Conditions de frontière ouverte et couplage de modèles océaniques

1. Conditions de frontière ouverteet couplage de modèles océaniques • E. Blayo • Equipe MOISE, Laboratoire Jean Kuntzmann • Université de Grenoble et INRIA • En collaboration avec : • LJK Grenoble : L.Debreu, C. Robert • LAGA Paris 13 : L. Halpern, C. Japhet • LAMFA Amiens : V. Martin • LEGI Grenoble : B. Barnier • IFREMER Brest : F. Vandermeirsch

2. Contexte applicatif • Prévision régionale (à court terme ou climatique) J. Chanut et al., JPO 2007 Modèle OPA + package AGRIF 2 niveaux de résolution (1/3°-1/15°)

3. Contexte applicatif • Prévision régionale (à court terme ou climatique) • Aménagement local, études d’impact Station Hyperion Marchesiello et al.

4. Modèle aux « équations primitives » Conservation de la quantité de mouvement Conservation de la masse Conservation de la chaleur et du sel Equation d’état + conditions aux limites avec l’atmosphère et avec les parois solides

5. Modèle « shallow water » Conservation de la quantité de mouvement Conservation de la masse + conditions aux limites

6. Plan : • Formalisation du problème • Problème de frontière ouverte, méthodes de caractéristiques, et conditions absorbantes • Interaction two-way : méthodes simplifiées et méthodes de Schwarz

7. Plan : • Formalisation du problème • Problème de frontière ouverte, méthodes de caractéristiques, et conditions absorbantes • Interaction two-way : méthodes simplifiées et méthodes de Schwarz

8. or Wext frontière ouverte domaine extérieur G domaine local Wloc G n’a pas de réalité physique : transition lisse. Problème-cible du type : Formalisme Comment gérer l’interface artificielle G ?

9. Les approches usuelles • Le modèle extérieur n’est pas toujours disponible on-line. • Le modèle extérieur n’est pas défini sur Wext, mais sur Wext + Wloc . Le modifier pour éviter ce recouvrement et implémenter une frontière artificielle sur G serait très coûteux. • On peut être limité par les moyens de calcul. • Les applications pratiques ne résolvent pas le problème exact, mais des formes approchées.

10. G Wloc Les approches usuelles (2) Le problème de frontière ouverte

11. Wext Wloc 1 time 2 3 4 Les approches usuelles (3) Cas particulier : emboîtement « one-way » Wext Wloc - Interaction on-line / off-line, sous-échantillonnage de uext - pas de rétroaction sur uext

12. Wext Wloc 1 time Wext 2 3 4 Wloc Les approches usuelles (4) Emboîtement « two-way » • Interaction on-line : le modèle extérieur doit être disponible. • Rétroaction sur uext

13. Les approches usuelles (5) Problème de frontière ouverte Cas particulier: emboîtement one-way Emboîtement two-way Problème cible : couplage

14. Plan : • Formalisation du problème • Problème de frontière ouverte, méthodes de caractéristiques, et conditions absorbantes • Interaction two-way : méthodes simplifiées et méthodes de Schwarz

15. Le problème de frontière ouverte uext vext Text… (issus d’une base de données ou d’un modèle grande échelle) Quelle condition limite pour le modèle local ?

16. Le problème de frontière ouverte Problème ancien en océano/météo : littérature abondante, de nombreuses conditions proposées, souvent sans conclusions très claires. Quelques conditions sont souvent recommandées dans les études comparatives. Synthèse biblio(Blayo-Debreu, 2005) : • privilégier le caractère hyperbolique des équations, et assurer une consistance avec les données extérieures : Bw = Bwextpour chaque variable caractéristique entrante w • Le fait de respecter ou non de ce critère explique les performances des conditions usuelles dans la biblio.

17. Quelles conditions imposer sur les frontières ouvertes ? uext vext Text … Il faut : • Evacuer l’information sortante • Prescrire la partie pertinente, i.e. entrante, de l’info extérieure Comment séparer information entrante et information sortante ? Le point de vue hyperbolique répond (en 1ère approximation) à cette question.

18. t = 0 t = d/c c x d Exemple de base : transport de Q à la vitesse c dans la direction x équation de transport 1-D

19. c Exemple de base : transport de Q à la vitesse c dans la direction x équation de transport 1-D En domaine limité : x Pas besoin d’information extérieure On doit fournir de l’information extérieure

20. Les équations décrivant la propagation de quantité à des vitesses finies sont appelées équationshyperboliques. Les systèmes d’équations hyperboliques sont souvent beaucoup plus complexes que l’équation de transport. Mais ils peuvent être transformés, au moins localement, en un système d’équations de transport appliquées à de nouvelles variables, appelées variablescaractéristiques. Pour être bien posées, les équations hyperboliques requièrent unecondition aux limites pour chaque variable caractéristique là où elle est entrante.

21. t = 0 x t = d/c - c c x d d Exemple : ondes 1-D

22. Exemple : ondes 1-D Soit : Alors : Qui peut être réécrit en :

23. à prescrire à prescrire x variables caractéristiques : transporté à la vitesse -C transporté à la vitesse +C

24. Les modèles océaniques et atmosphériques sont fondamentalement des systèmes hyperboliques non-linéaires, avec perturbations (termes visqueux) et hypothèses dégénératives (e.g. hypothèse hydrostatique). Pour un système hyperbolique de la forme : la décomposition en variables caractéristiques entrantes et sortantes est obtenue par diagonalisation de A.

25. Dynamique 2-D : le système shallow-water Linéarisation : avec La diagonalisation de A1 donne les variablescaractéristiques (frontière Est) : avec

26. Par combinaison linéaire :

27. Information au travers des frontières ouvertes d’un modèle shallow water

28. Transport : Extrapolation : En résumé… • Déterminer les variablescaractéristiques du modèle en considérant la partie hyperbolique des équations. • Extrapoler les caractéristiquessortantes Exemple (frontière Est) : • Introduire les caractéristiques entrantes à l’aide de données extérieures : B w= B wext Le + simple : w= wext ( B = Id ) Si pas de données extérieures fiables, faire des hypothèses raisonnables (e.g. dw/dn=0 plutôt que w = 0, i.e. dwext/dn = 0 plutôt quewext = 0) Cette analyse est pleinement consistante avec les performances (bonnes ou non) des conditions usuelles décrites dans la littérature.

29. donne par exemple Exemple : conditions de radiation • Conditions basées sur la condition deSommerfeld : + évaluation locale et adaptative de c (méthodes de type Orlanski) • OK pour des cas idéalisés très simples • Pour des écoulements complexes : ajout d’un terme de rappel vers les données extérieures si c entrant si c sortant --> Résultats mitigés

30. OK si écoulements +/- monochromatiques : est la caractéristique entrante de l’équation des ondes • Si écoulements complexes : l’estimation de c n’a pas de sens physique (Tréguier et al., 2001; Durran, 2001). Le travail est fait seulement par les termes de rappel.

31. Exemple 2 : condition de Flather Pour écoulements 2-D à surface libre (frontière ouverte à l’Est) : Condition de Sommerfeld pour surface libre : Approximation 1-D de l’équation de continuité : Combinaison + intégration à travers G : • Bons résultats dans toutes les études comparatives En fait :w1 = w1ext

32. Exemple 3 : conditions “adaptées” auxmodèles • - « Characteristic waves amplitudes methods »(e.g. Hedström, 76; Bruneau and Creusé, 01) • Conditions absorbantes(Engquist and Majda, 77) • beaucoup plus complexe à mettre en oeuvre: restreint pour l’instant en océano-météo à des modèles simples 1-D ou 2-D. • Plusieurs applications dans de tels modèles ont mené à de bons résultats (Mc Donald, 02; Nycander & Döös, 03; Martin, 03, 07) - Conditions absorbantes : approximation locale des conditions exactes à l’ordre 0 : w = wext pour chaque w entrante - « Characteristic waves amplitudes methods » : on travaille sur dw/dnpour chaque w entrante.

33. Exemple : application aux équations shallow water Variables caractéristiques : • CFO : si u>0 (flux sortant) : B1 w1 = B1 w1ext si u<0 (flux entrant) : B2 w1 = B2 w1extet B3 v = B3 vext • Le plus simple : ou (B1 = B2 = Id : Flather) • schéma upwind ou extrapolation des w sortantes

34. 2,5 km 5 km Tests numériques : modèles emboîtés du Golfe de Gascogne (MARS) (F. Vandermeirsch, J. Marin - IFREMER) Bathymétrie zone de zoom On dispose d’une solution de référence, calculée sur une grille uniformément fine partout

35. Erreur rms après 2 mois u v frontières spécifiées • Gains rms de 17% à 47%, suivant les configurations • Ratio raffinement = 2 • Erreur résiduelle près de la côte (bathy ? couche-limite ?) conditions caractéristiques

36. Propagation d’une anomalie de température Solution après 2 mois Référence Conditions Mars standards Conditions caractéristiques

37. Référence Méthode des caractéristiques Conditions Mars Standard Trajectoire de flotteurs 5 mois de simulation forçage par le vent

38. Conditions de frontières ouvertes pour les équations primitives • Traceurs : Variable caractéristique : T(valeur propre U.n) BT= B Text si U.n<0 • Dynamique : difficulté du fait de l’approximation hydrostatique.

39. Décomposition en modes verticaux Idée :séparation de variables avec Équations (u,v) linéarisées sans forçage ni dissipation : Pour séparer par produit scalaire avec Mp : u0(x,y) , v0(x,y) , w0 = 0

40. Equation sur w + équation de continuité : avec et • On définit les Mn par : avec (Opérateur de Brunt-Vaïsala, compact symétrique car hydrostatique) • D’où :

41. Finalement : une approximation locale des équations primitives = superposition de modèles shallow-water • On peut donc appliquer les mêmes conditions de frontière ouverte : wi,nentrante: wi,n= wi,nextwi,nsortante:extrapolation et reconstruire les variables u, v, p sur la frontière ouverte.

42. modes spectre En pratique : • Points faibles potentiels : la séparation entrant/sortant fait appel à plusieurs approximations • linéarisation autour de la vitesse barotrope • bathymétrie assez lisse localement • effets de viscosité négligés • D’autres travaux récents dans cette direction pour les équations primitives 2-D (x-z) : Rousseau (05), Mc Donald (05), Nycander et al. (06) • Implémentation numérique : de nombreux paramètres à régler

43. bathymétrie Tests numériques dans OPA • Configuration Golfe du Lion (C. Langlais) • Version « légère » : 1/16°, 34 niveaux verticaux, simulations d’un an • Modes baroclines : ~50% de l’énergie totale • CFOs caractéristiques sur la partie barotrope pour toutes les simulations : seules les CFOs sur la partie barocline et les traceurs sont différentes. • On dispose d’une solution de référence (pas de vent, pour mieux discerner l’effet des CFOs) • Données extérieures parfaites

44. radiation spécifié caractéristique Evolution temporelle de l’erreur rms intégrée sur tout le domaine u v

45. Solution instantanée le 1er septembre Vitesse et température à 10m Référence spécifié radiation caractéristique

46. Premiers tests réalistes avec OPA (avec données extérieures parfaites) : • validation de la méthode des caractéristiques • méthode de radiation à proscrire • Reste à : • réaliser des tests avec données extérieures dégradées : « caractéristique » fait-il mieux que « spécifié » ? • optimiser la méthode des caractéristiques (schéma d’extrapolation, relaxer des hypothèses théoriques…) • Travail similaire en cours avec MARS-3D

47. Le problème de frontière ouverte Pour aller plus loin que l’approche hyperbolique --> théorie des conditions absorbantes (Engquist and Majda, 1977)

48. Conditions absorbantes Solution vraie : Solution tronquée : erreur : Si on trouve C tel que Ce=0, alors e=0 (condition absorbante). C peut être obtenu à partir de L.

49. Conditions absorbantes Exemple : 0 erreur : avec D’où :

50. Conditions absorbantes Solution vraie : Solution tronquée : En pratique : Idéalement :