Tom de Greef Het Tijdperk van Complexiteit College 7

1. Tom de Greef Het Tijdperk van Complexiteit College 7 http://www.tue-tm.org/complexity/

2. Drie Thema’s Netwerken Micro-macro Onvoorspelbaarheid

3. Knopen Kanten k=2 k=3 k=2 k=1 Netwerken Netwerktopologie Netwerkmaten Random Graad (k) van eenknoop is het aantal kanteneenknoopheeft GradenverdelingP(k) is de kansdateenwillekeuriggekozenknoopeengraadk heeft Schaalvrij

4. Dynamica op Complexe Netwerken Diffusie van innovatie Verspreiding van geruchten Financiëletransacties Verspreiding van ziekes

5. Pest Athene 25% populatie 430 B.C. 1300- 1700 Pest ~75-200 miljoen doden 1816- 1923 Cholera (7 uitbraken) ~38 miljoen doden 1918- 1920 Spaansegriep 20-100 miljoen doden 2003 S.A.R.S. 775 doden 2009 H1N1 Mexicaanse griep 18000 doden tijd

6. Dynamica op Netwerken (II) • Hoe kunnen we de verspreiding van een • besmettelijke ziekte modelleren? • Wat is de invloed van het type netwerk? • Wat is de bestetactiekvoorvaccinatie? Epidemieverspreiding

7. Compartiment Model • • Infectiesnelheid alleen afhankelijk van de • relatieve populatie. • • Interacties tussen de populaties volkomen willekeurig. • Infectie instantaan S = vatbare populatie I = geïnfecteerde populatie R = immune populatie Kermack and McKendrick 1927

8. SI Model b S I tijd • S (t) = aantal vatbare personen op tijdstip t • I (t) = aantal geïnfecteerde personen op tijdstip t • = aantal contacten per tijdseenheid per persoon (transmissieconstante) • N = totaal aantal personen (N = S + I)

9. SI Model Differentiaalvergelijking b S I I besmettelijke personen: bI contacten per tijdseenheid Kans dat contact met een vatbaar persoon is: S/N Totaal aantal besmettingen per tijdseenheid: bI S/N i = I / N i + s = 1 s = S / N

10. SI Model Oplossingen • Fractie geïnfecteerde individuen op tijdstip t = 0 (i0) • Waarde b Matlabscript: SI.m

11. SIR model b g S I R time • S (t) = aantal vatbare personen op tijdstip t • I (t) = aantal geïnfecteerde personen op tijdstip t • R(t) = aantal immune personen op tijdstip t • = aantal contacten per tijdseenheid per persoon (transmissieconstante) • g= aantal genezingen per tijdseenheid per persoon (herstelconstante) • N = totaal aantal personen (N = S + I + R)

12. SIR Model Differentiaalvergelijking (I) b g S I R I besmettelijke personen: bI contacten per tijdseenheid Kans dat contact met een vatbaar persoon is: S/N Totaal aantal besmettingen per tijdseenheid: bI S/N Toename immune personen per tijdseenheid: gI

13. SIR Model Differentiaalvergelijking (II) i = I / N s = S / N r = R / N s (t) = fractie vatbare personen op tijdstip t i (t) = fractie geïnfecteerde personen op tijdstip t r(t) = fractie immune personen op tijdstip t S (t) = aantal vatbare personen op tijdstip t I (t) = aantal geïnfecteerde personen op tijdstip t R(t) = aantal immune personen op tijdstip t

14. SIR model Oplossingen (I) b g S I R • Fractie geïnfecteerde personen op tijdstip t = 0 (i0) • Fractie vatbare personen op tijdstip t = 0 (s0) • Fractie immune personen op tijdstip t = 0 = • Waardes b eng Basis reproductie getal: het gemiddeld aantal secundaire infecties door 1 geïnfecteerd persoon in een populatie die compleet bestaat uit vatbare personen.

15. SIR model Oplossingen (II) b g S I R s0 = 0.99, i0 = 0.01 Matlab: sir.m

16. SIR model Oplossingen (III) b g S I R s0 = 0.99, i0 = 0.01

17. Epidemische grenswaarde Als R0 < 1 Aantal geïnfecteerde personen daalt onmiddellijk Als R0 > 1 Aantal geïnfecteerde personen stijgt: epidemie

18. Vaccinatie epidemie als fractie s omlaag! Gevaccineerd (immuun) Vatbaar Geïnfecteerd

19. Uitbreidingen w mN b (t) g S I R m m m Geboortes en sterfte: m Immune populatie wordt weer vatbaar: Infectie is seizoensafhankelijk: b (t) w Dynamica wordt chaotisch

20. Van Compartiment naar Netwerk Compartiment Netwerk Vatbaar Geïnfecteerd Immuun

21. SIR op een Netwerk b b , g A t=t1 t=t2 b 17 knopen Kans dat een buur van een geïnfecteerde knoop ook geïnfecteerd raakt 1 geïnfecteerde knoop g 7 buren Kans dat een geïnfecteerde knoop immuun wordt

22. Voorbeeld in Matlab Tijdstip t = 0 1 geïnfecteerd Vatbaar File: SIR_network.m Parameters: beta = 1 gamma = 0.1 type= “Lattice” Geïnfecteerd

23. Voorbeeld in Matlab (II) Tijdstip t = 4 4 geïnfecteerden Vatbaar Geïnfecteerd

24. Voorbeeld in Matlab (II) Tijdstip t = 200 Epidemie voorbij Vatbaar Geïnfecteerd Immuun

25. Invloed Netwerk op Verspreiding Schaalvrij Random  P(k) P(k) k k

26. SIR Dynamica op een Netwerk  = 3) Random netwerk: Matlab: Random_SIR.m & Randomnet.m Schaalvrij netwerk ( Matlab: BA_SIR.m & Banet.m Gemiddelde graad: 4 beta = 1 gamma = 0.5 N = 1000 1 knoop geïnfecteerd Gemiddelde graad: 4 beta = 1 gamma = 0.5 N = 1000 1 knoop geïnfecteerd

27. Epidemische grenswaarde b = 0.01 tot 0.7 g = 0.3

28. Vaccinatie op een Netwerk Vaccineer eenkritischefractie (fc) knopen zodatalleengeïsoleerdeclusters van vatbarepersonen overblijven. Waarmogelijkzonderkennis van het netwerk. Kleine (lokale) clusters van vatbare personen Grote cluster vatbare personen fc f=1 f=0 Vatbaar Immuun Geïnfecteerd

29. Vaccinatie Strategieën op een Schaalvrij Netwerk Willekeurig Gericht Buur Geen kennis netwerktopologie Geen kennis netwerktopologie kennis netwerktopologie Hoge fractie knopen (fc > 0.8) moeten gevaccineerd worden Lage fractie knopen (fc > 0.3) moeten gevaccineerd worden Lage fractie knopen (fc > 0.2) moeten gevaccineerd worden

30. Pauze Na de pauze: opgavesmaken