Nazwa szkoły: GIMNAZJUM NR 1 W SZCZECINIE ID grupy: 98/91_G1 Opiekun: HALINA OPALA Kompetencja:

2. Nazwa szkoły: • GIMNAZJUM NR 1 W SZCZECINIE • ID grupy: 98/91_G1 • Opiekun: HALINA OPALA • Kompetencja: • MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: • PODZIELNOSĆ • Semestr/rok szkolny: • V / 2011/2012

3. Jednym z pierwszych problemów jakie spotykamy na swojej drodze edukacji matematycznej jest zagadnienie podzielności w zbiorze liczb naturalnych i całkowitych. Podzielność jednej liczby przez drugą jest podstawowym pojęciem matematyki. • Mówimy że liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b, przy czym b ≠ 0, jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że a = k · b. • Zapisujemy wówczas b|a i mówimy, że liczba b jest dzielnikiem liczby a, albo liczba a jest wielokrotnością liczby b, albo że a jest podzielne (bez reszty) przez b.

4. Własności podzielności • Jeśli a|b i a|c to a|a+c • Jeśli a|b i a|c to a|mb+nc dla dowolnych liczb całkowitych m i n • Jeśli a|b i b|c to a|c czyli podzielność jest przechodnia • Jeśli a|b i b|a to a=b lub a=-b • Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. • Swoisty wyjątek stanowi tutaj liczba zero, ponieważ dzielenie jej przez nią samą oraz liczbę do niej przeciwną (czyli w obu przypadkach przez zero) zostało uznane przez matematyków za działanie o nieoznaczonym wyniku.

5. DZIELNIKI • Każda liczba całkowita jest dzielnikiem liczby 0, ponieważ dla każdej liczby całkowitej k mamy 0 = 0 · k. • Liczba 1 ma tylko dwa dzielniki całkowite: 1 i -1. • Jeśli dla liczb całkowitych a i b prawdziwe jest a|b i b|a, to a = ±b, • Jeśli natomiast liczby a i b są naturalne to z a|b i b|a wynika a = b.

6. Własności • liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej • każda liczba naturalna jest wielokrotnością liczby 1 • każda liczba naturalna różna od 0 jest swoim dzielnikiem • każda liczba naturalna jest swoją wielokrotnością • liczba 0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej

7. DZIELNIKI LICZB NATURALNYCH • Jeżeli liczba naturalna a dzieli liczbę naturalną b bez reszty, to liczba a nazywa się dzielnikiem liczby b, a liczba b nazywa się wielokrotnością liczby a. • Dzielnikiem liczby b nazywamy taką liczbę a, która dzieli bez reszty liczbę b. • Dzielnikami liczby 12 są: 1, 2, 3, 4, 6, 12, bo każda z liczb dzieli 12 bez reszty. • Zapisujemy wówczas D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

8. WIELOKROTNOSCI LICZB NATURALNYCH • Wielokrotnością liczby a nazywamy liczbę b, która jest iloczynem liczby a i dowolnej liczby naturalnej. • Wielokrotnościami liczby 7 są: 0, 7, 14, 21, 28, 35, ..., bo każda z liczb jest podzielna przez 7. • Zapisujemy wówczas W7 = {0, 7, 14, 21, 28, 35, ...}. • Wszystkich wielokrotności danej liczby nie sposób wymienić, ponieważ jest ich nieskończona ilość.

9. NAJWIĘKSZY WSPÓLNY DZIELNIK Największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych a i b, z których co najmniej jedna jest różna od zera, to największy spośród wspólnych dzielników liczb a i b. Największy wspólny dzielnik liczb a i b zapisujemy NWD(a, b). Jeśli największy wspólny dzielnik dwóch liczb jest równy 1, to liczby takie nazywamy względnie pierwsze.

10. METODY ZNAJDOWANIA NWD Jest klika metod na odnajdywanie NWD dwóch liczb. • Szukanie takiego dzielnika w pamięci, jednak metoda ta jest mało przydatna dla dużych liczb • Rozkład liczb na czynniki pierwsze • Algorytm Euklidesa

11. Algorytm euklidesa • Praktycznym i szybkim sposobem obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb całkowitych jest algorytm Euklidesa. Jest to jeden z najstarszych algorytmów - został opisany przez Euklidesa ok. roku 300 p.n.e. Opiera się on na spostrzeżeniu, że jeśli od większej liczby odejmiesz mniejszą, to mniejsza liczba i otrzymana różnica będą miały taki sam największy wspólny dzielnik jak pierwotne liczby. Jeśli w wyniku kolejnego odejmowania otrzymasz parę równych liczb, oznacza to, że znalazłeś NWD.

12. Algorytm Euklidesa jest algorytmem rekurencyjnym, chociaż w bardzo prosty sposób można go przekształcić do formy iteracyjnej. Mając do policzenia NWD(a, b) sprawdzamy, czy b = 0. Jeśli tak jest to NWD(a, b) = a. • W przeciwnym wypadku wywołujemy rekurencyjnie algorytm dla liczb b i reszty z dzielenia a przez b. • Dane są dwie liczby naturalne a i b. • 1. Jeśli b ≠ 0 oblicz c jako resztę z dzielenia a przez b i zastąp a przez b, zaś b przez c. • 2. Jeżeli b = 0, NWD wynosi a, w przeciwnym wypadku wróć do punktu pierwszego i kontynuuj.

13. Nasuwa się pytanie, czy takie postępowanie zawsze się skończy. Istotnie dla liczb naturalnych zawsze tak jest. • Korzyść z algorytmu Euklidesa jest taka, że ostatnia niezerowa reszta jest, co łatwo sprawdzić największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b. • PRZYKŁAD: • 243 : 111 = 2 reszta 21 • 111 : 21 = 5 reszta 6 • 21 : 6 = 3, reszta 3 • 6 : 3 = 2, reszta 0 • Ostatnia niezerowa reszta wynosi 3. • NWD(243, 111) = 3

14. TwierdzeniE O NWD • Dla dowolnych różnych od zera liczb całkowitych a, b • istnieje ich największy wspólny dzielnik • Rozważmy zbiór: Ω = { d ∈ N: d dzieli a i d dzieli b} • Jest to zbiór niepusty, bo 1 ∈ Ω. Jest to również zbiór skończony, gdyż dowolny element d ∈ Ω jest mniejszy lub równy zarówno od a, jak również od b. • Niepusty i skończony zbiór złożony z liczb naturalnych posiada oczywiście element największy, który jest poszukiwanym największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b.

15. Liczby względnie pierwsze • Liczbami względnie pierwszymi nazywamy liczby, których największym wspólnym dzielnikiem jest 1. • Oznacza to, że żadna liczba naturalna większa od 1 nie dzieli jednocześnie tych liczb. • Rozkłady na czynniki pierwsze liczb względnie pierwszych wyróżniają się brakiem dzielników pierwszych wspólnych dla wszystkich liczb. Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb względnie pierwszych jest ich iloczyn. • Każde dwie kolejne liczby naturalne są względnie pierwsze. • Każde dwie liczby parzyste nie są względnie pierwsze.

16. PRZYKŁADY: • 15 = 3 · 5 28 = 2 · 2 · 7 • wspólne czynniki: brak • NWD(15, 28) = 1 • Liczby 15 i 28 są względnie pierwsze. • 15 = 3 · 5 16 = 2 · 2 · 2 · 2 • wspólne czynniki: brak • NWD(15, 16) = 1 • Liczby 15 i 16 są względnie pierwsze.

17. Dzielniki trywialne, nietrywialne i właściwe • Dzielniki 1, -1, n i –n liczby n nazywa się dzielnikamitrywialnymi, wszystkie pozostałe nazywa się z kolei nietrywialnymi; • Dzielnikiem właściwym liczby nazywa się każdy jej dodatni dzielnik, który jest od niej różny. • PRZYKŁAD: • Dzielniki trywialne liczby 15 to: -1, 1, 15, -15. • Dzielniki nietrywialne liczby 15 to: 3, -3, 5 i -5. • Dzielniki właściwe liczby 15 to: 1, 3 i 5.

18. algorytm • Jednym z podstawowych pojęć w informatyce jest algorytm. • Słowo algorytm wywodzi się od perskiego matematyka, Abu Abdullah Muhammed ibn Musa Al-chwarizmi który żył w latach od około 780 r. do około 850 r. • Napisał on wiele dzieł rozwijających algebrę. W dziełach tych stosował opisy kolejnych operacji, których należy wykonaćw celu rozwiązania np. równania kwadratowego • Algorytmem nazywamy uporządkowany, skończony ciąg jednoznacznie określonych operacji, których wykonanie w skończonym czasie daje rozwiązanie pewnej klasy problemów.

19. Abu abdullah muhammed ibn musa al.-chwarizmi • Abu Abdullah Muhammed ibn Musa Al-chwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي) – perski matematyk, astronom, geograf i kartograf pochodzenia uzbeckiego żyjący w IX wieku (prawdopodobnie ok. 780 - ok. 850). • Urodzony w Chiwie, w latach 813-833 żył w Bagdadzie. Wszystkie jego dzieła zostały napisane po arabsku. Nosił przydomek „pana tablic”. • Dzięki jego pracom na Bliskim Wschodzie zaczęto stosować pochodzące z Indii dziesiętny system liczenia i pozycyjny system zapisu liczb, które wkrótce dotarły do Europy. Cyfry arabskie wyparły cyfry rzymskie w Europie. Jego prace pozwoliły też wprowadzić i wyjaśnić pojęcia zera, ułamków oraz funkcje trygonometryczne sinus i tangens. • Jako pierwszy ułożył tablice funkcjisinus i tangens, wprowadził elementy algebry. Termin algebra pochodzi od tytułu jego dzieła Kitāb al-jabr wa'l-muqābala ("Zasady redukcji i przenoszenia"), zaś algorytm od łacińskiej wersji jego nazwiska.

20. Własności algorytmu • Uporządkowanie operacji - działania wykonywane w algorytmie muszą posiadać określoną kolejność. Powinna być wskazana pierwsza operacja. Po wykonaniu każdej operacji musimy wiedzieć, którą z operacji wykonać jako następną. W algorytmie musi istnieć operacja ostatnia. • Skończona liczba operacji - od algorytmu żądamy praktyczności. Zatem ilość zawartych w nim operacji nie może być nieskończona, ponieważ wtedy wykonanie algorytmu nigdy by się nie zakończyło, nie mówiąc już o problemach z jego opisaniem. • Określoność operacji - musimy wiedzieć jak wykonać każdą operację algorytmu. Co więcej, każda operacja nie może być różnie interpretowana - musi być jednoznaczna, czyli taka, aby można było ją wykonać tylko w jeden sposób. • Skończoność czasu wykonania - od algorytmu żądamy, aby dawał wynik w skończonym czasie. W przeciwnym razie nigdy byśmy nie otrzymali wyniku, co jest przecież równoznaczne z brakiem rozwiązania. • Ogólność - algorytm powinien dawać rozwiązanie wielu podobnych problemów. Złym algorytmem jest obliczanie sumy 2+2=4. Dobrym algorytmem jest natomiast sposób obliczania sumy dowolnych liczb

21. Algorytm euklidesa w postaci blokowej

22. euklides • Bardzo mało wiemy o Euklidesie. Zarówno daty jaki miejsce • urodzenia i śmierci nie są dokładnie znane. • Przypuszcza się, że urodził się około 325 roku p.n.e., a zmarł w roku 265 p.n.e. • Najprawdopodobniej wykształcił się w Akademii Platońskiej. Na zaproszenie • Ptolomeusza I przeniósł się do Aleksandrii, gdzie założył szkołę matematyki. • uważany jest za OJCA GEOMETRII, a jego dzieło „Elementy” uważane jest za • najlepszy tekst matematyczny, jaki kiedykolwiek napisano. • „Elementy” to traktat matematyczny składający się z 13 ksiąg. Jest to zbiór i • definicji i postulatów, które tworzą podstawy geometrii.

23. Cechy podzielności liczb naturalnych • Czasem dzieląc jedną liczbę przez drugą, nie chcemy znać wyniku tego dzielenia, a jedynie wiedzieć czy liczba ta dzieli się przez inną bez reszty. • Są metody, które pozwalają rozstrzygnąć taką podzielność nie używając przy tym kalkulatora lub kartki z ołówkiem. • Rozstrzygając o podzielności liczb możemy badać ostatnią cyfrę, dwie ostatnie cyfry lub sumę cyfr danej liczby. • Są tez bardziej skomplikowane sposoby jak na przykład przy badaniu podzielności przez 7.

24. CECHY PODZIELNOŚCI PRZEZ 2, 5 I 10 • Cecha podzielności przez 2Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta lub jest nią zero. Przykłady: 12454, 48222, 102150, • Cecha podzielności przez 5 Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę 0 lub 5:Przykłady: 3490, 34315, 10000005 • Cecha podzielności przez 10Liczba jest podzielna przez 10 jeżeli jej ostatnia cyfrą jest 0:Przykłady: 47850 , 342360, 50985910

25. CECHY PODZIELNOŚCI PRZEZ 4, 25 I 100 • Cecha podzielności przez 4Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Przykłady: 123116, 344340, 11262036 • Cecha podzielności przez 25Liczba jest podzielna przez 25 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę: 25, 50, 75 lub są zerami. Przykłady: 11300, 156250, 67025 • Cecha podzielności przez 100Liczba jest podzielna przez 100 jeżeli jest zakończona dwoma zerami.Przykłady: 1400, 79900, 200600

26. Cechy podzielności przez 3 i 9 • Cecha podzielności przez 3Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3:Przykłady: 126 (suma cyfr 9), 282 (suma cyfr 12), 12480 (suma cyfr 15) • Cecha podzielności przez 9Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9:Przykłady: 279 (suma cyfr 18), 171 (suma cyfr 9), 171189( suma cyfr 27)

27. Złożone Cechy podzielności • Liczba jest podzielna przez 6, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 3 • Liczba jest podzielna przez 12, gdy równocześnie dzieli się przez 4 i przez 3 • Liczba jest podzielna przez 14, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 7. • Liczba jest podzielna przez 15, jeżeli jest podzielna przez 3 i 5 • Liczba jest podzielna przez 18, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 9.

28. Inne cechy podzielności • Cecha podzielności przez 8 Liczba jest podzielna przez 8 jeżeli jej 3 ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielna przez 8:Przykłady: 240, 328, 15816 • Cecha podzielności przez 13 Liczba jest podzielna przez 13, jeśli różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13. Przykład: 85527 mamy 527 – 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest podzielna przez 13.

29. Złożone Cechy podzielności • Liczba jest podzielna przez 21, jeśli jest podzielna zarówno przez 3 jak i przez 7. • Liczba jest podzielna przez 22, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 11.Liczba jest podzielna przez 26, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 13. • Liczba jest podzielna przez 28, jeśli jest podzielna zarówno przez 4 jak i przez 7. • Liczba jest podzielna przez 30, jeśli jest podzielna zarówno przez 3 i przez 10.

30. Cecha podzielności przez 11 • Liczba jest podzielna przez 11, jeśli po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych, sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy liczbę podzielną przez 11. Nie ma znaczenia, czy miejsca parzyste i nieparzyste liczymy od lewej, czy od prawej. Przykład: • Liczba 854073 → (8+4+7) – (5+0+3) = 19 – 8 = 11 • 854073 jest podzielna przez 11

31. Cecha podzielności przez 7 • Liczba jest podzielna przez 7, jeśli suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3 (włącznie z potęgą zerową) jest podzielna przez 7. • Przykład: • 1757 : 1·27+7·9+5·3+7·1=112 1761 : 1·27+7·9+6·3+1·1=109 • 112 : 1·9+1·3+2·1=14 109 : 1·9+0·3+9·1=18 • Liczby 1757 oraz 112 są podzielne przez 7. • Liczba 1761 oraz 109 nie dzielą się przez 7.

32. Najmniejsza wspólna wielokrotnosć • Wspólna wielokrotność liczb naturalnych a i b jest to taka liczba c, która jest wielokrotnością liczby a i jest wielokrotnością liczby b, czyli istnieją takie liczby k, l należące do zbioru liczb naturalnych takie, że c=k·a, i c=l·b Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością obu liczb. Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb a i b zapisujemy NWW(a, b). Zmiana kolejności argumentów NWW nie zmienia jej wartości.

33. Znajdowanie nww • W przypadku niewielkich liczb, najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć wypisując wielokrotności danych liczb, metoda ta jednak uciążliwa jest dla większych liczb. W tej sytuacji rozkładamy liczby na czynniki pierwsze. W rozkładzie drugiej liczby wykreślamy (o ile istnieją) wspólne czynniki. Iloczyn wszystkich nieskreślonych czynników obu liczb jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb. • Przykład: NWW(20, 30) = ? • Rozkładamy liczbę 20 i liczbę 30 na czynniki pierwsze: • 20 = 2 · 2 · 5 30 = 2 · 3 · 5 • W rozkładzie liczby 30 wykreślamy czynniki: 2 i 5 • Iloczyn pozostałych nieskreślonych czynników równy jest NWW tych liczb: 2 · 5 · 2 · 3 = 60 NWW(20, 30) = 60

34. Liczby pierwsze • Liczba pierwsza – liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, itp. • Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, jak wykazał Euklidesa około 300 r pne. Nie jest znana przydatna formuła, która daje wszystkie liczby pierwsze. Jednak rozkład liczb pierwszych, to znaczy, statystyczne zachowanie liczb pierwszych można modelować. Pierwszy wynik w tym kierunku sprawdzony pod koniec XIX wieku mówi, że prawdopodobieństwo , że dana, losowo wybrana liczba n jest liczbą pierwszą jest odwrotnie proporcjonalna do jego liczby cyfr lub logarytmu n.

35. eratostenes • Eratosthenes; ur. 276 p.n.e. w Cyrenie, zm. 194 p.n.e.) – grecki matematyk, astronom, filozof, geograf i poeta. Wyznaczył obwód Ziemi (zob. opis eksperymentu) oraz oszacował odległość od Słońca i Księżyca do Ziemi. Twierdził, że, płynąc na zachód od Gibraltaru, można dotrzeć do Indii. Jako pierwszy zaproponował wprowadzenie roku przestępnego, czyli wydłużonego o jeden dodatkowy dzień w kalendarzu. Był również badaczem twórczości Homera – ustalił datę zdobycia Troi na rok 1184 p.n.e., czyli nieodbiegającą od współczesnych szacunków. Podał sposób znajdowania liczb pierwszych – sito Eratostenesa. Przejął po Apolloniosie z Rodos zarządzanie Biblioteką Aleksandryjską. W wieku 80 lat, nie mogąc pogodzić się z utratą wzroku, zagłodził się na śmierć.

36. Podstawowe własności liczb pierwszych • Najmniejszy różny od jedynki dzielnik naturalny liczby naturalnej, większej od jedności, jest liczbą pierwszą. • Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb pierwszych..

37. Liczby złożone • Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. • Dowiedziono, że każdą liczbę złożoną można jednoznacznie przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Z drugiej strony, przedstawienie liczb naturalnej w postaci iloczynu liczb pierwszych jest z dokładnością do porządku czynników tylko jedno i nazywamy je rozkładem liczby naturalnej na czynniki pierwsze.

38. Sito eratostenesa • Aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze w zadanym przedziale liczbowym można posłużyć się algorytmem sito Eratostenesa: jeśli liczba naturalna N większa od 1 nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych nie większych od pierwiastka z N, to N jest liczbą pierwszą. • Szukając liczb pierwszych w przedziale [2, 400] wykreślamy kolejno wielokrotności liczb pierwszych 2, 3,5,7,11,13,17,19 (mniejszych niż 20) z wyjątkiem tych liczb pierwszych. Pozostałe liczby to liczby pierwsze.

39. lista wszystkich liczb pierwszych aż do 1000: • 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

40. Liczba doskonała • Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). • Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. • Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to • 496, 8128, 33550336, • 8589869056 i 137438691328. • .

41. Liczba doskonała i eukldes • W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą

42. Liczba doskonała i euler • Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2p-1)·2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

43. Leonhard euler • Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, • zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski • matematyk i fizyk; był pionierem w wielu • obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii. Dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak rachunek różniczkowy i całkowy oraz teoria grafów. Wniósł duży wkład w rozwój terminologii i notacji matematycznej, szczególnie trwały w dziedzinie analizy matematycznej. Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji. Opublikował wiele ważnych prac z zakresu mechaniki, optyki i astronomii. Podobizna Eulera widnieje na szwajcarskim banknocie10-frankowym szóstej serii; uczonego uwieczniono też na wielu szwajcarskich, niemieckich i rosyjskich (radzieckich) znaczkach pocztowych.

44. Poszukiwanie liczb doskonałych • Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. • Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10300 (wynik z roku 1991).

45. Liczby zaprzyjaźnione • Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników). • Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ: • 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284) • 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)

46. Przykłady liczb zaprzyjaźnionych • Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości. • Oto wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od 500 000: • 220 i 284, 1184 i 1210, 2620 i 2924, 5020 i 5564, 6232 i 6368, • 10744 i 10856, 12285 i 14595, 17296 i 18416, 63020 i 76084, 66928 i 66992 • 67095 i 71145, 69615 i 87633, 79750 i 88730, 100485 i 124155 122265 i 139815 • 122368 i 123152, 141664 i 153176, 142310 i 168730, 171856 i 176336, 176272 i 180848 • 185368 i 203432, 196724 i 202444, 280540 i 365084, 308620 i 389924 • 319550 i 430402, 356408 i 399592, 437456 i 455344, 469028 i 486178

47. Z historii liczb zaprzyjaźnionych • Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Euler podał listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) "nieprzyjazne". • Dzisiaj znanych jest już prawie 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, których składniki potrafią być rzędu 109.Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze soba.

48. Równania diofantyczne • Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.

49. Równania diofantyczne i algorytm euklidesa • Równanie diofantyczne liniowe: ax + by = c posiada rozwiązania całkowite x, y wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) jest dzielnikiem c. • Jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c , to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: • x = x0 +b/NWD(a, b) · t, • y = y0−a/NWD(a, b) · t, • gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

50. P R Z Y K Ł A D : • 1001x + 35y = 49 • NWD(1001, 35) = 7 bo stosując algorytm Euklidesa otrzymamy: • 1001 = 28 · 35 + 21 • 35 = 1 · 21 + 14 • 21 = 1 · 14 + 7 • 14 = 21 · 7 + 0 • 2 · (1001 − 28 · 35) − 1 · 35 =2 · 1001 − 57 · 35 • 21 − 1 · (35 − 1 · 21) = 2 · 21 − 1 · 35 =21 − 1 · 14 =7