Dane informacyjne:

2. Dane informacyjne: Nazwa szkoły:Gimnazjum w Wierzbnie ID grupy:98/29_MF_G1 Opiekun grupy: Dorota Kryś Kompetencja:Matematyka i fizyka Temat projektowy: Semestr: czwarty/rok szkolny:2011/ 2012 „Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych ”

3. Cele tematu projektowego • Kształcenie biegłości w wykonywaniu obliczeń z zastosowaniem potęg, sprawności zamiany liczby na wykładniczą oraz potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych. • Doskonalenie umiejętności szacowania. • Kształcenie biegłości w zapisywaniu liczb w różnych systemach, wykonywaniu obliczeńwewnątrz systemu i konwertowania liczb pomiędzy systemami (system dziesiątkowy, dwójkowy,szesnastkowy). • Doskonslenie umiejętności rozwiązywania problemów, planowania pracy, ustalaniaterminarza i podziału obowiązków. • Kształcenie umiejętności matematyzacji sytuacji realistycznej i posługiwania się językiem matematycznym.

4. Potęga i potęgowanie Potęga jestskróconym sposobem zapisywania mnożenia jednakowych liczb. Jeśli na przykład, mamy pomnożyć 7 razy 7 razy 7, czyli 7 * 7 * 7, to piszemy 73 . Taki zapis jest po prostu krótszy. Potęgowanie to inaczej mnożenie przez siebie tych samych czynników określoną ilość razy.

5. Budowa potęgi

6. Własności działań na potęgach Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory: a m ∙ a n = a m+n a m : a n = a m-n, dla a ≠ 0 i m>n(a m) n = a m ∙ na n ∙ b n = (ab) na n : b n = (a:b) n, dla b ≠ 0 a -n = (1:a) n, dla a ≠ 0

7. Reasumując:

8. Przekonaj się, że to naprawdę nie takie trudne! (5 5) 5 = 5 5∙5 = 5 25(5 -1) 2 = 5 (-1)∙2 = 5 -2 = 1/25 3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2= 62 =365 -2 ∙ 2 -2 = (5∙2) -2= 10-2 = (1/10)2 = 1/100 = 0,01 100 57 ∙ 0,01 57 = (100∙0,01) 57 = 1 57= 1 4 2 : 2 2 = (4:2) 2 = 2 2 = 42 -2 : 4 -2 = (2:4) -2 = (1/2) -2 = 2 2 = 4 100 5 : 0,01 5 = (100:0,01) 5 = 10000 5 = (10 4) 5 = 1020

9. Zadania dotyczące działań na potęgach 1). Oblicz potęgę 107 2). Oblicz: 5 7 + 5 5 Rozwiazanie: 107=10*10*10*10*10*10*10=10 000 000 7 zerZauważmy, że jeśli n jest liczbą naturalną to zachodzi wzór 10n=10…0 n zer7 Rozwiazanie: 5 7 + 5 5 = 5 5+2 + 5 5 = 5 2 ∙ 5 5 + 5 5 = 5 5(5 2 + 1) = 26 ∙ 5 5

10. 3). Zapisz liczbę 265 · 10 8 w notacji wykładniczej. Rozwiazanie: http://www.e-zadania.pl/gimnazjum/potegi/notacja-wykladnicza/video,1,zapisz-podana-liczbe-w-notacji-wykladniczej.html 4).Oblicz pole kwadratu o boku a równym:a) a = 4,b) a = 200. Rozwiązanie: Pole kwadratu o boku a obliczamy ze wzoru , zatem:a) b) 5). Oblicz objętość sześcianu o boku a równym:a) a = 5,b) a = 0,1. Rozwiązanie: Objętość sześcianu o boku a obliczamy ze wzoru , zatem:a) b)

11. Przykładowe zadania z testu wstępnego 1). W zoo znajdują się 3 klatki. W każdej z nich przebywają 3 małpy. Każda małpa dostaje 3 razy dziennie 3 banany. Ile bananów zjedzą wszystkie małpy w ciągu 3 dni? Rozwiązanie: 35=3*3*3*3*3=27*9=243 Odp.: Wszystkie małpy w ciągu 3 dni zjedzą 243 banany. 2). Zapisz liczbę 163000 przy pomocy notacji wykładniczej: Rozwiązanie: Notacja wykładnicza k * 10 n, k- liczba rzeczywista, która jest równa lub większa 1, ale mniejsza od 10, n- liczba całkowita 163000= 1,63*10 5

12. Zestaw pytań quizowych o tematyce związanej z liczbami bardzo małymi i bardzo dużymi Rozwiązanie zadania: 1 GB = 1024 MB = 1024 * 1024 KB = 1024 * 1024 * 1 024 B = 1024 3 B = ( 2 10) 3 B = 2 30 B 1). Ile bajtów ma gigabajt? Zapisz liczbę bajtów zawartych w 1 gigabajcie w postaci potęgi o podstawie 2. • Zaznacz prawidłową odpowiedź: • 1 GB = 220 B • 1 GB = 1,024 * 10 10 B • 1 GB = 1024 * 10 8 B • 1 GB = 2 30 B

13. Aby przedstawić dużą liczbę w postaci potęgi rozłóż ją na czynniki pierwsze albo zapisz jako iloczyn potęg np. Jednostką służąca do mierzenia ilości informacji jest bajt. 8 bitów (b) = 1bajt(B)1024bajtów (B) = 1kilobajt(kB)1024kilobajtów (kB) = 1megabajt(MB) 1024megabajtów (MG) = 1gigabajt(GB)

14. 2). Szacuje się że na świecie żyje około 1018 owadów. Ludzi na świecie jest około 6 mld. Zakładając, że przeciętny owad waży 0,1g a przeciętny człowiek 50 kg. Oblicz, czy wszystkie owady razem ważą więcej niż wszyscy ludzie.Ile kilogramów owadów przypada średnio na jednego człowieka? Rozwiązanie zadania: masa człowieka: 50 kg=50000 g masa wszystkich ludzi: 5 * 10 4 g * 6 * 10 9 = 30 * 10 13 = 3 * 10 * 10 13 = 3 * 10 14 masa wszystkich owadów: 0,1 g * 10 18 = 10 17 = 10 3 * 10 14 10 17 : 3 * 10 14 = 0,3 * 10 3 g = 300 g = 0,3 kg Odp. Wszystkie owady ważą więcej niż wszyscy ludzie.Odp.Na jednego człowieka przypada 0,3 kg owadów.

15. Zapisywanie liczb małych

16. Takie liczby są przydatne przede wszystkim do zapisywania wartości związanych z fizyką i elektroniką, np. • elementarny ładunek elektronu wynosi: 0,0000000000000000001602C,   czyli 1,602 × 10-19C, • masa spoczynkowa elektronu wynosi: 0,0000000000000000000000000000009108 kg, czyli 9,108 × 10-31kg, Przykłady obliczeń na liczbach małych

17. Przykłady ze świata przyrody pyłek niezapominajki : 0,000 000000000 14 kg = 14*10-14kg masa ziarenka maku 0,0005g=5*10-4 kg kropla wody 0,00005=5*10-6

18. masa najmniejszego ptaka kolibra wynosi 2*10-3kg średnica tułowia ameby to 6,2*10-4 m najmniejszy owad świata pochodzący z rodziny błonkówekma długość 0,17 mm czyli 17*10-2mm, tzn. 17*10-5m.

19. masa pszczoły 0,0001kg = 10⁻⁴ kg masa noworodka kangura 0,00075kg= 75*10⁻⁵ kg masa ryjówki etruskiej 1,2g =1,2*10-3g komar waży 0,000 001 5 kg, czyli jest to 15*10-7kg

20. Odległość od najbliższej gwiazdy to 4,1*1016 Płetwal błękitny waży 1,3*105 Słoń indyjski waży 3,9*103

21. masa atomu wodoru: 1,67*10-27 kg masa wirusa grypy sezonowej: 7*10-16 kg masa wirusa ospy to 7*10-12 g elementarny ładunek elektronu: 1,602*10-19 C,

22. Zapisywanie liczb dużych centylion ... 10100 centezylion ... 10600

23. Te liczby są przydatne przede wszystkim do zapisywania wartości związanych z fizyką i astronomią, np. • masa Księżyca wynosi: 73500000000000000000000 kg czyli 7,35 × 1022kg, • masa Słońca wynosi: 1989000000000000000000000000000 kg czyli 1,989 × 1030kg •  jednostka astronomiczna to: 149600000 km, czyli 1,496 × 108km. Przykłady obliczeń na liczbach dużych

24. Przykładowe zadania 1). Średnia odległość Marsa od Słońca wynosi 2,28 • 108 km . Odległość ta zapisana bez użycia potęgi jest równa:  A.22 800 000 km B.228 000 000 km C.2 228 000 000 km D.22 800 000 000 km 2). Następujące wielkości zapisz używając potęgi liczby 10: A.0,003=0,3*10-3 B.0,00 005=0,5*10-5 C.0,00 000 038=0,38*10-7 D.473 000=4,73*10-5 E.360 000 000=3,6*10-8 3).  500 mm to: A.5 • 10-8 km  B.5 • 10-4 km                    C.5 • 108 km      D.5 • 10-6 km

25. System rzymski Oparty jest na innej zasadzie niż arabski – nie jest on pozycyjny lecz addytywny. Posiada symbole na oznaczenie kilku małych liczb przy czym nie ma w nim zera, a pozostałe liczby uzyskuje się przez dodawanie lub odejmowanie odpowiednich wartości. Ta cecha sprawia, że rzymski zapis często jest bardzo rozbudowany i długi. Mimo pozorów skomplikowania, zasady rzymskiego systemu liczbowego są dosyć proste i logiczne.

26. Oznaczenie liczb w systemie rzymskim

27. Zasady systemu rzymskiego 1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

28. Przykłady obliczeń systemu rzymskiego Rzymski zapis staje się bardziej skomplikowany w przypadku dużych liczb. Ich odczytanie może czasem sprawiać trudności. Oto kilka przykładów:DCCCXLV = 800 (DCCC) + 45 (XLV, czyli {50 – 10} + 5), a więc 845CMXLIX = 900 (CM) + 49 (XLIX, czyli {50 – 10} + {10 – 1}), a więc 949MCDLXXVII = 1000 (M) + 400 (CD) + 77 (LXXVII, czyli 50 + 20 + 7), a więc 1477MDCCXXIV = 1000 (M) + 700 (DCC) + 24 (XXIV), a więc 1724MMCMXVIII = 2000 (MM) + 900 (CM) + 18 (XVIII), a więc 2918

29. Przypadki w systemie rzymskim Oczywiście w pewnych przypadkach występują zarówno podwojone czy potrojone znaki jak i odejmowanie czy dodawanie. CCV = 205 (100 + 100 + 5), XXXIX = 39 (10 + 10 + 10 + {10 – 1}).

30. Ciekawostki systemu rzymskiego W systemie rzymskim jest 8 liczb, do zapisu których używa się jeden raz każdego symbolu. Są to: MCDXLIV = 1000 + (500 – 100) + (50 - 10) + (5 – 1) = 1444 MCDXLVI = 1000 + (500 – 100) + (50 – 10) + (5 + 1) = 1446 MCDLXIV = 1000 + (500 – 100) + (50 + 10) + (5 – 1) = 1464 Jeśli zaś użyjemy raz wszystkich rzymskich cyfr oprócz M, to możemy utworzyć DCLXVI, czyli 666 - „liczbę bestii” ;)

31. Co to jest system pozycyjny? To sposób zapisywania liczb z wykorzystaniem cyfr z niewielkiego zbioru, które zapisywane obok siebie interpretuje się jako iloczyn liczb reprezentowanych przez poszczególne cyfry i potęg liczby naturalnej, nazywanej podstawą systemu. W odniesieniu do zapisów komputerowych wykorzystywane są głównie systemy o podstawie: 2 (binarny, dwójkowy), 8 (ósemkowy) i 16 (szesnastkowy), dwa ostatnie wywodzą się bezpośrednio z systemu dwójkowego.

32. System dziesiątkowy Wyróżniamy dziesięć cyfr: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, osiem, dziewięć. Oznacza się je odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

33. 274 słownie: dwieście siedemdziesiąt cztery Jak widać, każdy kolejny składnik zawiera cyfrę zpowyższej liczby oraz ciągle zwiększający mnożnik. liczba 274 to dwie setki, siedem dziesiątek i 4 jedności Liczby w systemie dziesiątkowym Liczbę 274 można zapisać następująco: 274 = 4*1 + 7*10 + 2*100 Mnożnik ten najpierw jest równy1, potem 10, a na końcu 100 274 = 4*100 + 7*101 + 2*102 Jak widzimy, mnożnik to liczba 10 z ciągle zwiększającą się potęgą.

34. Systemdwójkowy Systemem liczbowym stosowanym w technice cyfrowej jest systemdwójkowy (binarny) – system liczbowy o podstawie 2. W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz dwóch cyfr: 0 i 1.Wynika to z zauważonej właściwości istnienia dwóch stanów, które można interpretować jako dwie różne cyfry. Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek (20), pozycję dwójek (21), czwórek (22), ósemek (23),itd.

35. Liczby w systemie dwójkowym i dziesiątkowym

36. Konwersja czyli zamiana liczb z systemu dziesiątkowego na binarny

37. Konwersja czyli zamiana liczb z systemu binarnego na dziesiątkowy 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024

38. System szesnastkowy W tym systemie mamy szesnaście cyfr: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Symbolom literowym odpowiadają wartości: A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15 Podstawą systemu szesnastkowego jest 16, czyli 24,co pozwala skrócić zapis binarny czterokrotnie.

39. Konwersja liczby szesnastkowej na dziesiętną Liczbę AB12 w zapisie szesnastkowym przedstaw w systemie dziesiatkowym. AB1216 = 2*160 + 1*161 + 11*162 + 10*163 = 2 + 16 + 2816 + + 40960 = 4379410 160 = 1 161 = 16 162 = 256 163 = 4096 164 = 65536 … 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 …

40. Konwersja liczby dziesiętnej na szesnastkową Najpierw musimy wypisać kolejne potęgi liczby 16. Są to: 1, 16, 256, 4096, itd. Liczbę 39435w zapisie dziesiatkowym przedstaw w systemie szesnastkowym . 3943510 = 9 * 4096 + 10 * 256 + 0 * 16 + 11 * 1 = = 9 * 163 + 10 * 162 + 0 * 161 + 11 * 160= 9A0B

41. Konwersja liczby szesnastkowej na dwójkową Konwertujemy liczbę 3FAC72608D 3FAC72608D(16) = 11111110101100011100100110000010001101(2)

42. Dodawanie w systemach pozycyjnych dziesiątkowym dwójkowym szesnastkowym 111111 111111 + 10011 10010010 63 + 23 86 3F + 17 56

43. Odejmowanie w systemach pozycyjnych dziesiątkowym dwójkowym szesnastkowym 1 17 127 - 19 108 • 7F • 13 • 6C 1111111 - 10011 1101100

44. Mnożenie w systemach pozycyjnych 1101 x   1011  0001101   0011010 + 1101000 10001111 dziesiątkowym dwójkowym szesnastkowym 13 x 11 143 D X B 8F

45. Dzielenie w systemach pozycyjnych dziesiątkowym dwójkowym szesnastkowym 61,28… 429 : 7 -42 == 9 -7 20 -14 60 -56 =40… 0111101 - wynik dzielenia110101101 : 111111 - nie da się odjąć, nad kreską 0110101101 111 - da się odjąć, nad kreską 1 11001101  111   - da się odjąć, nad kreską 1  1011101   111  - da się odjąć, nad kreską 1   100101    111  - da się odjąć, nad kreską 1     1001     111  - nie da się odjąć, nad kreską 0     1001      111 - da się odjąć, nad kreską 1, koniec       10 - reszta z dzielenia 3D 1AD : 7

46. Kalkulator Hex – system szesnastkowy (heksadecymalny) Dec – system dziesiątkowy (decymalny) Oct – system ósemkowy (oktalny) Bin – system dwójkowy (binarny)

47. Zastosowanie systemów liczbowych w informatyce Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych , albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on w szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. Na przykład: 216 = 6553610 = 1000016 , 232 = 429496729610 = 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania. System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW, gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

48. System dwójkowy a komputer System binarny to system, dzięki któremu powstały maszyny cyfrowe w tym komputery. Komputer składa się z części elektronicznych, gdzie wymiana informacji polega na odpowiednim przesyłaniu sygnałów. Podstawą elektroniki jest prąd elektryczny, który w układach elektronicznych albo płynie albo nie. Komputer rozpoznaje sygnały i interpretuje płynący prąd jako "1", a jego brak jako "0".Operując odpowiednim ustawieniem, kiedy ma płynąć prąd, a kiedy nie, ustawia różne wartości zer i jedynek. Procesor konwertuje je na liczby i w ten sposób powstają czytelne dla nas obrazy, teksty, dźwięk itp.

49. Zegar binarny Jest to zegar, który wyświetla godzinę w systemie binarnym. Istnieją zarówno cyfrowe, jak i analogowe zegary binarne. W przypadku zegarów cyfrowych, czas wyświetlany jest za pomocą diod . godzina 3:25

50. Jak odczytać godzinę w zegarze binarnym ? Pionowe kolumny to po kolei: GG:MM:SS (godziny, minuty, sekundy), a kluczem do odczytania godziny jest znajomość układu binarnego. 0 = 0 1 = 1 2 = 10 3 = 11 4 = 100 5 = 101 6 = 110 7 = 111 8 = 1000 9 = 1001 10 = 1010