Transmittance complexe Diagramme de Bode Fonction de transfert

1. Transmittance complexeDiagramme de BodeFonction de transfert Enseignement d’électronique de Première Année – Module GE2IUT de Chateauroux

2. Quadripôles • Définition • circuit électrique possédant deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie • il est dit linéaire s’il ne comporte que des éléments linéaires • il est dit passif s’il ne comporte que des composants passifs (résistance, inductance, capacité) • Représentation • V1 et I1 sont aussi notés Ve et Ie (idem (V2,I2) <=> (Vs,Is) )

3. Filtres • Quadripôle répondant à des critères de comportement en fonction de la fréquence • Il peut agir sur l’amplitude du signal (pour supprimer certaines bandes de fréquences) • Ou agir sur la phase du signal sans changer l’amplitude (filtre à temps de propagation de groupes constant par exemple)

4. Transmittance complexe • Définition • C’est le rapport, en notation complexe, qui existe entre la tension en sortie du quadripôle et la tension en entrée de ce quadripôle • Mathématiquement : • Note : • ce calcul s’effectue en régime harmonique donc en utilisant les impédances complexes des éléments du circuit (ZL(jw) = Ljw pour une inductance …)

5. Transmittance complexe • Exemple : circuit RC • Calcul de T(jw) • loi des mailles : et loi d’Ohm : • élimination de I : • finalement : • w0 est la pulsation de coupure du circuit • on note t0 la constante de temps du circuit

6. Gain et déphasage • Gain • Il exprime le rapport de l’amplitude du signal de sortie sur l’amplitude du signal d’entrée en décibel (dB) • Déphasage • Il exprime le décalage angulaire (en degré ou radian) sur un diagramme de Fresnel entre les signaux d’entrée et de sortie

7. Gain et déphasage • Exemple : circuit RC • Rappel • Gain • soit : • Déphasage • soit :

8. Diagramme de Bode • Définition : • c’est la représentation graphique de G(w) et de j(w) sur un diagramme semi-logarithmique

9. Diagramme de Bode • Exemple : circuit RC

10. Diagramme Asymptotique • Justification du diagramme de Bode asymptotique • Soit : • Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain • Cas de l’amplitude pour • L’atténuation étant faible, on l’assimile à une constante égale au gain en 0, ici 0 dB d’où une asymptote horizontale à Y=0 pour • Cas de l’amplitude pour • Pour on peut écrire : • Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit : • où X0 correspond à w0 • C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0avec une pente de -20dB par décade (Y diminue de 20dB pour un accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade)

11. |Vs| 0dBF0 F |Vs| 0dBF0 F |Vs| 0dBF0 F |Ve| |Ve| |Ve| Différents types de filtres • Avec critère en amplitude • Filtre passe-bas : on laisse passer les signaux de en deça d’une fréquence F0 et on les atténue au-delà • Filtre passe-bande : on laisse passer les fréquences comprises entre F1 et F2; les signaux à F<F1 et F>F2 sont atténués • Filtre passe-haut : on préserve les signaux à F>F0 et on atténue ceux à F<F0 |Vs|F0 F |Vs| 0dBF0 F |Ve| |Ve| |Vs|F1 F2 F |Ve| |Ve| |Vs|F0 F |Vs| 0dBF0 F |Ve| |Ve|

12. |Vs| 0dBF0 F |Vs| 0dBF0 F |Ve| |Ve| Différents types de filtres • Critères en amplitude (suite) • Filtre coupe bande : on supprime les signaux à F compris entre F1 et F2 • Réjecteur de fréquence : on supprime 1 ou plusieurs fréquences • Critères de phase • On impose un retard constant ou déterminer en fonction de la fréquence au signal |Vs| 0dBF0 F |Vs|F1 F2F |Ve| |Ve| |Vs| 0dBF0 F |Vs|F0 F |Ve| |Ve| jsF je

13. Ordres des filtres • Pente de coupure • On ne peut pas réaliser une coupure aussi franche que sur les exemples précédents • Pente de coupure = ordre du filtre x 20 dB/décade • Filtre du premier ordre • La pente sera de 20dB par décade • Conséquences • Le signal continue à passer après la fréquence de coupure • Il faut un ordre important pour une coupure franche • Ordre élevé = composants nombreux; sensibilité à la tolérance plus importante

14. Visualisation de l’ordre sur un passe-bas • Calcul à 10w0 : • -20dB signifie que l’amplitude est divisée par 10 • -40 dB signifie une division de l’amplitude par 100 • -60 dB implique une division par 1000 de l’amplitude 0dBw0/10 w0 10w0w Ordre 1 : Pente à -20dB/décade -20dB -40dB Ordre 2 : Pente à -40dB/décade -60dB Ordre 3 : Pente à -60dB/décade

15. Filtre passe-bas d’ordre 1 • Transmittance complexe du passe-bas • Gain • Déphasage • Diagramme de Bode 0dBw0/10 w0 10w0w 0w0/10 w0 10w0w Pente à -20dB/décade -p/2 -20dB -20dB

16. Filtre passe-bas d’ordre 1 • Réponse temporelle à un échelon de tension • Définition de Ve • A partir de la transmittance complexe • Passage au domaine temporel (voir math fin d’année) • Multiplier par jw implique une dérivation, d’où l’équation différentielle : • Se résolvant en : en prenant une condition initiale nulle

17. Filtre passe-bas d’ordre 1 • En vert, l’entrée avec E = 5v • En rouge, le signal de sortie (constante de temps = 1s)

18. Filtre passe-bas d’ordre 1 • Réalisations actives • Réalisations passives • Circuit RC • Circuit LR

19. Filtre passe-bas d’ordre 2 • Transmittance complexe du passe-bas • Où w0 est la pulsation naturelle du filtre • Et m le coefficient d’amortissement du filtre (m>0) Note : ce filtre est factorisable dans certains cas. Posons : il s’agit de factoriser dans R le dénominateur de T : C’est possible si et on a alors avec

20. Filtre passe-bas d’ordre 2 • Transmittance complexe du passe-bas (suite) • Pour m<1, T n’est pas factorisable • Gain Remarque : on montre que pour , le gain présente un maximum en appelé pulsation de résonnance. • Déphasage On établit la continuité de la phase en prenant

21. Filtre passe-bas d’ordre 2 • Diagramme de Bode : l’amplitude (tracé pour fo=1Hz)

22. Filtre passe-bas d’ordre 2 • Diagramme de Bode réel : déphasage • Points particuliers • Pour m>1, la courbe de déphasage possède 2 points d’inflexion • Pour m<1, point d’inflexion unique en w=w0 (réciproquement en f=fo)

23. Filtre passe-bas d’ordre 2 • Réponse à 1 échelon de tension • Transformation fréquentielle  temporelle Cas usuel : on considère

24. Filtre passe-bas d’ordre 2 • Résolution de l’équation caractéristique • 2 cas de figure concrêts possibles • m<1 soit D’<0 2 racines complexes conjuguées avec • m>1 soit D’>0 2 racines réelles distinctes Note :

25. Filtre passe-bas d’ordre 2 • Solution pour m>1 • Conditions initiales • Solution pour m<1 • Conditions initiales Rappel :

26. Filtre passe-bas d’ordre 2 • Tracé de la réponse à un échelon

27. Réalisations • En actif • Structure de Sallen-Key • Cellule de Rauch • En passif

28. Transmittance complexe • Forme généralisée • les w1i et w2i sont les pulsations de coupure des termes du premier ordre • les w3i et w3i sont les pulsations naturelles des termes du second ordre • les m3i et m4i sont les coefficients d ’amortissement des termes du second ordre • K est un gain (dit « gain statique » lorsque u = 0)

29. Gain • Note : si alors et si alors • Déphasage • Diagramme de Bode 0dBw0w 0w0w -p

30. Gain • Note : (on considère toujours w > 0) • Déphasage • Diagramme de Bode p/2 Pente à +20dB/décade 20dB 0dBw0/10 w0 10w0w 0w0/10 w0 10w0w -20dB

31. Justification du diagramme de Bode • Soit : • Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain • Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit : • où X0 correspond avec w0 • C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0avec une pente de +20dB par décade (Y augmente de 20dB pour un accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade)

32. Gain • Note : et • Déphasage • Diagramme de Bode Pente à +20dB/décade 20dB p/2 0dBw0/10 w0 10w0w 0w0/10 w0 10w0w -20dB

33. Gain • Notes : • si m > 1 le polynôme admet deux solutions réelles et T(jw) se factorise en et on se ramène à l’étude précédente • si , le diagramme réel possède un dépassement. On appelle pulsation de résonance wc la pulsation telle que • Déphasage • Notes :

34. Diagramme de Bode Pente à +40dB/décade 40dB p 0dBw0/10 w0 10w0w 0w0/10 w0 10w0w -40dB

35. Inverse d’une transmittance • Le diagramme de 1/T(jw) s’obtient facilement à partir du diagramme de T(jw) en changeant les signes du gain et du déphasage 0dBw0w 0w0w

36. Exemple pour • Gain • Déphasage • Diagramme de Bode 0dBw0/10 w0 10w0w 0w0/10 w0 10w0w Pente à -20dB/décade -p/2 -20dB -20dB

37. Produit de transmittances • Le diagramme de Bode du produit de deux transmittances complexes s’obtient en faisant la somme des diagrammes de Bode de chacune des transmittances • Soit : • Soit G1 et j1 le gain et déphasage de T1(jw) • Soit G2 et j2 le gain et déphasage de T2(jw) • On a donc :

38. Exemple : K>1 • Gain Pente à -20dB/décade -20dB 0dBw1/10 w1w2 10w2 w Pente à -40dB/décade

39. Exemple : K>1 • Déphasage 0w1/10 w1w2 10w2 w -p/2 -p

40. Domaine de Laplace • L’étude d ’un quadripôle en régime harmonique se fait avec la transmittance complexe. Pour des études plus complexes, on recherche la fonction de transfert de Q • on la note H(p)=V2(p)/V1(p) • Pour déterminer H(p), on utilise les impédances complexes généralisées • pour la résistance : R(p) = R • pour la capacité : C(p) = 1/Cp • pour l’inductance : L(p) = Lp • Remarque : p, variable de Laplace, est un complexe

41. Domaine de Laplace • Remarques • pour passer du domaine de Laplace au régime harmonique, on prend p = jw • on peut aussi, sous certaines conditions, passer du domaine temporel au domaine de Laplace par le biais d’une transformation dite « Transformation de Laplace » (l’inversion est aussi possible, cf. mathématiques 2ième d’année) • intérêts en électronique • l’assurance de conserver des polynômes en jw sans simplifier les j2 • déterminer plus facilement les réponses à des signaux assez complexes