Ing. Marek Štroner, Ph.D.

1. Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Odbor tváření kovů a plastů TEORETICKÝ ROZBOR KINEMATICKÉHO PROSTORU ROBOTU OBSLUHUJÍCÍHO TVÁŘECÍ STROJ V GLOBÁLNÍM SYSTÉMU (GCS) Ing. Marek Štroner, Ph.D. 19.09.2007

2. Úvod • V oblasti tvářecích operací jsou nasazeni roboti všech základních kinematických prostorů (kartézský, válcový, kulový, torusový), přičemž v mnoha případech existuje ještě řada netypických konstrukcí, kdy je požadovaná kinematika výsledkem kombinace uvedených systémů. Protože v této oblasti pracují roboti převážně systémem „bod po bodu“ („Point to Point“), např. při obsluze hydraulického lisu při výrobě prostorových výtažků (např. van, karosérií), je zapotřebí stanovit za pomocí Globálního systému (GCS) možnosti omezení daného robotu právě s ohledem na jeho pracovní prostor a hraniční bod eliminující jeho nasazení v průmyslu. • 2. Zavedení pojmů a konvence značení • U kinematických mechanizmů se s výhodou místo klasického vektorového počtu využívá maticový počet (maticový zápis), a to převážně z důvodů kumulace více problémů a jejich syntézou v jeden. • Proto jsou vektory (vektor je určen velikostí a směrem) a operace s nimi (součet, skalární součin) prováděny jako matice, popř. jako maticové operace.

3. Např. vektor X je tedy vyjádřen jako sloupcová popřípadě transponovaná matice např. typu: • Matice jsem označil velkým písmenem X, jejich složky pak malým písmenem kurzívou s příslušnými indexy. • Skalární součin vektorů a1 a b1, jehož výsledkem je skalár c1, se vypočte jako součin transponované matice vektoru a1 a matice vektoru b1, přičemž v tomto případě musí platit předpoklad na sebe kolmých rovin vektorů. c1 = a1T b1 • V praxi je pro realizaci vektorového součinu zavedena polosouměrná (antisymetrická - velikost vektorů je obvykle různá) matice vektoru, kterou je možno označit c2.

4. Jejíž výpočet lze realizovat i za pomocí soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými a to za pomocí metody dosazovací nebo metody součtové. Výpočet samotné matice je urychlená matematická operace, přičemž při jejíž kombinatorické explozi je možno s výhodou využít počítače (zkracuje významně čas výpočtu). • Uváděná matice platí v omezení třírozměrného prostoru, tzn. při třech stupních volnosti. Proto ji zde uvádím jen jako příklad matematického postupu řešení při realizaci kinematických řetězců. • Vektorový součin vektorů a a b, jehož výsledkem je vektor ck kolmý na rovinu danou vektory a a b, viz. obr. 1 je pak vyjádřen jako součin antisymetrické matice vektoru a a matice vektoru b. Rozpohybování soustavy je pak dáno velikostí daných vektorů. Soustava se bude pohybovat v kartézských souřadnicích v prostoru, ovšem záleží na velikosti jednotlivých vektorů v daných tří směrech, kterými se bude daný kinematický řetězec ubírat. Matematicky lze zapsat: : ck = c2 × b Obr.1 Vektorový součin kolmý na rovinu vektorů

5. Kromě klasických ortogonálních (třírozměrných) souřadnic je v kinematice mechanizmů s výhodou využíváno tzv. homogenních souřadnic, které jsou čtyřrozměrné. • Čtvrtá souřadnice je zavedena z formálních důvodů a pro souřadnice bodu má vždy velikost 1, pro souřadnice vektoru je 0 (tzn. velikost vektoru (i dráhy) je v tomto případě spotřebována a kinematický mechanismus je na hranici použití či přizpůsobení možnostem zařízení člověkem). • První tři souřadnice jsou stejné jako souřadnice ortogonální. Souřadnice bodu P a vektoru a je tedy možno matematicky vyjádřit jako sloupcové matice: • Vzájemnou polohu jednotlivých článků mechanizmu je možno popsat různými způsoby: • U rotační dvojice např. úhlem sevřeným těmito články, • Posuvné kinematické dvojice vzdáleností středu posuvné jednotky od jednoho kraje jednotky, po které se posouvá apod.,

6. V kinematice mechanizmů s pohyblivými články je z praktického hlediska nejvýhodnější popisovat jejich vzájemnou polohu pomocí soustavy tzv. lokálních systémů (LCS – Local Coordinate System), které jsou těmto článkům pevně přiřazeny, tj. pohybují se současně s článkem) a jejichž polohu a orientaci vůči základnímu (globálnímu) souřadnému systému (GCS – Global Coordinate System) můžeme snadno určit. • Jednotlivé zobecněné souřadnice jsou definovány na základě těchto lokálních systémů jako orientované vzdálenosti či úhly mezi příslušnými osami lokálních systémů. • Proměnnou udávající velikost rotace nebo translace i-tého článku, obecně nazýváme zobecněnou souřadnici qi(kloubová proměnná, joint variable) a jednotlivé zobecněné souřadnice pro všechny pohybové jednotky mechanismu s n stupni volnosti (pozn. člověk má s paží 26. stupňů volnosti) tvoří vektor zobecněné souřadnice. Q = [q1, q2 , …………..qn]T • Pro určení polohy pracovního článku mechanizmu, respektive nástroje je nutné znát nejen polohu koncového bodu nástroje, danou souřadnicemi px, py, pz v základním souřadném systému GCS, ale také jeho orientace nástroje je pak dána spojeným vektorem polohy p a orientace o nástroje – tzv. komplexním (rozšířeným) vektorem polohy w (Tool Configuration Vector), který má šest souřadnic a je definován: • W = [p o]T = [px py pz ox oy oz]T • kde: p – vektor, o – pozice koncového bodu, px – vektor v ose x, py – vektor v ose y, • pz – vektor v ose z, ox - pozice koncového bodu v ose x, oy - pozice koncového bodu • bodu v ose y, oz - pozice koncového bodu v ose z

7. 3. Denavitova a Hartenbergova homogenní matice a tzv. méně přesný Rodrigův vztah pro rotační kinematický pohyb robotu • Transformační matice mezi libovolným lokálním souřadným systémema základním souřadnýmsystémem vznikne jako součin transformačních matic mezi sousedními souřadnými systémy. • Tato operace sebou nese značné množství operací násobení a sčítání, které trvají relativně dlouho a navíc mohou vnést do výpočtu chybu danou omezenou přesností vstupních dat (při využití počítačů [PC] záleží spotřebovaný čas převážně na velikosti operační paměti (RAM), frekvenci a rychlosti práce procesoru). • Souřadné systémy jsou umísťovány libovolně, např. do středového bodu kinematických dvojic, do těžišť apod., ale sestavení transformační matice někdy není jednoduché a je nutno použít goniometrických vzorců. V těchto případech není vždy možné zaručit vyvážení kinematických seskupení. • Princip je ukázán na obr. 2, kde jsou nakresleny dvě rotační pohybové jednotky, spojené ramenem, které jsou obecně orientovány v prostoru, a dále dva lokální souřadné systémy LCSi-1 a LCSi umístěné podle zmíněné konvence.

8. Obr.2 Kinematické schéma

9. Chceme-li nalézt transformační vztah mezi těmito souřadnými systémy, vykonáme fiktivní pohyby, které by vedly k sjednocení obou souřadných systémů: • Nejprve natočíme osu xi-1 kolem osy zi-1 o úhel 1 tak, že osy xi-1 a xi jsou rovnoběžné. • Dále posuneme osu xi-1 ve směru osy zi-1 o vzdálenost di tak, že osy xi-1 a xi jsou totožné. • Nyní posuneme počátek souřadného systému LCSi-1 podél osy xi o vzdálenost ai tak, že počátky souřadných systémů LCSi-1 a LCSi jsou totožné. • Uvedený princip platí obecně a říká, že libovolně orientované a posunuté souřadné systémy můžeme sjednotit čtyřmi jednoduchými pohyby – rotací,translací, translací a zase rotací a pokud rozmístíme souřadné systémy podle konvence specifikované Denavitem a Hartenbergem, jsou to pohyby definovány tak, jak bylo uvedeno výše. • Z obr. 2 je zatím zřejmé, že osy zi-1 a zi jsou osou rotace rotačních pohybových jednotek, osa xi leží ve směru společné normály os zi-1 a zi. • Transformační vztah mezi dvěma souřadnými systémy LCSi-1 a LCSi je tedy dán čtyřmi jednoduchými pohyby, které lze popsat následujícími transformačními maticemi v homogenním tvaru:

11. Výsledná transformační matice mezi sousedními souřadnými systémy vznikne vynásobením jednotlivých dílčích transformačních matic v pořadí tak, jak byly prováděny pohyby: a po vynásobení v obecném tvaru: • Vynesená matice nám udává přesnou polohu bodu kinematického mechanizmu, jež je dán třírozměrným prostorem. • Takzvané Denavit – Hartenbergerové parametry [i, di, ai, i] nám tedy plně charakterizují geometrické vztahy mezi sousedními články spojenými rotační nebo translační pohybovou jednotkou.

12. Homogenní transformační matice (stejný počet řádků a sloupců) dle uvedeného vztahu je univerzální transformační matice mezi dvěma sousedními souřadnými systémy a její výhodou je, že má stejný tvar pro všechny lokální souřadné systémy kinematické struktury bez ohledu na typ pohybových jednotek. • pro rotační pohybovou jednotku, obsahuje transformační matice pouze jednu proměnnou otočení pohybové jednotky [i], ostatní parametry jsou konstantní a charakterizují ostatní rozměry článku a natočení pohybových dvojic. • pokud je pohybová jednotka translační, obsahuje matice pouze proměnnou posuvu pohybové jednotky [di] a ostatní parametry jsou konstantní. • Parametry [i, di, ai, i] se dají v praxi poměrně snadno odečíst po rozmístění souřadných systémů podle již zmíněného Denavit – Hartenbergerova principu, který vychází ze základních znalostí goniometrických funkcí. • Uvedený vztah je pak dále v praxi možno aplikovat na základě tzv. výše uvedených známých Denavit – Hartenbergových parametrů na tzv. Rodrigovův vztah, zvláště u systémů, kde je třeba operace s maticemi vykonávat velmi často, a to v reálném čase například při aplikaci na řídící systémy, kdy jsou jednotlivé sloupce transformačních matic vypočteny na základě prakticky zjistitelných vektorových operací vykonávaných robotem a Denavit Hartenbergových parametrů.

13. x2 • Výpočet je rychlejší, ale méně přesný. Obecný Rodrigův vztah (při použití klasických vektorových operátorů a ortogonálních souřadnic) umožňuje výpočet souřadnic vektoru x2, který vznikne otočením vektoru x1 kolem vektoru u o úhel , jak je znázorněno na obr. 3. • Obecný Rodrigův vztah (při použití klasických vektorových operátorů a ortogonálních souřadnic) umožňuje provést výpočet souřadnice vektoru x2, který vznikne otočením vektoru x1 kolem vektoru u1o úhel , jak je znázorněno na obr. 3. a dáno vektorovým vztahem: x2 = x1 cos  + (u  x1)  sin  + (1-cos ) Obr.3 Kinematické schéma (Rodrigův vztah) kde: (x1 cos )(oblast 1), (u  x1)  sin  (prodloužení a převedení velikosti vektoru x1 libovolně k  danému lokálnímu vektoru o určité velikosti a směru) (oblast 2), (1-cos ) (dopočet konečného bodu velikosti vektoru x2, čímž získáme převedení jeho velikosti v  prostoru daném výchozí polohou jeho počátku v translačních souřadnicích (oblast 3),

14. X2 • Jednotkový vektor [ui-1] otočíme kolem jeho osy otáčení [ki-1] o úhel [i] a dostaneme směr vektoru [ii] jak je znázorněno na obr. 3, a platí pro toto kinematické schéma tento matematický vztah. Tento jednotkový vektor nám rovněž udává svůj směr pohybu u daného mechanizmu. Směr vektoru je možno vypočítat na základě souřadného sytému (vektor – přímka v prostoru je dána dvěma body). Obecně: ii = ii-1  cos i + (ki-1 ii-1 )  sin i • Uvedený vztah je možno aplikovat na obr. 4 na základě kterého byly odvozeny již uvedené Denavit-Hartenbergovy parametry. Obr.4 Kinematické schéma

15. Poslední sloupec (vektor počátku souřadného systému) příslušné transformační matice je vypočten na základě Denavit-Hartenbergových parametrů, které udávají posunutí:

16. 4. Diferenciální vyjádření kinematických rovnic: • Pro přepočet souřadnic bodu P vyjádřeného v i-tém lokálním souřadném systému LCSi do globálního souřadného systému GCS platí vztah: • Tento vztah nám říká, že každý bod v prostoru je dán i-tým vektorem jeho velikostí a směrem, přičemž jeho stupeň volnosti a jeho poloha je exaktně dána střetem s přímkou vedoucí volně prostorem, a potom tedy platí i to, že každé další posunutí je dáno právě jeho velikostí a s dalším přírůstkem dráhy dochází ke kumulaci vzdálenosti bodu [P] od lokálního souřadného systému LCSi, přičemž není řešen v rámci tohoto vzorce umístění bodu [P] od globálního (základního) souřadného systému. • Proto lze prakticky tento problém řešit např. za pomocí počítače a to za pomocí sumarizace jednotlivých bodů [Pi] (matic) lokálních systémů, např. softwarem Matlab. • Přitom uvažujeme, že souřadnice bodu [P] jsou v LCSi konstantní v závislosti na čase a jeho pohybu, které jsou na sobě relativně závislé.

17. Pro zjištění rychlosti bodu[P] v základním souřadném systému GCS provedeme derivaci levé i pravé strany maticové rovnice podle času, při uvážení, že na pravé straně se jedná o součin, přičemž potom dostaneme tento vztah: • Tento vztah rozkládá matematický diferenciál elementárního posunu bodu v závislosti na čase. Přitom uvažujeme, že souřadnice bodu [P] jsou v LCS1konstantní. Pro zjištění rychlosti bodu [P] v globálním souřadném systému provedeme derivaci levé i pravé strany maticové rovnice podle času, při uvážení, že na pravé straně se jedná o součin. • Jeho stacionární poloha je tedy rovna jednotlivým translačním pohybům bodu po dráze (přímce) ukotvené stacionárním bodem [b] v závislostech na elementárních časových posunech v součinu se skutečným (momentálním) stavem bodu [P] a jeho součtem následného součinu současné polohy bodu [P] v rámci translačního pohybu mechanizmu a přírůstku matematického diferenciálu vzdálenosti bodu [P] v závislosti na přírůstku času.

18. Derivace matice podle nějaké proměnné se provede tak, že se derivuje každý prvek matice podle elementárního přírůstku času. Pro levou stranu rovnice tedy dostaneme klasický tvar rychlostí v ortogonálních souřadnicích: vc – znamená vektor translační rychlosti bodu P v Globálním souřadném systému GCS.

19. Jinak je vhodné poznamenat, že se potom jedná již o jednoduchý výpočet za pomocí vektorového počtu. Zdá se nám to jednoduché, ale v praxi může být výpočet velice komplikovaný a to právě v závislosti na globálním systémuGCS (Global Coordinate System), jeho paralelním systémůmLPS (Local Parallel System) a také těch na nejnižším stupni (často nejsložitější) a to lokálním systémůmLCS (Local Coordinate System). • Vyjádření derivace v čase pravé strany rovnice je složitější, protože musíme uvážit, že homogenní transformační matice Tbi je funkcí více proměnných a to zobecněných souřadnic q1, q2 , ………qi, které jsou funkcí času a jedná se tedy o totální diferenciál složené funkce více proměnných (samotný bod v prostoru). • Nejprve upřesníme druhý člen na pravé straně rovnice. Jelikož souřadnice bodu P v jeho lokálnímsouřadném systému (LCS) jsou konstantní (pohyb bodu je způsoben změnou zobecněných souřadnic (q1, q2, ………qi) je i derivace jeho souřadnic do systému sekundárního LCSi rovna nule [0] a tento člen odpadá (derivace konstanty je rovna nule).

20. Nositelem rychlosti bodu P je tedy totální diferenciálhomogenní transformační maticeTbi: • Totální diferenciál homogenní transformační matice Tbi je tedy roven sumě všech podílů homogenních transformačních matic v závislosti na obecné změně všech možných zobecněných transformačních souřadnic (q1, q2, ………qi) v součinu obecné polohy přímky po níž se dané body transformační souřadnice pohybují (q1, q2, …….…qi). • Parciální derivace transformační matice Tbi podle příslušné zobecněné souřadnice se vypočte jako:

21. Tato parciální derivace transformační matice Tbi (snaha přiblížit se detailněji přírodním zákonům pohybu) podle transformačních souřadnic je rovna dráze všech jejích bodů Ai, které protínají přímku b a mají po sekundární (parciální) derivaci konstantu nulovou [0], přičemž jsou v maticovém součinu s bodem Ai, který neleží na dané přímce a je chaoticky umístěn v místě možného výskytu z hlediska ortogonálního systému nebo goniometrických funkcí (tímto je dán pracovní prostor). • Po vyčerpání všech těchto možností je možno hledat možnosti výskytu bodu Ai [praktické okolí (velikost pracovního prostoru)] dle všech zobecněných výše uvedených transformačních souřadnic (q1, q2, ………qi) až do bodu posledního inverzního Ax (bod je synchronní). • Homogenní transformační matice mezi dvěma sousedními lokálními souřadnými systémy LCS sestává tedy ze čtyř dílčích transformačních matic:

22. z nichž jenom první dvě mohou obsahovat proměnnou, musíme uvážit typ pohybové jednotky a tím tedy i proměnnou, podle které je prováděna parciální derivace. Tak například pro rotační kinematickou dvojici bude parciální derivace provedena podle proměnné j. • Tato parciální derivace vyjadřuje nalezení bodu A na dráze rotace, přičemž je opět závislá na výše uvedených nám již známých parametrech [, d, a, ].

23. Závěr: • Důležitou součástí analýzy robotu je úplný kinematický model mechanického systému, při jeho uvolnění, který poskytuje všechny potřebné kinematické veličiny, jak pro dynamický model mechanického systému (silové působení, zatěžování článků, dimenzování), tak pro potřeby řízení (syntéza regulátorů polohy a rychlosti). Jedná se tedy zejména o průběh polohy a orientace koncového pracovního bodu v čase a tomu odpovídající průběh polohy jednotlivých článků mechanizmu. Polohu článků obecně tedy popisujeme tzv. zobecněnými souřadnicemi (v robotice je často používán pojem kloubové proměnné), které udávají natočení, či posunutí jednotlivých pohybových os. A právě tato pravidla ovlivňují výběr vhodného robotu, s potřebnými stupni volnosti, který je určen ke specifickému použití u náročné obsluhy tvářecích strojů. • V současné době je také ještě potřeba zdůraznit, že konstrukce robotů u renomovaných firem, jsou dodávány zákazníku nejen s pohybovými úchylkami kinematických mechanizmů, ale každý robot vyrobený touto firmou má ještě laserové vyměření poloh po jeho vyrobení, přičemž u zákazníka jsou skutečné polohy kinematického mechanizmu eliminovány právě k výrobním tolerancím těchto poloh.

24. Děkuji Vám za pozornost