Ensino Superior

1. Ensino Superior Introdução aos Sistemas de Controle 2.5.2 Revisões Fundamentais Equações Diferenciais Amintas Paiva Afonso

2. Soluções Numéricas de EDO’s Amintas Paiva Afonso

3. Equações Diferenciais • Equações contendo derivadas são equações diferenciais. • É necessário conhecer equações diferenciais para: • Compreender e investigar problemas envolvendo o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição de populações, o movimento de fluidos, entre outros. • Note que toda a parte do cálculo chamado de cálculo de primitivas compreende a determinação de soluções de uma equação diferencial.

4. A função é diferencial no intervalo (-, ), e a sua derivada é . Se substituirmos no lado direito da derivada pelo símbolo y, obteremos Equações Diferenciais • Você aprendeu, em cálculo, que a derivada dy/dx de uma função y =  (x) é em si uma outra função ’(x). (1) • Como resolver essa equação na função incógnita y =  (x)? • A equação construída em (1) é chamada de equação diferencial.

5. Definição de Equação Diferencial • Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED). • Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equações diferenciais por tipo, ordem e linearidade.

6. Classificação quanto ao Tipo Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): se a função desconhecida depende de uma única variável independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples. (2) Equações Diferenciais Parciais (EDP): se a função desconhecida depende de diversas variáveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais. (3)

7. Notação de Leibniz: Notação de Leibniz: Notação linha: Notação linha: Classificação de Equações Diferenciais A notação linha é usada somente para denotar as três primeiras derivadas; a quarta derivada é escrita como y(4), em vez de y’’’’.

8. Classificação de Equações Diferenciais Sistema de equações diferenciais: se existem duas ou mais funções que devem ser determinadas, precisamos de um sistema de equações. (8) Uma solução de um sistema como (8) é um par de funções diferenciais x = 1(t), y = 2(t), definidas em um intervalo comum I, que satisfazem cada equação do sistema neste intervalo.

9. torna-se Classificação de Equações Diferenciais Notação ponto de Newton (cocô de mosca): é às vezes usada em Física ou Engenharia para denotar derivadas em relação ao tempo. Assim sendo, a equação diferencial torna-se Derivadas parciais são geralmente denotadas por uma notação em subscrito. Assim sendo, a equação diferencial

10. Equações Diferenciais • Ao estudar alguns fenômenos, é difícil estabelecer diretamente a relação de dependência entre uma variável independentex e uma dependente y. • Todavia, é mais fácil estabelecer a relação entre x, ye asderivadasy’(x), y’’(x), …, Y(n)(x). • Esta relação constitui uma equação diferencial. • Note que a grande maioria dos fenômenos físicos é modelada através de equações diferenciais.

11. Equações Diferenciais • Equação diferencial: • é uma equação envolvendo uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. • Equação diferencial ordinária de ordem n: • equação que envolve derivadas até a ordemn da forma Y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) a ≤ x ≤b.

12. primeira ordem segunda ordem É uma equação diferencial de segunda ordem. Classificação por Ordem Ordem: a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação. Exemplos:

13. Classificação por Ordem Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são ocasionalmente escritas na forma diferencial M(x, y) dy + N(x, y) dx = 0 Por exemplo, supondo que y seja a variável dependente em (y - x) dx + 4x dy = 0, então y’ = dy/dx Portanto, dividindo pela diferencial dx, obtemos a forma alternativa 4xy’ + y = x

14. Classificação por Ordem Geralmente a equação F(y, y’, y”, ..., y(n)) = 0(4) é uma equação diferencial ordinária de ordem n em uma variável dependente. Onde F é uma função de valores reais de n + 2 variáveis, x, y, y’, ..., y(n), e onde y(n) = dny / dxn. Por razões práticas e teóricas, também consideraremos (5)

15. Classificação por Ordem Quando servir aos nossos propósitos, usaremos a forma normal e para representar equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem. Por exemplo, a forma normal da equação de primeira ordem 4xy’ + y = xé y’ = (x – y)/4x

16. Classificação por Linearidade Equações Lineares e não-lineares: A equação diferencial (4) É dita linear se F é uma função linear das varáveis y, y’, y”,..., y(n-1) Assim a equação diferencial ordinária linear geral de ordem n é (6)

17. Classificação por Linearidade • Em (2) observamos as duas propriedades características de uma equação diferencial linear: • A variável dependente e todas as suas derivadas são do 1º grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1. • Cada coeficiente depende no máximo da variável independente x. As equações diferenciais ordinárias lineares abaixo são, respectivamente, de 1ª, 2ª e 3ª ordem. (y - x) dx + 4x dy = 0, y’’ – 2y’ + y = 0 e

18. Classificação por Linearidade Equações não-lineares: Uma equação diferencial ordinária não-linear é simplesmente uma que não é linear. A equação diferencial que não é da forma (1) é uma equação não-linear. Exemplo: Funções não-lineares da variável dependente ou de suas derivadas, como seny ou e y’, não podem aparecer em uma equação linear. Assim sendo, Termo não-linear Potência diferente de 1 Termo não-linear Coeficiente dependente de y Termo não-linear Função não-linear de y

19. Solução de uma EDO • Definição: Toda função , definida em um intervalo I que tem pelo menos n derivadas contínuas em I, as quais quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n reduzem a equação a uma identidade, é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo. Em outras palavras, uma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem n(4) é uma função  que tem pelo menos n derivadas e para qual F(x, (x), ’(x), ..., (n)(x)) = 0 para todo x em I.

20. Em nossa discussão introdutória, vimos que é uma solução de no intervalo (-, ). Soluções Soluções: Uma solução da equação y(n) = f (x, y, y`, y``, ..., y(n-1) ) em  < x <  é uma função  tal que `, ``, ... (n) existem e satisfazem (n)(x) = f [x, (x), `(x), ``(x), ... (n-1) (x)] para todo xem  < x < 

21. Verificação de uma Solução Exemplo 1: Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-, ). a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16 b) y’’ – 2y’ + y = 0; y = xex Solução: Uma maneira de verificar se a solução dada é uma solução é observar depois de substituir, se ambos os lados da equação são iguais para cada x no intervalo. a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16 lado esquerdo: lado direito:

22. Verificação de uma Solução Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-, ). a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16 lado esquerdo: lado direito: Vemos que ambos os lados são iguais para cada número real x. Note que y1/2 = ¼ x2é, por definição, a raiz quadrada não negativa de 1/16 . x4

23. Verificação de uma Solução Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-, ). b) y’’ – 2y’ + y = 0; y = xex Das derivadas y’ = xex + exe y’’ = xex + 2ex, temos, para x   lado esquerdo: lado direito: 0 Observe que neste exercício, cada equação diferencial tem a solução constante y = 0, - < x < . Uma solução de uma equação diferencial identicamente nula no intervalo I é chamada de solução trivial.

24. Curva Integral O gráfico de uma solução de uma EDO é chamado de curva integral. Uma vez que  é uma função diferenciável, ela é contínua no intervalo de definição I. Assim sendo, pode haver uma diferença entre o gráfico da função  e a solução da função . Posto de outra forma, o domínio da função  não precisa ser igual ao intervalo I de definição (ou domínio) da solução  . O exemplo 2 ilustra a diferença.

25. Domínio versus intervalo I de Definição Exemplo 2: O domínio de y = 1/x é  - {0}. A função racional y = 1/x, é descontínua em zero. A função não é diferenciável em x = 0, uma vez que o eixo y (cuja equação é x = 0) é uma assíntota vertical do gráfico. Entretanto, y = 1/x é também solução da equação diferencial linear de primeira ordem xy’ + y = 0. (verifique) Mas quando afirmamos que y = 1/x é uma solução dessa ED, queremos dizer que é uma função definida em um intervalo I no qual é diferenciável e satisfaz a equação. Portanto, tomamos I como sendo (-, 0) ou (0, ). O gráfico ilustra as duas curvas integrais.

26. Domínio versus intervalo I de Definição Exemplo 2: (a) Função y = 1/x, x 0 (b) Solução y = 1/x, (0, )

27. Soluções Explícitas e Implícitas Solução Explícita: É quando numa solução a variável dependente é expressa somente em termos da variável independente e das constantes. y = x4/16, y = xexe y = 1/xsão soluções explícitas de dy/dx = xy1/2, y’’ – 2y’ + y = 0exy’ + y = 0 Além disso, a solução trivial y = 0 é uma solução explícita de todas as três equações.

28. Soluções Explícitas e Implícitas Solução Implícita: Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma solução implícita de uma equação diferencial (4), em um intervalo I, quando existe pelo menos uma função  que satisfaça a relação, bem como a equação diferencial em I. (4) Exemplo 3: A relação x2 + y2 = 25 é uma solução implícita da ED no intervalo -5 < x < 5. Por diferenciação implícita, obtemos ou

29. Solução implícita • x2 + y2 = 25 (b) Solução explícita (c) Solução explícita Soluções Explícitas e Implícitas Exemplo 3: Uma solução implícita e duas explícitas de y’ = - x/y

30. Uso de computadores na solução de EDO • Exercícios destinados a Laboratório de Computação. Use um SAC (Sistema Algérico Computacional) para computar todas as derivadas e fazer as simplificações necessárias à constatação de que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada. • y(4) – 20 y’’’ + 158y’’ – 580y’ + 841y = 0; y = xe5x cos 2x • x3y’’’ + 2x2y’’ + 20xy’ - 78y = 0;

31. Equações Diferenciais Ordinárias • A solução de (5’): • y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) (5) a ≤ x ≤b. • é qualquer função y = F(x) que é definida em [1, b] e tem nderivadas neste intervalo e que satisfaz (5). • Se a função é de uma só variável, então a equação se chama ordinária. • As equações que estabelecem relações entre uma variável e depende de duas ou mais variáveis independentes e as derivadas (agora parciais), são chamadas de equações diferenciais parciais.

32. Solução de uma EDO • Na solução de uma EDO, dois caminhos podem ser seguidos: • Método analítico: O que tenta levar à uma solução exata do problema • Método numérico: O que encontra uma solução aproximada. • Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f(x,y) é encontrar uma função y = F(x) que satisfaça a equação dada. • Por exemplo, dada equação diferencial y’ = f(x,y) = 2x + 3, sua solução é obtida por: • y = ∫(2x+3)dx = x2 + 3x + C • Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C  R tem uma solução particular). A figura 1 (próximo slide) mostra algumas soluções para C = 0, C = 2 e C = 4.

33. Representações de soluções particulares, para alguns valores de C, da função y = x 2 + 3 x + C. Figura 1 y C = 4 C = 2 C = 0 x Solução de uma EDO Note que à medida que C varia, tem-se uma família de soluções.

34. x Solução de uma EDO

35. Definindo as condições iniciais • Para especificar uma das curvas que formam a família de soluções, é preciso impor condições adicionais na função y. Essas condições são da forma: • y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 ,… , y(n-1)(a) = n (2) • Que são chamadas de condições iniciais. • O problema (1) com as condições iniciais (2) é chamado de problema de valor inicial ou problema de condições iniciais. y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, y(n-1)(x)) com a ≤ x ≤b (1)

36. Definindo as condições iniciais • O problema geral de primeira ordem é escrito como: • y’(x) = f(x, y(x)), y(a) =  com a ≤ x ≤ b (3) ou dy/dt = f(t, y(t)), y(a) =  com a ≤ t ≤ b • Um problema de valor inicial de ordem n é escrito como: • y(n)(x) = f(x, y’, y’’, …, y(n-1)), a ≤ x ≤b (4a) • y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 ,… , y(n-1)(a) = n (4b)

37. Condições de contorno • Juntamente com o problema de valor inicial, podemos ter problemas com condições de contorno, isto é: • Além da condição no início do fenômeno, temos também uma condição a atingir no fim do fenômeno. EXEMPLO: condição de contorno de segunda ordem é escrito como y’’(x) = f(x, y, y’’) , a ≤ x ≤ b (5) com y(a) = 1 , y(b) = 2

38. Usando símbolos diferentes Exemplo 2: As funções x = c1cos4t e x = c2sen4t, onde c1 e c2 são constantes arbitrárias ou parâmetros, são ambas soluções da equação diferencial linear x’’ + 16x = 0. Para x = c1cos4t  x’ = - 4c1sen4t e x’’ = - 16c1cos4t. Substituindo x’’ e x, obtemos x’’ + 16x = - 16c1cos4t + 16c1cos4t= 0 Para x = c2sen4t x’’= - 16c2sen4t e, portanto, x’’ + 16x = - 16c2sen4t + 16c2sen4t= 0 É fácil constatar que a combinação linear de soluções, ou a família a dois parâmetros x = c1cos4t +x = c2sen4t é também uma solução da equação diferencial.

39. Verificação de uma Solução Uma solução de uma equação diferencial na incógnita y e na variável independente x no intervalo  é uma função y(x) que verifica a equação diferencial identicamente em todo x em . Exemplo 3: Tem-se que y(x) = C2sen(2x) + C2cos(2x) é uma solução de y’’ + 4y = 0. Isso pode ser visto através da substituição de y(x) na equação original. Assim: y’(x) = C1cos(2x) - C1sen(2x) y’’(x) = -4C1sen(2x) - 4C2cos(2x) y(x) + 4y = (-4C1 + 4C1)sen(2x) + (4C2 - 4C2)cos(2x) = 0

40. Sistema de Equações Diferenciais • Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte forma geral: • y’1(x) = f1(x, y1, y2, y3, … yn) • y’2(x) = f2(x, y1, y2, y3, … yn) • … a ≤ x ≤ b • y’n(x) = fn(x, y1, y2, y3, … yn) • Sujeito a yk(a) = k , k = 1(1)n (6b) • Onde f1, f2, … f1n são funções de n + 1 variáveis. • Nota: se o problema (6a) tem solução, então ele tem, em geral, várias soluções (uma família de soluções). Com as condições (6b), temos o problema do valor inicial. (6a)

41. Sistema de Equações Diferenciais • As soluções do problema (6a) são derivadas da solução de uma única equação. Resolvendo o problema (6), podemos resolver o problema (4), utilizando mudanças de variáveis. Assim, basta definir um conjunto de n funções y1, y2, …, yn, da seguinte forma: • y1(x) = y(x) • y2(x) = y’(x) • … • yn(x) = y(n-1)(x) • Então (4a) pode ser escrita como: • y(n)(x) = f(x, y1, y2, … yn). (8a) (7)

42. Sistema de Equações Diferenciais • Diferenciando (7), obtemos: • y’1(x) = y2(x) • y’2(x) = y3(x) • … • yn-1(x) = yn(x) • De onde obtemos para (4) um sistema de equações diferenciais. As condições iniciais de (4b) tornam-se as condições iniciais do sistema. (8b)

43. Sistema de Equações Diferenciais • EXEMPLO: • y’’’(x) = xy’(x) + exy(x) + x2 + 1 0 ≤ x ≤ 1 y(0) = 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = -1 • Fazendo a mudança de variáveis, obtemos: • y’1(x) = y2(x) • y’2(x) = y3(x) 0 ≤ x ≤ 1 • y’3(x) = xy2(x) + ex y1(x) + x2 + 1 y1(0) = 1, y2(0) = 0, y1(0) = -1

44. Uso de computadores na solução de EDO • Um computador pode ser uma ferramenta extremamente útil no estudo de equações diferenciais. • Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo para solucioná-las como, por exemplo: o método de Euler e o de Runge-Kutta. • Além disso, há excelentes pacotes (software) de solução numérica que podem ser aplicados a diversos problemas matemáticos. Exemplo: Matlab, Mapple, Mathematica, Scilab.

45. Algumas questões relevantes • Uma equação diferencial sempre tem solução? (existência) • Quantas soluções tem uma equação diferencial dada que ela tem pelo menos uma? Que condições adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma única solução? (unicidade) • Dada uma ED, podemos determinar, de fato, uma solução? E, se for o caso, como?

46. Equações Diferenciais de Primeira Ordem A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é dy/dx = f (x,y) (i) Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça essa equação para todo t em um dado intervalo é uma solução desta equação. Exemplo: y’ = 2y + 3et Serão estudadas três subclasses de equações de primeira ordem: as equações lineares; as separáveis e as equações exatas.

47. Equações Lineares Se a função f em (1) depende linearmente de y, então ela é chamada de uma equação linear de primeira ordem. Um exemplo com coeficientes constantes é dy/dt = - ay + b, onde a e b são constantes dadas. Substituindo os coeficientes a e b por funções em t, temos a forma geral da equação linear de primeira ordem dy/dt + p(t)y = g(t), onde p e g são funções dadas da variável independente t.

48. Equações Lineares Exemplo: Considere a equação diferencial dy/dt + 2y = 3. Encontre sua solução. Solução: Temos que dy/dt = -2y + 3 ou dy/dt = -2 y - 3/2 ln |y - 3/2| = -2t + c Logo, y = 3/2 + ce- 2t Se g(t) = 0, então a equação é dita equação linear homogênea.

49. Fator integrante Consiste em multiplicar a equação diferencial por uma determinadafunção (t) de modo que a equação resultante seja facilmente integrável. Exemplo: Considere a equação dy/dt +2y = 3. Assim podemos ter (t) dy/dt + 2 (t) y = 3 (t) Vamos tentar encontrar (t) de modo que a expressão anterior tenha a esquerda do sinal da igualdade a derivada de (t) y. Assim, d[(t) y]/dt = (t) dy/dt + d (t)/dt y.

50. Fator integrante Comparando com a equação anterior temos que as duas primeiras parcelas são iguais e que as segundas podem ficar desde que (t) seja tal que d (t) /dt = 2 (t) Logo [d (t) /dt] / (t) = 2 Donde d [ln| (t)|] / dt = 2 O que nos leva ao resultado ln |(t)| = 2t+c ou (t) = c e 2 t que é um fator integrante para a equação dada. Como não queremos um caso mais geral, tomamos (t) = e 2 t