Ensino Superior

1. Ensino Superior Cálculo 3 2.1. Curvas e Superfície de Nível Amintas Paiva Afonso

2. Cálculo 3

3. Programa 1. Introdução à funções de várias variáveis (FVV). 1.1 Curvas e Superfície de Nível 2. Limites e derivadas de FVV. 3. Regra da cadeia e derivada direcional. 4. Integração dupla. 5. Aplicações de integração dupla. 6. Integração tripla. 7. Aplicações de integração tripla. 8. Mudança de variáveis. 9. Apliacações de mudança de mudança de variáveis.

4. Curvas de Superfície de Nível Existe uma outra técnica gráfica, útil, para descrever o comportamento de uma função de duas variáveis. O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das equações f(x, y) = k para diferentes valores de k. Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de nível da função f.                                   

5. Curvas de Superfície de Nível Curva de nível                    tal que              .

6. Exemplo 1. z = f(x,y) = altura em relação ao nível do mar (definida em uma pequena porção aproximadamente plana). Nossas curvas de nível correspondem às linhas de contorno topográfico.

7. Exemplo 2. As curvas de nível são os gráficos das equações           .

8. Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

9. Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível z = 9 z = 4 z = 2 z = 0

10. Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

11. Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível 70

12. Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

13. Exemplo 3. Curvas de nível:         .

14. Exemplo 4. Curvas de nível: - hipérboles                                                          

15. Curvas de Superfície de Nível Superfícies de nível                   tal que                 . Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para diferentes valores de k.                                    Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas são chamadas superfícies equipotenciais.

16. Curvas de Superfície de Nível

17. Exemplo

18. Exemplo

19. Exemplo

20. Curvas de Superfície de Nível A superfície Parabolóide É o gráfico de f. Uma curva de nível típica no domínio da função

21. A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 éa circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75. Plano z = 75 A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 éa circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy. Curvas de Nível X Curvas de Contorno Traço: é a curva definida pelo encontro da superfície f(x,y) com os planos xy, xz e yz.

22. Curvas de Nível

23. Curvas de Nível A curva Decréscimo mais rápido de f

24. Exercícios Seja f(x, y) uma função com domínio dado por f(x, y) = 9 - x2 - y2 e D = {(x, y)/ x2 + y2 9}. Esboçar o gráfico da função. Determine s curvas de nível par z = 4, z = 6 e z = 8. 2) Para as mesmas cotas anteriores, determinar as curvas de nível da função z = xy.