Las Matemáticas en las ingenierías Julio 2010 Universidad de Burgos Cursos de Verano

1. Las Matemáticas en las ingenieríasJulio 2010Universidad de BurgosCursos de Verano Josep FERRER, Marta PEÑA Universitat Politècnica de Catalunya

2. Aplicaciones • Los números complejos: Representación compleja de las corrientes alternas, cálculo de caídas de potencial, anulación de la potencia reactiva • Matrices, Determinantes, Rango: Controlabilidad y observabilidad de sistemas de control lineal, índices de controlabilidad • Sistemas de ecuaciones lineales: Red de flujos, Modelo económico de Leontief • Espacios vectoriales, Bases, Coordenadas: Códigos de colores, Cristalografía • Subespacios vectoriales: Estados alcanzables en un sistema de control, Análisis de circuitos • Aplicaciones lineales: Descomposición de Kalman • Diagonalización, Valores y vectores propios: Direcciones principales de tensión y deformación, Matrices circulantes • Matrices no diagonalizables: Forma canónica de control, Modelo poblacional de Leslie • Sistemas discretos dinámicos: Índices de accesibilidad de Gould, Modelo presa depredador

3. Ingeniería eléctrica • (A) Análisis de circuitos • Ejercicio 1 • (B) Representación compleja de las magnitudes eléctricas para corrientes alternas • Ejercicio 2 • Ejercicio 3 • (C) Matrices circulantes • Ejercicio 4

4. (A.1) Análisis de circuitos • Consideramos una red con N nudos, B ramas y M mallas. • Se trata de determinar la distribución de corrientes y tensiones , , mediante: • LEY DE OHM: , en cada rama, donde ek es la generación de tensión (si hay). • 1ª LEY DE KIRCHOFF (KCL): , en cada nudo. • 2ª LEY DE KIRCHOFF (KVL): , en cada malla.

5. (A.2) Análisis de circuitos • Desde un punto de vista teórico, la Ley de Ohm establece un isomorfismo entre corrientes y tensiones, de forma que nos podemos remitir sólo a un grupo de variables. Por ejemplo, a las corrientes: • (KCL) , en cada nudo. • (KVL) , en cada malla.

6. (A.3) Análisis de circuitos • Una de las ecuaciones de nudo es redundante. Por tanto tenemos N+M-1=B ecuaciones con B incógnitas. También queda claro que el sistema es compatible determinado ya que lo es su homogéneo asociado (si ek=0, no hay aportación de energía, y por tanto las corrientes son nulas). Por tanto: • dim {soluciones KCL}=B-(N-1)=M • dim {soluciones KVL}=B-M=N-1 • Se confirma fácilmente (también por un razonamiento “práctico”) que las corrientes de malla son l.i., y por tanto son base del primer subespacio.

7. (A.4) Ej.1: Dimensiones y bases de los subespacios def. como soluciones de un sistema de ecuaciones • Considerar la red: • De entre el conjunto E de distribuciones arbitrarias de corrientes, interesa el subconjunto de las que verifican la ley de Kirchoff: en cada nudo la suma de corrientes entrantes debe ser igual a la de las salientes. • En la práctica no se usan las corrientes señaladas sino las corrientes de malla: • Demostrar que son coordenadas del subconjunto de soluciones.

8. (B.1) Representación compleja de las magnitudes eléctricas para corrientes alternas • El tratamiento de corrientes continuas se generaliza a corrientes alternas simplemente sustituyendo la representación real de las magnitudes eléctricas por una representación compleja. Concretamente, las magnitudes eléctricas en corrientes alternas tienen la forma cosenoidal donde M es el valor eficaz, α la fase y ω la frecuencia (constante). • A cada una se le asocia el fasor complejo • Como la correspondencia es lineal, las leyes de Kirchoff resultan • (KCL) , en cada nudo. • (KVL) , en cada malla.

9. (B.2) Representación compleja de las magnitudes eléctricas para corrientes alternas • Como tiene estructura de cuerpo también generaliza (Ohm) , en cada rama. donde Zk es la impedancia, incluyendo no sólo el caso de resistencias , sino también, gracias a que el caso de condensadores y bobinas: , , donde C y L son la capacidad y la inductancia respectivamente.

10. (B.3) Ej.2: Los números complejos • Apliquémoslo para calcular la corriente resultante de incrementar la con otras dos de valores eficaces 75% y 50%, desfasadas 120º y 90º respectivamente, es decir

11. (B.4) Ej.3: Los números complejos • Deducir que para el circuito la impedancia Z es un número real si, y sólo si, y que entonces • A esta situación se le llama de resonancia paralela.

12. (C.1) Matrices circulantes • Entre los diversos tipos particulares de matrices que aparecen en Electrotecnia (simétricas,...), destacamos que las de acoplamientos magnéticos en diferentes tipos de motores, máquinas de inducción, etc., dan un operador de inductancias de la forma caso particular de las llamadas matrices circulantes. • Todas tienen los mismos VEPs, que las caracterizan: Prop. Son equivalentes: • Z es una matriz circulante. • Z diagonaliza por la transformación ortogonal , • Desde un punto de vista técnico, los VAPs dan la descomposición en monofásicos.

13. (C.2) Ej.4: Valores y vectores propios complejos • Demostrar que toda matriz circulante de la forma , diagonaliza con donde α3 =1 , Calcular la forma diagonal. • Demostrar que si A y B son circulantes, también lo son A+B y AB, y que sus valores propios son respectivamente la suma y el producto de los de A y B.