasapinnaline jõusüsteem

16. Suvalise tasapinnalise jõusüsteemi tasakaalu tingimused - Tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et kõikide jõudude projektsioonide algebralised summad kahel koordinaatteljel ja kõikide jõudude momentide algebraline summa suvalise punkti suhtes võrduksid nulliga. - Tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et kõikide jõudude momentide algebralised summad võrduksid nulliga kolme suvalise punkti suhtes, mis ei asetse ühel sirgel. - Tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et võrduksid nulliga kõikide jõudude momentide algebralised summad kahe suvalise punkti suhtes ja kõikide jõudude projektsioonide algebralised summad teljele, mis ei ole risti kahte valitud punkti läbiva sirgega.

17. M y y F q RAy RB F q RAy x M A x RAx B MR B RAx A Suvaline tasapinnaline jõusüsteem. Näide

18. A B C F2 F1 R F2 B A C R F1 Kahe paralleeljõu liitmine Kahe samasuunalise paralleeljõu süsteemi resultant on nende jõududega paralleelne ning selle moodul võrdub liidetavate jõudude moodulite summaga. Resultandi mõjusirge jaotab liidetavate jõudude rakenduspunktide vahelise kauguse seesmiselt osadeks, mis on pöörvõrdelised nende jõudude moodulitega Kahel erineva mooduliga vastassuunalisel paralleeljõul on resultant, mis on nende jõududega paralleelne, kusjuures selle moodul võrdub liidetavate jõudude moodulite vahega. Resultandi mõjusirge jaotab liidetavate jõudude rakenduspunktide vahelise kauguse väliselt osadeks, mis on pöördvõrdelised nende jõudude moodulitega

19. HÕÕRE LIIKUMISHÕÕRE SEISUHÕÕRE LIUGEHÕÕRE VEEREHÕÕRE VEEREHÕÕRE LIBISEMISEGA Keha tasakaal, kui esineb hõõre

20. Liugehõõrdeks nimetatakse kehade suhtelise liikumise takistust, mis mõjub puutuja sihis kehade puutekohtades Hõõrdejõuks nimetatakse kahte kehade suhtelist liikumist takistava jõudu Keha tasakaalus hõõrdejõud muutub nullist maksimaalse väärtuseni ning alati võrdub jõuga F Hõõrdejõud saavutab oma maksimaalset suurust kehade suhtelise liikumise hetkel ning on alati suunatud liikumisega vastusuunas Liugehõõre

21. Liugehõõrdumise põhiseadused • Hõõrdejõud ei sõltu kehade kontaktpinda suurusest • 2. Maksimaalne hõõrdejõud on proportsionaalne välisjõu normaalkomponendiga • Hõõrdejõud sõltub kehade materjalist, • hõõrdumispindadest ning määrde olemasolust ja selle tüübist Teisest seadusest järeldub, et hõõrdejõud on võrdeline normaalreaktsiooni N ja hõõrdeteguri f korrutisega

22.    Hõõrdenurk ja hõõrdekoonus Normaalreaktsioon N ja hõõrdejõud annavad resultandi ResultantjõudRmoodustab tugipinna normaaljoonega nurg,mille nimetatakse hõõrdenurgaks  Hõõrdekoonuseks nimetatakse kareda pinna geomeetrilist kohta jõu igasuguste mõjusuundade korral. Hõõrdekoonuse omadust iseloomustab see, et keha tasakaalus aktiivsete jõudude resultant on koonuse seespool  kui siis

23. Hõõrdeteguri väärtus • Hõõrdeteguri f väärtus oleneb mitmetest asjaoludest nagu: • -liugepindade materjal, • liugepindade karedus, • määrdeaine olemasolu ja tüüp, • muud tegurid (libisemise kiirus, erisurve kokkupuutepinnal, • temperatuur, keskkond jne.).

24. Hõõrdeteguri väärtus

25. Keha tasakaal kaldpinnal Siis Hõõrdejõud   Keha tasakaalus   siis Kuna

26. Veerehõõre Veerehõõrdeks nimetatakse liikumishõõret, mille puhul kokkupuutuvate kehade kiirused kontaktpunktides on samasuunalised ja moodulilt võrdsed. Keha tasakaalus hõõrdejõud muutub nullist maksimaalse väärtuseni O r  A Siis liikumisjõud k Veeremise hõõrdeteguriks nimetatakse maksimaalset kaugust k. Selle mõõtühik on pikkuse ühik. Veeremise hõõrdetegur sõltub kehade materjalist ja praktiliselt ei sõltu liikumiskiirusest.

27. Veeremise hõõrdeteguri väärtus

28. Kraanarataste veerehõõrdetegur Kraanarataste veerehõõrdeteguri väärtusi, cm.

29. - ainult veeremine. 1) , - ainult libisemine. 2) , - veereminelibisemisega. 3) , - tasakaal. 4) , Liikumise erijuhtumid

30. Ümber kukutamine Ümber kukkutamise hetkel mõjuvaid jõud, , ja . b Tasakaaluvõrrandid  O  a   A Seega kukkumine on välditut kui või