TEILCHENPHYSIK F ÜR FORTGESCHRITTENE

1. TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Peter Schleper Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPhWintersemester 2005/06

2. ZIEL DER VORLESUNG • blablabl TSS, Teilchenphysik II

3. ORGANISATION DER VORLESUNG • Ablauf: • 4 Stunden Vorlesung: Dienstag 12:30-14:00, Freitag 10:30-12:00 • 2 Stunden Übung: Freitag 12:30-14:00, Rm 9/104 • Scheinerwerb • 1 Klausur (mit Nachklausur für Grippeopfer etc.) • Jeweils 50% der Punkte aus der Klausur und aus den Übungen • Beteiligung in der Übung TSS, Teilchenphysik II

4. GLIEDERUNG DER VORLESUNG, TEIL I • Hinführung zur Dirac-Gleichung • Schrödinger, Klein-Gordon und Dirac • Feynman-Regeln und –Graphen • Herleitung mit Green-Funktionen • Hinschreiben eines Matrix-Elements • Berechnung des Wirkungsquerschnitts ee • Flussfaktor, Lorentz-Invarianter Phasenraum, Matrix-Element • Crossing und weitere QED-Prozesse • Lepton-Hadronen-Streuung • Symmetrien und Erhaltungsgroessen • Ausblick: Renormierung Theorie jeweils unterfüttert mit experimentellen Ergebnissen! TSS, Teilchenphysik II

5. VORLESUNG, TEIL II (P. SCHLEPER) • Eichprinzip • Standard-Modell • Higgs-Mechanismus • Jenseits des Standard-Modells • Supersymmetrie • “Grand Unified Theories” • … TSS, Teilchenphysik II

6. TEILCHENPHYSIK IM WS05/06 • Vorlesung “Physik V: Kern- und Teilchenphysik” • Klanner, Scobel, DiFr 10:30-12:00, HSII • Vorlesung “Teilchenphysik und Kosmologie” • Buchmueller, DiDo 10:15-11:45, Rm 9/103 • Proseminar “Grosse Entdeckungen und Nobelpreise der Teilchenphysik” • Geiser, Hagner, Klanner, Zimmermann, Di 14:15-15:45, HSIII • Vorlesung “Neutrino- und Astroteilchenphysik” • Hagner, Zimmermann, Fr 14:00-15:30, HS III TSS, Teilchenphysik II

7. TEILCHENPHYSIK IM WS05/06 • Vorlesung “QCD und Colliderphysik” • Jung, Mi 11:15-12:45, DESY 2a/Sm2 • Vorlesung “Evaluating Feynman Integrals” • Smirnov, Fr 10:15-11:45, DESY 1a, Sm1 • Vorlesung “Beschleunigerphysik II” • Rossbach, Do 13:30-14:00, HSIII TSS, Teilchenphysik II

8. KAPITEL 1 Hinführung zur Dirac-Gleichung TSS, Teilchenphysik II

9. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG (SGL) Teilchen/Welle-Dualität (Planck, de Broglie) Ebene Welle  als Ansatz für freies Teilchen QM: Observable  Operator(Eigenwertgleichungen)  Energie/Impulsoperator Kinetische Energie laut klassischer Mechanik und“Übersetzung” in QM TSS, Teilchenphysik II

10. ZEITUNABH. SGL, KONTINUITÄTSGL. • Oft ist Potential V von Zeit t unabhängig  Trennung der Orts- und Zeitvariablen: • Physikalische Bedeutung von : Wahrscheinlichkeits(strom)dichte • Konjugiert-komplexe SGL: • Kontinuitätsgleichung: TSS, Teilchenphysik II

11. KONTINUITÄTSGL. FÜR FREIES TEILCHEN • Wahrscheinlichkeitsdichte der ebenen Welle hängt nicht vom Ort ab: • Wahrscheinlichkeitsstromdichte ist das Produkt der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Geschwindigkeit TSS, Teilchenphysik II

12. DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG • Motivation 1: Die SGL ist keine relativistische Wellengleichung – für die Teilchenphysik wollen wir aber sicher relativistisch rechnen. • Motivation 2: Man will später die Lorentz-Invarianz der relativistischen Wellengleichung erreichen – aber SGL ist offenkundig NICHT invariant: • Erste Ableitung in der Zeit, aber • Zweite Ableitung im Ort! TSS, Teilchenphysik II

13. DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG • Idee: relativistischer Zusammenhang zwischen Energie, Impuls und (Ruhe)Masse eines Teilchens: • Nach Umsortieren ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung (KGGL) als relativistische Verallgemeinerung der SGL (für Spin-0-Teilchen): TSS, Teilchenphysik II

14. LÖSUNG DER KLEIN-GORDON-GL. • Ansatz: Wieder ebene Wellen • Einsetzen in KGGL: Wir finden also Lösungen mit NEGATIVER Energie  unakzeptabel! • Lösung positiver Energie / negativer Energie • Aber: Beide Lösungen benötigt – sonst kein vollständiges System von Eigenfunktionen! Analogie: klassische Wellengleichung: TSS, Teilchenphysik II

15. KGGL: KONTINUITÄTSGLEICHUNG • Aus der KGGL und ihrem komplex-konjugierten folgt: • Mit folgender Definition der W’keitsdichte … … folgt die Kontinuitätsgleichung in der bekannten Form. Aber: TSS, Teilchenphysik II

16. DIE DIRAC-GLEICHUNG • Jetzt also nur erste Ableitungen – Ansatz von Dirac: • Versuche damit, Energie-Impuls-Beziehung zu erfüllen. Es muss gelten: Diese Beziehung lässt sich nur mit komplexen Matrizen erfüllen! • Hamiltonian H hermitesch  j,  hermitesch! • j2=2=I  Eigenwerte ±1. • Matrizen haben alle Spur 0. Spur = Summe der Eigenwerte  Dimension N muss gerade sein. N=2 bereits vergeben – die drei linear unabhängigen Pauli-Matrizen. Daher: N=4! Allgemein: TSS, Teilchenphysik II

17. DIE MATRIZEN i UND  • … nehmen folgende Gestalt an (ausprobieren!) • Matrizen wirken als 4-dimensionale Operatoren auf Wellenfunktionen   diese müssen 4-dimensionale Spaltenvektoren sein: Dirac-Spinoren! TSS, Teilchenphysik II

18. DGL UND KONTINUITÄTSGLEICHUNG • Die Gleichung für den konjugierten Spinor lautet: • Multiplikation der DGL für Dirac-Spinor von links mit +, der obigen Gleichung von rechts mit  und Subtraktion: • Das ist identisch mit der Kontinuitätsgleichung falls: Beachte, dass diese Dichte immer positiv ist! TSS, Teilchenphysik II

19. NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL I • Betrachte freies, ruhendes Elektron. WellenvektorDann lautet die DGL: • Diese Gleichung hat vier unabhängige Lösungen: • Jetzt nichtrelativistischer Grenzfall:Zeitabhängigkeit ändert sich kaum  im wesentlichen exp(- 0t) wie beim ruhenden e– mit leichter Abhängigkeit im Spinor: TSS, Teilchenphysik II

20. NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL II • Ansatz mit langsamer Zeitabhängigkeit der Spinoren: • Einsetzen in Dirac-Gleichung: • Weiterhin: • Für die Norm von  gilt: Aus diesem Grund heisst  ‘kleine’ Komponente des Spinors (für nicht-relativistische Elektronen). TSS, Teilchenphysik II

21. NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL III • Die ‘grosse’ Komponente  erfüllt die SGL eines freien Elektrons: TSS, Teilchenphysik II

22. KAPITEL 2 Spass mit der Dirac-Gleichung TSS, Teilchenphysik II

23. LORENTZ-VEKTOREN • Konvention der Teilchenphysik: Messe Geschwindigkeiten in Einheiten von c und Wirkungen in Einheiten von Plancks Wirkungsquantum: • Relativitistische Behandlung  Gleichbehandlung von Raum- und Zeitdimensionen  Vierervektoren! • Verknüpfung durch den metrischen Tensor g: TSS, Teilchenphysik II

24. RELATIVISTISCHE INVARIANZ DER DGL • Bla TSS, Teilchenphysik II

25. DIE -MATRIZEN • Die Gamma-Matrizen nehmen (in jedem Bezugssystem!) die folgende Gestalt an: • Zusammengefasst zu einem Vierervektor: • Damit kann man die Dirac-Gleichung vereinfacht schreiben als: TSS, Teilchenphysik II

26. SÄTZE ÜBER -MATRIZEN • Vertauschungsrelationen: • Ausserdem: TSS, Teilchenphysik II

27. KAPITEL 3 Feynman-Graphen TSS, Teilchenphysik II

28. KAPITEL 4 Berechnung des Wirkungsquerschnitts ee TSS, Teilchenphysik II

29. DER PROZESS… e–(p1) e–(p3) (q) +(p4) +(p2) • … der uns einige Zeit beschäftigen wird: e–+e–+ TSS, Teilchenphysik II