„Figury niemożliwe”

1. „Figury niemożliwe” Projekt został wykonany przez : 1.Konrad Sroka 2.Michał Świderski 3.Daniel Cokan 4.Adrian Laskowski

2. Cele projektu Projekt „Figury niemożliwe” przedstawia figury o których nie mówi się na lekcjach matematyki . Niektóre są złudzeniem optycznym i choć sprawiają wrażenie trójwymiarowych, to tak naprawdę istnieją tylko na płaszczyźnie. Inne choć istnieją, mają niecodzienne własności. Wreszcie ostatnia grupa figur to te, które tylko wydają się nieprawdopodobne i niemożliwe do skonstruowania.

3. Co to są z punktu widzenia matematyki figury niemożliwe? Figury niemożliwe można uznać, ze szczególny typ złudzeń optycznych. Są to figury, które można narysować zgodnie ze wszystkimi zasadami perspektywy, ale nie można ich skonstruować w rzeczywistości (istnieją co prawda imitujące je trójwymiarowe modele, ale właśnie one wykorzystują zasadę złudzenia optycznego). Po raz pierwszy takie figury opisał w 1958 roku Roger Penrose - brytyjski matematyk - wraz ze swoim ojcem - genetykiem. Artykuł ukazał się w czasopiśmie "British Journal of Psychology".

4. Przykłady figur niemożliwych

5. Figura Thiery’ego

6. Na czym polega „niemożliwość” tej figury? • Niemożliwa: dwie prostopadłościenne beleczki widziane z różnych punktów widzenia i niewłaściwie połączone. • Możliwa, ale niejednoznaczna: pojedyncza prostopadłościenna beleczka z płaskimi „skrzydełkami” (dwa równe „naturalne” warianty interpretacyjne)

7. Trójkąt Penrose’a(ang.Tribar Penrose’a)

8. Czym zadziwia ta figura? Tribar ( inna nazwa tej figury) składa się z trzech prostych belek o kwadratowym przekroju poprzecznym, które spotykają się parami pod kątem prostym w wierzchołkach trójkąta. Belki można rozłożyć, tworząc kostki lub prostopadłościan. Tribar w rzeczywistości trójwymiarowej nie może istnieć, gdyż suma kątów trójkąta powstałego po złączeniu belek wyniosłaby ponad 180 stopni, co jak wiemy jest niemożliwe.

9. Sześcian Neckera

10. Co jest niezwykłego w tym sześcianie? • Sześcian został narysowany tak, że widz ma dwie “opcje” odbioru. Jednak ludzki mózg może mieć tylko jeden obraz w jednym czasie. Kiedy brakuje cech związanych z głębią jak cień, maskowanie, struktura powierzchni lub wskaźniki pozycji w przestrzeni, mózg nie może zdecydować, która perspektywa jest właściwa. Ten sam obraz pojawia się na siatkówce w obu przypadkach, tylko różnie interpretowany. Nasza percepcja wybiera tu kompromis i wymienia pomiędzy dwoma perspektywami.

11. Schody Penrose’a

12. Coś o schodach. • Ciekawym i wartym uwagi obiektem są również Schody Penrose’a. Obiekt ten zostałzaprojektowany przez Lionela Penrose’a i jego syna Rogera. Rysunek przedstawia schody załamaneczterokrotnie pod kątem 90 stopni. Nie byłoby w tym nic dziwnego, gdyby nie to, żeschody prowadzą w górę, a jednak na górę po nich nie można wejść – ciągle wraca się do punktuwyjściowego. Jest to niemożliwe do wykonania w trzech wymiarach, ale dwuwymiarowy rysunekumożliwia przedstawienie tej paradoksalnej budowli dzięki zakłóceniu perspektywy.

13. Diabelskie widły (ang.DevilsFork)

14. O co tu chodzi? "DevilsFork" - jedna z wielu niesamowitych brył autorstwa Oscara Reuterswarda. Zaburzenie perspektywy "kłucą" trzy wystające w lewą stronę wypustki z ich podstawą.

15. Inne figury niemożliwe.

16. Kwadrat Penrose’a

17. Dolmen

18. Wstęga Möbiusa

19. Kto to był Möbius? Był to niemiecki matematyk urodzony1790 roku w Schulpforte, zm. 1868 roku w Lipsku. Odkrywca wstęgi nazwanej jego nazwiskiem. Figura okazała się bardzo znacząca w topologii. Jest ona nieorientowalną powierzchnią dwuwymiarową, która rozważana jako zanurzona w przestrzeni trójwymiarowej ma tylko jedną stronę.

21. Coś więcej o wstędze • Wstęga Möbiusa to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź - "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina, opisaną przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.

22. Jakie zastosowanie ma wstęgaMöbiusa? • w technice używa się pasów transmisyjnych skręconych w kształt wstęgi Möbiusa, co powoduje, że ich powierzchnia zużywa się jednakowo po obu stronach • Również elementy wstęgi Möbiusa można spotkać w narciarskich skokach akrobatycznych. W czasie "Koziołka Möbiusa" ciało skoczka kreśli fragment tej powierzchni.

23. Niezwykła bryła

24. Butelka Kleina

25. Kim był Klein ? Felix Christian Klein ur. 25 kwietnia 1849 w Dusseldorfie, zm. 22 czerwca 1925 w Getyndze. Niemiecki matematyk i profesor Uniwersytetu w Lipsku, Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 członek Berlińskiej Akademii Nauk. Zajmował się geometrią, równaniami algebraicznymi, teorią funkcji oraz historią matematyki.

26. Co to jest Butelka Kleina? Powierzchnia będąca jednostronną, mająca dwa wymiary i nie mająca żadnego brzegu. Jej ścianki wewnętrzne są zarazem zewnętrzne. Ponieważ nie ma objętości, wydaje się być idealnym pojemnikiem na różne napoje, gdyż nie da się jej opróżnić, ale o dziwo można ją napełnić.

27. Czy taka butelka istnieje? • Butelkę Kleina można skonstruować ze wstęgi Möbiusa należy skleić wszystkie punkty brzegu wstęgi (lub skleić dwie wstęgi brzegami ). • Butelka Kleina nie daje się włożyć w przestrzeń trójwymiarową – włożenie takie prowadzi do pojawienia się tzw. samoprzecięćpowierzchni. Bez przecięć butelkę można włożyć w przestrzeń czterowymiarową. • Wysokiej klasy specjaliści przy użyciu bardzo wyrafinowanego sprzętu potrafią wykonać Butelkę Kleina ze szkła.

28. Dziękujemy za obejrzenie projektu „Figury niemożliwe” Informacje o figurach posiadamy z : -Internetu -Książek -Wiedzy Nauczyciela