3. Přednáška posloupnosti

1. BRVKA 3. Přednáškaposloupnosti Fibonacci (1170 – 1250)

2. BRVKA Horní a dolní mez • Pro neprázdnou množinu M definujeme: • Horní mez Hmnožiny M, pokud pro • Dolní mez dmnožiny M, pokud pro Horní mez Dolní mez • Jestliže je nějaké číslo horní mezí H množiny, tak potom každé větší číslo je také horní mezí této množiny. • Pro dolní mez platí totéž: každé číslo menší než dolní mez d je také dolní mez dané množiny.

3. BRVKA Omezenost • Definice: Množina M se nazývá: • Shora omezená, pokud má horní mez H • Zdola omezená, pokud má dolní mez d • Omezená, pokud má horní i dolní mez • Např.: • Nje zdola omezená, d = 0, není shora omezená, není omezená • Znení omezená ani zdola ani shora • Interval(0,1) je omezený, d = 0, H = 1 (ale i např. 2 nebo 100) • Věta: Množina, která má konečný počet prvků, je omezená. • Mezi prvky této množiny najdeme ten nejmenší prvek – dolní mez potom bude buď tento prvek nebo kterýkoliv menší. Podobně najdeme největší prvek a zvolíme horní mez.

4. BRVKA Supremum a infimum Definice: Nechť M je neprázdná množina • Maximum množiny M (maxM) je největší prvek M • Minimum množiny M (minM) je nejmenší prvek M • Supremum množiny M (supM) je nejmenší horní mez M • Infimum množiny M (infM) je největší dolní mez M … pokud existují. Např.: M je polouzavřený interval • max M= 2 • min M neexistuje • sup M= 2 • inf M= –1 Vidíme, že pokud maximum existuje, je zároveň i supremem. Supremum a infimum existují v R* vždy. Maximum a minimum existovat nemusí.

5. BRVKA Posloupnost - definice 1,3,5,7,9,…. 6,5,4,3,2,…. 1,1,2,3,5,8,…. 4,7,10,13,16,…. 8,6,8,6,8,…. 1,-1,1,-1,1,…. • Definice: Jako posloupnost se označuje uspořádaná sekvence (fronta) čísel, indexovaná přirozenými čísly. • Obecněji lze posloupnost chápat jako zobrazení, které každému přirozenému číslu přiřazuje reálné číslo. Posloupnost značíme obvykle nebo Čteme „posloupnost á en přes en (jdoucí) od jedné do nekonečna“ – tzv. nekonečná posloupnost. Jsou i konečné posloupnosti – nejdou do nekonečna, ale mají přesný počet členů. Pozn.: slovo POSLOUPNOST zkracujeme při psaní na PLST.

6. BRVKA Členy Posloupnosti • Čísla v posloupnosti se označují členy ai, kde i je index, který určuje pořadí v posloupnosti. • Např.: a1 je první člen, a3 je třetí člen, an je n-tý („entý“) člen, an+1 je „en plus první člen“ Můžeme vytvořit graf posloupnosti, bude se skládat jen z bodů, které nepropojujeme, není to funkce. Násled(ov)ník Předchůdce an an a1 a4 an+1 an-1 a3 a2 1 2 3 4… 1 n – pořadí členu

7. BRVKA Zadání posloupnosti 1) Neúplným výčtem Hodí se, když si chceme udělat představu o tom, jak se daná posloupnost chová, bereme to jako pomocný zápis. 4,7,10,13,16,…. • Posloupnost můžeme zadat různými způsoby: 2) Vzorcem pro n-tý člen Je to vzorec pro výpočet jednotlivých členů, stačí dosadit do vzorce za n a máme konkrétní člen an. Hodí se při výpočtech nejlépe ze všech typů zadání. 3) Rekurentně = zadání pomocí předchozího členu (nebo více členů). Nevýhoda je, že k určení členu musíme znát všechny předchozí. Např.: dvojnásobek předchozího zvětšený o 1.

8. Zadání vzorcem pro n-tý člen • Funguje podobně jako funkční předpis pro funkce. • Chceme-li konkrétní člen, dosazujeme do vzorce jeho pořadí Např.: Chceme pátý člen posloupnosti Lze i obecněji: Chceme n+1. člen posloupnosti Pozn.: Často se ve vzorci vyskytuje zápis typu: Pro sudá n je to +1, pro lichá –1. Zápis vyjadřuje střídání znamének, tzv. oscilující posloupnost.

9. BRVKA Rekurentní zadání • Pomocí předchozích členů. • Je nutné zadat první člen a1 (nebo více) a „návod“ jak pomocí n-tého členu an určit jeho následovníka an+1 Např.: Posloupnost je zadána: Určete několik prvních členů: Posloupnost by potom byla: –3,7,–13,27,–53,… • Posloupnost je zadána jako součet předchozích dvou členů: Tzv. Fibonacciho posloupnost.

10. BRVKA Fibonacciho posloupnost 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 • Množení králíků za idealizovaných podmínek: • Jeden pár má každý měsíc další pár • Králíci se množí od věku 2 měsíců • Všichni přežívají Na začátku – 0. měsíc, celkem máme 1 pár 1 Po měsíci se ještě nemnoží, celkem máme 1 pár (ten původní) Po 2 měsících se narodí další pár, který se ještě nemnoží, celkem máme 2 páry (ten původní a potomky) 2 3 Po 3 měsících se původním narodí další pár, celkem máme 3 páry Po 4 měsících se původním narodí další a začínají se množit králíci č.2, kteří mezitím dospěli, celkem máme 5 párů. 4 5 7 8 Po 5 měsících se narodí další těm „zkušeným“ a nově i potomci od páru č.3, celkem máme 8 párů. 6 9 10 12 13 Po 6 měsících se narodí potomci i párům č.4 a 5 celkem máme 13 párů. 11 ? Kolik jich bude po dalším měsíci?

11. BRVKA Vlastnosti plstí - omezenost • definovali jsme ji pro množiny čísel, pro posloupnosti je to stejné, to jsou to také množiny čísel (jenom jsou uspořádané). an an Horní mez H Dolní mez d SHORA OMEZENÁ ZDOLA OMEZENÁ an Horní mez H OMEZENÁ Dolní mez d

12. BRVKA Vlastnosti plstí - monotonie • Definujeme: Posloupnost je: an an Rostoucí Klesající an an Nerostoucí Neklesající

13. BRVKA Určování monotonie • Plst je monotónní, jestliže je rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající. • Jestliže je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní. Pozn.: Konstantní plst je také monotónní – protože je zároveň nerostoucí i neklesající. • Při určování monotonie porovnáváme sousední členy. Porovnání ROZDÍLEM: Porovnání PODÍLEM: Plst je klesající.

14. BRVKA vlastnosti posloupností • Zjistěte, zda jsou následující posloupnosti monotónní (rostoucí, klesající, neklesající, nerostoucí) a omezené.

15. BRVKA Aritmetická a geometrická plst • Geometrická plst je taková, ve které je podíl každých dvou sousedních členů roven číslu q – kvocientu. • Aritmetická plst je taková, ve které je rozdíl každých dvou sousedních členů roven číslu d – diferenci. Rekurentní zadání • pomocí předchůdce • pomocí prvního členu Libovolný člen Součet prvních n členů

16. BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.