Istituto Comprensivo Statale “G.Gamerra ” Via Ximenes 56014 PISA Tel. 050 / 982088 050 / 974100

1. Istituto Comprensivo Statale “G.Gamerra” Via Ximenes 56014 PISA Tel. 050 / 982088 050 / 974100 Fax. 050 / 982088 e-mail: pimm 008007@istruzione.it Codice Istituto: PIIC 81800R

2. Un percorso accidentato tra numeri, operazioni e strumenti di calcolo Numerando

3. Come si gioca

4. L’insegnante prepara una serie di cartellini contenenti le cifre da 0 a 9 e i segni delle 4 operazioni (nella scuola media possono essere aggiunte l’elevazione a potenza e l’estrazione di radice) Viene estratto un numero-bersaglio di 3 cifre, estraendo per tre volte un cartellino-cifra e rimettendo ogni volta nel mazzo il cartellino estratto Si estraggono, ancora casualmente, ma questa volta senza rimettere il cartellino nel mazzo, tre cifre e due operazioni (possono diventare tre nella scuola media)

5. Scopo del gioco Arrivare nel tempo stabilito di 5 minuti, più vicino possibile al numero bersaglio, combinando a piacere cifre e operazioni Cifre e operazioni possono essere utilizzate più volte Un numero può contenere le stesse cifre

6. Quando? Dalla terza classe della scuola elementare Come? Con gruppi di lavoro omogenei Calcolando alternativamente a mano e con la calcolatrice

7. Assegnazione del punteggio • Per ogni sequenza corretta (il calcolo deve essere corretto) 1 punto • Per ogni sequenza sbagliata –1 ( 0 nella scuola elementare) • Per il mancato svolgimento –2 • La risposta più vicina al numero-bersaglio, in mancanza del centro, vale 3 punti • Al gruppo che centra il bersaglio vengono assegnati 5 punti • Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi usa tutte le cifre estratte e tutti i simboli di operazione • Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi individua la strada più breve • Il punteggio massimo che può essere conseguito è di 10 punti.

8. Numero bersaglio: 543 Cifre: 2, 6, 9Simboli di operazione: - xSequenza operativa che centra il bersaglio6 x 2 = 1212 x 6 = 7272 x 9 = 648648 – 96 = 552552 – 9 = 543 Un esempio

9. RACCONTI DI LEZIONI SCATURITE DA NUMERANDO

10. IL CALCOLO MENTALE E LA DIVISIBILITA'

11. Il seguente numerando è stato effettuato in una 5^ elementare ed ha offerto spunti interessanti sulla divisibilità e sul calcolo mentale. Numero bersaglio: 233 Cifre: 2, 4, 8operazione :ex

12. Il sei gruppi di alunni hanno fornito le seguenti soluzioni Gruppo 1 • x 4 = 112 • 112 x 2 = 224 Gruppo 4 • 24 x 8 = 192 • : 4 = 48 • 48 x 4 =192 Gruppo 2 42 x 8 = 336 336 : 2 =168 Gruppo 5 • x 4 = 112 • 112 x 2 = 224 Gruppo 3 • 44 x 4 = 176 • x 4 =704 • 704 : 8 = 88 • x 4 = 352 • 352 : 2 = 186 Gruppo 5 842 : 8 = 105 105 x 2 = 210 Numero bersaglio: 233 Cifre: 2, 4, 8operazione : e x

13. Poiché non c’è stato tempo di esaminare i risultati con i bambini di 5^, ho provato a sottoporre il loro lavoro agli alunni della classe 1^E, suddivisi a loro volta in 6 gruppi di 3 alunni ciascuno, però questa volta secondo un criterio di omogeneità interna ( 2 gruppi di livello alto, 2 di livello intermedio e 2 di livello basso) La consegna è stata la seguente: Esaminate i risultati del seguente numerando effettuato in una 5^ elementare. Se foste l’insegnante che cosa fareste osservare agli alunni? Quali indicazioni dareste per aiutarli a fare meglio?

14. La consegna è risultata piuttosto oscura, perché il primo impulso è stato quello di cimentarsi con il gioco per cercare di fare meglio (ma senza successo). In effetti, le risposte date in questa prima fase hanno un po’ disatteso le aspettative, ma sono state comunque sufficienti per spostare l’attenzione degli alunni sulle relazioni intercorrenti tra le cifre e tra le operazioni

15. Ecco una sintesi delle risposte Consiglio di fare più tentativi in modo da avere più possibilità Se fossi l’insegnante osserverei le operazioni degli alunni: chi c’è arrivato più vicino, chi ha usato il bonus e chi c’è andato più lontano Gli farei notare che nessuno ha centrato il bersaglio e quelli che si sono avvicinati di più hanno usato un solo segno, il x , e le stesse operazioni.

16. Per centrare il bersaglio bisognerebbe arrivare al numero 466 e poi dividere per 2 E’ molto difficile raggiungere un bersaglio dispari con tutte le cifre pari e i segni : e x Si può arrivare a 224 con una sola operazione, invece che con 2 come hanno fatto G1 e G5; basta fare 28 x 8 = 224

17. Una volta rilevata l’inutilità delle prime osservazioni (tutti sanno di non aver centrato il bersaglio e anche che consigliare di fare più tentativi non aiuta) abbiamo concordato che i suggerimenti dell’insegnante dovrebbero produrre qualcosa di interessante, ad esempio potrebbero indirizzare verso una scoperta significativa, come abbiamo sperimentato in altre occasioni. A questo punto ho chiesto di spiegare l’ultima osservazione, che è stata la più adeguata ed è stata data da uno dei due gruppi di livello più basso. La cosa ha destato il disappunto dei bravi, inorgoglito i ritardatari, ma, soprattutto, motivato l’intera classe a guardare il compito con occhi diversi.

18. Come auspicato, dopo una discussione generale, sono arrivate tutte insieme le risposte cercate: Moltiplicare per 8 e poi dividere per 4 è lo stesso che moltiplicare per 2 (v. G4) Moltiplicare per 8 e poi dividere per 2 è come moltiplicare per 4, viene fuori da 8 : 2! (v.G2) Dividere per 4 e poi moltiplicare per 4 fa rimanere al punto di partenza, perché …(è stato necessario pensarci) moltiplicazione e divisione sono una l’inverso dell’altra (v.G4)

19. Moltiplicare tre volte per 4 è come moltiplicare per 64 (4 ³ !) e, dividere per 8 e poi per 2 è come dividere per 16; ma allora moltiplicare per 64 e dividere per 16 è lo stesso che moltiplicare per 4, lo dimostra il fatto che alla fine si ottiene lo stesso risultato della prima operazione (v.G3) 2 è 2¹, 4 è 2² e 8 è 2³ una sta dentro l’altra

20. Dal Numerando alle espressioni BERSAGLIO: 272CIFRE: 2, 4, 9OPERAZIONI: + x

21. Soluzione di un alunno: 94 x 2 = 188 188 + 42 = 230 230 + 42 = 272 La trasformazione di tale sequenza in espressione è stata immediata: 94 x 2 + 42 + 42 = 272

22. E’ possibile scrivere l’espressione in modo diverso? Arriva puntuale la risposta attesa: 94 x 2 + 42 x 2 = 272

23. E’ possibile fare un’ ulteriore trasformazione inserendo le parentesi tonde? Gabriele propone (94 + 42) x 4 Mattia corregge (94 + 42) x 2

24. Operazioni a confronto Bersaglio 381 Cifre 6, 1, 4 Operazioni x :

25. Unica soluzione trovata 64 x 6= 384 384 : 1= 384 Ora che conoscete meglio le operazioni aritmetiche e avete imparato a ricavare informazioni su un numero dalla sua fattorizzazione, provate a spiegare perché risulta difficile centrare questo Numerando

26. Se provassimo a lasciare invariati bersaglio e cifre e cambiassimo la combinazione delle operazioni? Sarebbe ugualmente difficile centrare il bersaglio?

27. + -661 – 441 +161 = 381 + x 61 x 6 +14 +1 = 381 + : 1164 : 4 + 64 +16 + 6 + 4 = 381 - x 66 x 6 –14 –1 = 381 - : 461 – 66 –14 : 1 = 381

28. E se partissimo da lontano? BERSAGLIO: 343CIFRE: 3, 6, 9OPERAZIONI: - :

29. Cifre: 3, 6, 9 Operazioni - : Alcune soluzioni 369 – 9 = 360 360 – 9 = 351 351 –9 = 342 696 –333 =373 373 – 33 = 340 36663 : 33 = 1111 1111 – 699 = 412 412 – 69 = 343 369 – 9 = 360 360 – 6 = 354 354 – 6 = 348 348 – 3 = 345 345 – 3 = 342 3699 : 9 = 411 411 – 69 = 352 352 – 9 = 343

30. INDAGINE SUL COMPORTAMENTO DEI NUMERI PARI E DEI DISPARI La classe sta cercando la soluzione a un “Numerando” che due mesi prima era risultato piuttosto difficile: 4 gruppi su 6 non erano riusciti neanche ad avvicinarsi al bersaglio, nonostante avessero a disposizione la calcolatrice.

31. BERSAGLIO: 582CIFRE: 9, 1, 3OPERAZIONI: - x

32. Gli alunni non si sono resi conto di averlo già affrontato e pensano che provenga da un’altra classe; sospettano che nasconda qualche insidia e, durante la dettatura, Andrea commenta sottovoce: “ Questo è difficile, non può tornare, le cifre sono tutte dispari e il bersaglio è pari”. Non raccolgo sul momento la frase, ma la pongo all’attenzione della classe la lezione seguente. Tutti i gruppi, questa volta, hanno centrato il bersaglio (ciò significa che due mesi di pratica, hanno prodotto qualche risultato positivo) ed è a tutti evidente che l’affermazione di Andrea è falsa. Qualcuno, però, obietta che se, tra le operazioni, ci fosse stata la divisione, l’affermazione di Andrea sarebbe stata vera. Diventa, quindi, necessaria un’indagine approfondita sul comportamento dei numeri pari e dispari nelle operazioni aritmetiche. Forse tale comportamento era già conosciuto nel caso delle due operazioni dirette ( + e x ), perché è stato facile arrivare alle seguenti tabelle, ma è stato più difficile ragionare sulle operazioni inverse.

34. Si nota che, se si fa una sottrazione tra due numeri dispari, si ottiene un numero pari ( 913-319 = 594 931 – 333 = 598 ) e che la tabella dell’addizione può valere anche per la sottrazione, nei casi in cui questa (in N) è possibile. L’analisi della seguente sequenza, che si ottiene togliendo in successione numeri dispari (ma si osserva la medesima situazione anche aggiungendo…..) aiuta i ragazzi a capire:

35. 931 – 333 = 598 • 598 – 9 = 589 • 589 – 3 = 586 • 586 – 3 = 583 • 583 – 1 = 582 • “Ottenere un risultato P o D dipende dal numero di volte che si • toglie il numero dispari: • se sottraggo da P un numero pari di volte un numero dispari • ottengo un numero P • se sottraggo da P un numero dispari di volte un numero dispari • ottengo un numero D

36. E con la divisione che cosa accade? Interviene Gabriele: “ Con le cifre pari non si può arrivare a un bersaglio dispari” e poiché Gabriele ha più credibilità di Andrea, sono tutti propensi a sottoscrivere la sua affermazione. Ma basta chiedere di dare qualche esempio, per accorgersi che le cose non vanno proprio così: “La divisione tra due numeri uguali, pari o dispari che siano, dà sempre 1” (nessuno fa riferimento a 0 : 0) 6 : 2 = 3 36 : 4 = 9 36 : 6 = 6 L’operazione P : P , purché il dividendo sia multiplo del divisore, può dare P o D a seconda dei casi! P: D = x con D•x = P, quindi , se x esiste, è pari; mentre non esiste alcun numero che, moltiplicato per un pari dia come risultato un dispari.