Ensino Superior

1. Ensino Superior Lógica Matemática e Computacional 1 – Introdução à Lógica Amintas Paiva Afonso

2. 1.1 Conceito de Lógica Para Aristóteles, a Lógica não era uma ciência teórica, prática ou produtiva, mas, sim, um instrumento para todas as ciências. A Lógica Matemática lida com a formalização e a análise de tipos de argumentação utilizados na Matemática.

3. Conceito de Lógica Parte do problema com a formalização da argumentação matemática é a necessidade de se especificar de maneira precisa uma linguagem matemática formal. Linguagens naturais (Português ou Inglês) não servem para este propósito: elas são muito complexas e estão em constante modificação, além de serem ambíguas.

4. Conceito de Lógica Por outro lado, linguagens de programação, que são rigidamente definidas, são muito mais simples e menos flexíveis que as linguagens naturais. Diante disso, a Lógica tenta justamente combinar os benefícios das duas anteriores.

5. Exercícios de lógica 1. Lógica matemática: • Qual a lógica da seqüência dos números e quem é x? • 2,4,4,6,5,4,4,4,4, x ? • 2,10,12,16,17,18,19, x ? • 1,11,21,1211,111221, x ? 2. Charadas: lógica filosófica. • Um homem olhava uma foto, e alguém lhe perguntou: “De quem é essa foto? Ao que ele respondeu: “Não tenho irmãos nem irmãs, mas o filho deste homem é filho de meu pai. De quem é esta foto? 2,4,4, 6,5, 4,4,4, 4,x 10 11 12 13  x = 9 x = 200 x = 312211 O homem olhava a foto de seu pai.

6. Testes de Lógica 1. Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e o outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade. Que pergunta você faria? Pergunte a qualquer um deles: Qual a porta que o seu companheiro apontaria como sendo a porta da liberdade? Explicação: O mentiroso apontaria a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro (o sincero) diria que é a porta da liberdade. E o sincero, sabendo que seu companheiro sempre mente, diria que ele apontaria a porta da morte como sendo a porta da liberdade. Conclusão: Os dois apontariam a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro diria ser a porta da liberdade. Portanto, é só seguir pela outra porta.

7. Testes de Lógica 2. Você é prisioneiro de uma tribo indígena que conhece todos os segredos do Universo e portanto sabem de tudo. Você está para receber sua sentença de morte. O cacique o desafia: "Faça uma afirmação qualquer. Se o que você falar for mentira você morrerá na fogueira, se falar uma verdade você será afogado. Se não pudermos definir sua afirmação como verdade ou mentira, nós te libertaremos. O que você diria? Afirme que você morrerá na fogueira. Explicação: Se você realmente morrer na fogueira, isto é uma verdade, então você deveria morrer afogado, mas se você for afogado a afirmação seria uma mentira, e você teria que morrer na fogueira. Conclusão: Mesmo que eles pudessem prever o futuro, cairiam neste impasse e você seria libertado.

8. Testes de Lógica 3. Epiménides era um grego da cidade de Minos. Dizem que ele tem a fama de mentir muito. Certa vez, o mesmo citou esta passagem: Era uma vez umbodeque disse: - Quando a mentira nunca é desvendada, quem está mentindo sou eu. Em seguida oleãodisse: - Se o bode for um mentiroso, o que o dragão diz também é mentira. Por fimo dragãodisse: - Quem for capaz de desvendar a minha mentira, então, ele estará dizendo a verdade. Qual deles está mentindo? Este teste é mais conhecido como paradoxo de Epiménides! • Ao tentar responder ao enigma, encontram-se informações que se ligam umas às outras e acabam não levando a resposta alguma. Esse enigma pode ser denominado como Paradoxo do mentiroso. • Veja o exemplo de um paradoxo simples e interessante: • A afirmação abaixo é verdadeira. • A afirmação acima é falsa.

9. UFMG 2006 • Raquel, Julia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Sabe-se que: Essas pessoas formam quatro casais; e Carolina não é esposa de Paulo. Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antonio, Paulo e Rita estão sentados, conversando. Quem é a esposa de Antônio ?

10. Lógica – Jota Quest • A vida é pouco a pouco...Entre a vida e a morteOnde esta a lógica?Entre a guerra e a pazO amor não tem lógicaAmor por tudoAmor profundoUm amor maior que o mundoAmor sem pazAmor que dói demaisAmor de mãe e paiEntre a vida e a morteOnde está a lógica?entre a guerra e a pazO amor não tem lógica • Exagero de vidaExagero de amorExagero de egoExagero da faltaFalta de vida, de amor, de valor.Falta de graça e de granaFalta dos irmãos.A vida é dura é injustaA vida é crua e assustaA vida é jogo e é lutaA vida é fogo e é cruzA vida passaA vida é pouco.A vida é sua

11. A Lógica e o nosso contexto. • O que é Lógica? O que significa estudar Lógica? Qual a sua definição? “A Lógiga é a análise de métodos de raciocínio”. No estudo desses métodos a Lógica está interessada principalmente na forma e não no conteúdo dosargumentos. Exemplos deargumentos: • Todo homem é mortal. Sócrates é um homem. Portanto, é mortal. • Todo cão late. Totó é um cão. Portanto, Totó late. Do ponto de vista da Lógica, esses argumentos têm a mesma estrutura ou forma. • Todo X é Y. Z é X. Portanto Z é Y. A Lógica é o estudo de tais estruturas. Alguns autores dizem que a Lógica é essencialmente o estudo da natureza do raciocínio e as formas de incrementar sua utilização.

12. Outras definições de Lógica. • Estudo do raciocínio; • Estudo do pensamento correto e verdadeiro; • Regras para demonstração científica verdadeira; • Regras para pensamentos não-científicos; • Regras sobre o modo de expor o conhecimento; • Regras para verificação da verdade ou falsidade de um pensamento. Tais definições são muito gerais e sintéticas. Não é fácil definir de forma precisa o que é Lógica, um tema tão amplo.

13. Por que estudar Lógica? Estamos na Era do Conhecimento, onde os principais produtos da mente humana são as idéias. Após o surgimento de uma grande idéia, seus fundamentos serão criticados e analisados logicamente. • Aumentar a capacidade de análise crítica dos argumentos mentais utilizados na organização das idéias e dos processos criativos; • Tomar consciência dos elementos fundamentais à capacidade de argumentar e expor suas idéias; • Tornar mais capaz na racionalização e organização de suas idéias; • Estudar como as pessoas devem raciocinar; • Em suma, para saber adequadamente e concretizar os sonhos, o primeiro passo é tomar consciência da natureza do raciocínio, como devemos raciocinar. O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados.

14. Introdução Neste curso, o principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS. ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. Premissa: "Todo homem é mortal."Premissa: "João é homem."Conclusão: "João é mortal."Esses argumentos serão objeto de estudo neste curso. ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão.Premissa: "É comum após a chuva ficar nublado."Premissa: "Está chovendo."Conclusão: "Ficará nublado."Não trataremosdo estudo desses argumentos neste curso.

15. Introdução As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste curso.

16. Portanto … Ao lógico só interessa a correção do processo, uma vez completado. Sua interrogação é sempre esta: A conclusão a que chegou deriva das premissas usadas ou pressupostas? Se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante a afirmação de que a conclusão também é verdadeira, então o raciocínio é correto. No caso contrário é incorreto. A distinção do raciocínio correto e o incorreto é o problema central que incumbe à lógica tratar. Os métodos e as técnicas do lógico foram desenvolvidos, primordialmente, com a finalidade de elucidar essa distinção. O lógico está interessado em todos os raciocínios, independentemente do seu conteúdo, mas só a partir desse ponto de vista especial.

17. Uma Classificação da Lógica Alguns autores dividem o estudo da Lógica em: • LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabilidade (não será abordada neste roteiro). • LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em: • LÓGICA CLÁSSICA- Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas. Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante. • LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal, deôntica, epistêmica , etc. • LÓGICAS NÃO-CLÁSSICAS: abolem algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. Exemplos: paracompletas e intuicionistas (o princípio do terceiro excluído); paraconsistentes (o princípio da contradição); não-aléticas (o terceiro excluído e o da contradição); não-reflexivas (o princípio da identidade); probabilísticas, polivalentes, fuzzy-logic, etc...

18. Citação 1 • É razoável esperar que a relação entre a computação e a lógica matemática produza tantos frutos ... quanto a que se instalou entre a Análise Matemática e a Física no curso do século XIX (John McCarthy).

19. Citação 2 • As conexões entre a Lógica e a Informática crescem e se aprofundam rapidamente. Ao lado da demonstração automática, da programação em lógica, da especificação e verificação de programas, outros setores revelam uma fascinante interação mútua com a Lógica, como a teoria de tipos, a teoria do paralelismo, a inteligência artificial, a teoria da complexidade, as bases de dados, a semântica operacional e as técnicas de compilação (José Meseguer).

20. Lógica e Computadores A Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência Artificial, e Ciência da computação. Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o conhecimento humano pudesse ser expresso usando lógica com notação matemática, supunham que seria possível criar uma máquina com a capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se mostrou mais difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano. A programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é comumente utilizada para isto. Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por humanos podem ser auxiliadas por computador. Usando demonstração automática de teoremas os computadores podem achar e checar demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações muito extensas. Na ciência da computação, a álgebra booleana é a base do projeto de hardware. http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica

21. 1.2 Aspectos Históricosda Lógica

22. Períodos da História da Lógica • PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.) • A história da Lógica tem início com o filósofo grego ARISTÓTELES (384 – 322 a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da Ciência. Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de Lógica, a PERIPATÉTICA (que derivava de Aristóteles) e a ESTÓICA fundada por Zenão (326-264a.C.). A escola ESTÓICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.) a partir da escola MEGÁRIA (fundada por Euclides, um seguidor de Sócrates). Segundo Kneale (O Desenvolvimento da Lógica), houve durante muitos anos uma certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários e que isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias destas escolas fossem complementares. GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ(1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX .

23. Períodos da História da Lógica • PERÍODO BOOLEANO (± 1840 a ± 1910) • Inicia-se com GEORGE BOOLE(1815-1864) e AUGUSTUS DE MORGAN(1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada Álgebra da lógica, respectivamente com MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC e FORMAL LOGIC. • GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT de 1879. As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu. • GIUSEPPE PEANO(1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da matemática se deve a essa escola italiana.

24. Períodos da História da Lógica • PERÍODO ATUAL (1910 - ...) • ComBERTRAND RUSSELL (1872-1970) eALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA.DAVID HILBERT(1862-1943) e sua escola alemã com von Neuman, Bernays, Ackerman e outros. • KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes contribuições. • Surgem as Lógicas não-clássicas: N.C.A. DA COSTA com as lógicas paraconsistentes , L. A. ZADEH com a lógica "fuzzy" e as contribuições dessas lógicas para a Informática, no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas Especialistas. • Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica englobam muitas áreas do conhecimento.

25. Origem • Aristóteles - filósofo grego - 342 a.C, sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica, elevando-os à categoria de ciência. Para ele, a lógica não era uma ciência teórica, prática ou produtiva, mas, sim, uma ciência para todas as ciências. • Em sua obra chamada Organum (ferramenta para o correto pensar), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos. • Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. • A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento.

26. Origem • Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de “falácias” ou “sofismas”. Exemplos: • Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira e morreu com 87 anos. • Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50 anos bebiam água, logo… • Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu significado. Exemplos: • “Pássaros comem insetos”, por “Todos os pássaros comem insetos” ou “Alguns pássaros comem insetos”. • “Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é careca” ou “Alguns índios não são carecas”

27. 1.3 Postulados Clássicos

28. Princípios Fundamentais das Proposições 1)Princípio da contradição Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa. 3)Princípio do terceiro excluído Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa, isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro. 2)Princípio da não-contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 4)Princípio da identidade Todo objeto é idêntico a si mesmo.

29. Princípios aristotélicos da lógica • Princípio da identidade – se um enunciado é verdadeiro, essa é sua identidade. • A lei da não contradição – duas proposições contraditórias não podem ser verdadeiras. • A lei do terceiro excluído – ou é V ou F, exclui uma terceira possibilidade. • Não se pode negar e afirmar algo simultaneamente.