Derivación de series de potencias

1. Derivación de series de potencias

2. ¿Qué es una serie de potencias? Si x, x0, y an (n=0,1,2,3,...) son números reales a la serie: • se llama serie de potencias de (x-x0). Las constantes a1, a2,... an,... son llamadas coeficientes. • Las series de potencias son progresiones geométricas.

3. La progresión geométrica Una serie de progresión geométrica es aquella en la que la serie va variando cuando se multiplica el último término por una razón r. 3, 6, 12, 24, 48, 96 Esta es una serie que comienza en 3 y cuya razón es 2 como se ve a continuación…

4. La progresión geométrica Así se aplica la razón en la serie: Razón = r = 2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 3, 6, 12, 24, 48, 96

5. Sumando una progresión geométrica Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r. Sn r = ( a1 + a2 + ... + an-1 + an ) r

6. Sumando una progresión geométrica Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión: Sn r = ( a1 + a2 + ... + an-1 + an ) r Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r

7. Sumando una progresión geométrica Si se procede a restar de estaigualdad la primera: Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an Sn r - Sn = - a1 + an r o lo quees lo mismo: Sn ( r - 1 ) = an r - a1

8. Sumando una progresión geométrica Si se despejaSn: Y si tomamos en cuenta que an = a1 rn-1 Entonces: Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

9. Suma de términos infinitos de una progresión geométrica Basados en la fórmula anterior, cuando: La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

10. Ahora usemos la fórmula… Si tenemos la serie: Ésta es una serie de potencia convergente a 0 dentro de un intervalo de ( -1 , 1 ).

11. Ahora usemos la fórmula… Esta serie es una sucesión geométrica de razón x, es decir, que cada término se multiplica por x para generar al siguiente término. De manera que con la fórmula que sacamos anteriormente, podemos obtener la suma con: es decir:

12. Ahora usemos la fórmula… Si por ejemplo, a x le damos el valor de 0.25:

13. Ahora usemos la fórmula… De esa manera obtenemos que la suma es 4/3. Pero qué pasa si tenemos la siguiente serie acotada en (-1 , 1]: ¿Podemos definir un valor concreto para la razón, para así usar la fórmula?

14. ¡Las derivadas al rescate! La derivación en las series se hace término a término:

15. El uso de las derivadas en las series de potencia Ahora… ¿podemos definir la razón de la progresión geométrica? Si, si podemos, es igual a: -x Por lo tanto, ahora si podemos utilizar la fórmula encontrada anteriormente.

16. El uso de las derivadas en las series de potencia Así, sustituyendo tenemos que: ¡Pero atención!, esta fórmula lo que hará será sacar la suma de la serie que es producto de la derivada de la primera serie.

17. El uso de las derivadas en las series de potencia Así que para revertir el proceso de la derivación, integramos todos los valores desde 0 hasta x:

18. El uso de las derivadas en las series de potencia La serie esta acotada en ( -1 , 1 ], por lo que podemos dar por ejemplo el valor de 1 a x, de tal forma que: Así que el valor de la serie anterior dada es igual a:

19. Para finalizar Esa es una de las aplicaciones que tiene la derivación en las series de potencia. Ayudar a resolver aquellas series que son más complejas, y que se pueden simplificar derivándolas, para así poder usar en ellas fórmulas conocidas para progresiones geométricas comunes.

20. Gracias por su atención Juan Francisco Calvillo Villegas Adán Neftalí Carrasco Chamarra Alan Ivan León Reyes Héctor Manuel Salvador Jaques Eduardo Morera Ramón Alejandro Reza Erives