Trójkąty Katarzyna Bereźnicka

1. TrójkątyKatarzyna Bereźnicka

2. Nierówność trójkąta • Dowolny bok trójkąta ma mniejszą długość od sumy długości pozostałych boków. Np.: 6 3 2 2 5 4 3 < 4+2 4 < 3+2 2 < 3+4 2 < 5+6 5 < 2+6 6 < 2+5

3. Suma kątów trójkąta • Suma wszystkich kątów w trójkącie wynosi 180°. β α + β + γ = 180o α γ

4. Podział trójkątów ze względu na kąty • Trójkąt ostrokątny – ma wszystkie kąty ostre (0°-90°). • Trójkąt prostokątny – ma jeden kąt prosty (90°). • Trójkąt rozwartokątny – ma jeden kąt rozwarty (90°-180°).

5. Położenie trzeciego wierzchołka przy dwóch danych w zależności od rodzaju trójkąta • W trójkącie prostokątnym: podane wierzchołki tworzą odcinek, który jest średnicą okręgu. Trzeci wierzchołek będzie się znajdował na obwodzie tego okręgu. • Drugi przypadek, to sytuacja, gdy trzeci wierzchołek leży na jednej z prosty prostopadłych do odcinka i przechodzących przez jego końce.

6. Położenie trzeciego wierzchołka przy dwóch danych w zależności od rodzaju trójkąta • W trójkącie ostrokątnym: podobnie jak w poprzednim przypadku, ale trzeci wierzchołek będzie znajdował się poza okręgiem, ale pomiędzy prostymi prostopadłymi do odcinka i przechodzącymi przez jego końce.

7. Położenie trzeciego wierzchołka przy dwóch danych w zależności od rodzaju trójkąta • W trójkącie rozwartokątnym: w tym przypadku wierzchołek znajduje się wewnątrz okręgu. • Drugi przypadek to sytuacja, gdy trzeci wierzchołek znajduje się poza prostymi prostopadłymi do odcinka i przechodzącymi przez jego końce.

8. Trójkąt prostokątny • Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną. • Obydwie przyprostokątne są jednocześnie wysokościami trójkąta. Trzecia wysokość (opuszczona na przeciwprostokątną) dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty, które są do niego podobne. Aby łatwo wyznaczyć trzecią wysokość trójkąta prostokątnego skorzystamy z wzoru na pole trójkąta:

9. Trójkąt prostokątny • Środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym. • Symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi. • Środkowa opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. • Trójkąt spełnia Twierdzenie Pitagorasa: W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. a²+b²=c²

10. Podział trójkątów ze względu na boki • Trójkąt różnoboczny – ma każdy bok innej długości. • Trójkąt równoramienny – ma przynajmniej dwa boki równej długości. • Trójkąt równoboczny - ma wszystkie trzy boki tej samej długości (wszystkie jego kąty też są tej samej miary).

11. Trójkąt równoramienny • W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. • Posiada (co najmniej jedną) oś symetrii - przecina ona podstawę w połowie długości i przechodzi przez wierzchołek łączący ramiona. Oś symetrii pokrywa się z wysokością opuszczoną na podstawę. • Szczególne przypadki trójkąta równoramiennego: -trójkąt równoboczny - dowolne dwa boki można uznać za ramiona, -równoramienny trójkąt prostokątny - kąt prosty może być jedynie między ramionami.

12. Trójkąt równoboczny • Każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę 60º. • Obwód wynosi: • Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. • Jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi. • Punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie. • Wysokość ma długość: • Pole powierzchni jest równe:

13. Związek między kątami i bokami • Twierdzenie sinusów: W każdym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa przeciwległego kąta jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. • Twierdzenie cosinusów: W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi: c2 = a2 + b2 - 2abcosγ, b2 = a2 + c2 - 2accosβ, a2 = b2 + c2 - 2bccosα.

14. Wzory na pole trójkąta

15. Zadania • Obliczania promienia i długości okręgu wpisanego za pomocą wzoru b i c. a=13 b=14 c=15

16. Zadania • Obliczania promienia i długości okręgu opisanego za pomocą wzoru b i d. a=13 b=14 c=15