Gestion du portefeuille 07B – Arbitrage Pricing Theory

1. Gestion du portefeuille07B – Arbitrage Pricing Theory Université Laval GSF 2101 Chapitre 11

2. Plan de la séance • Introduction • Arbitrage P/E • Évaluation par Arbitrage • APT – multi facteurs • Synthèse APT et CAPM

3. Introduction • La théorie d’évaluation par arbitrage Arbitrage Pricing Theory, ou APT est une théorie selon laquelle l’évaluation d’un titre est telle qu’elle empêche toute possibilité d’arbitrage avec d’autres titres. • On dit qu’une possibilité d’arbitrage existe s’il est possible de réaliser un gain sans risque en vendant un titre et en investissant les recettes de la vente dans un autre titre (stratégie autofinancée)

4. Introduction • Dans un monde sans arbitrage, deux titres procurant les même flux monétaires se vendent au même prix. • Si ce n’est pas le cas, il est possible de vendre le titre surévalué et placer le montant obtenu dans le titre sous-évalué. • Si une telle opportunité existe, des pressions à la baisse s’exerceront sur l’actif surévalué, des pressions à la hausse s’exerceront sur l’actif sous-évalué et l’écart se corrigera

5. Arbitrage P/E • Supposons que les compagnies X et Y opèrent dans le même secteur, qu’elles ont des structures semblables et les mêmes opportunités de croissance. • Plus précisément, supposons que les deux compagnies devraient avoir le même ratio cours-bénéfice (P/E). • Ainsi, si nous avons • alors X est surévaluée et/ou Y est sous-évaluée.

6. Arbitrage P/E • Faisons l’hypothèse que les ratios cours-bénéfice des deux compagnies se rejoindront après un certain temps • Si au temps t0, • Alors,

7. Arbitrage P/E • Dans l’année qui s’en vient, on s’attend à ce que les bénéfices des deux compagnies augmentent de 10%, i.e. on s’attend à ce que EX;1 = 2,2$ et EY;1 = 4,4$. • On s’attend aussi à ce que les ratios cours-bénéfice des deux compagnies soient égaux à la fin de l’année, i.e. • Remarque : une action de Y vaut plus chère qu’une action de X mais X est plus chère en termes de bénéfice par action

8. Arbitrage P/E • Stratégie : • Peu importe quels seront les ratios cours-bénéfice en vigueur à la fin de l’année, nous savons que Y augmentera plus (diminuera moins) que X. • Alors on peut vendre X à découvert et placer le montant obtenu dans Y et ainsi réaliser un profit sans risque

9. Arbitrage P/E • Un arbitrageur vend 10 unités de X pour acheter 6 unités de Y, alors:

10. Arbitrage P/E • Supposons que les ratios cours-bénéfice s’ajustent à la baisse au cours de la prochaine année, i.e. les deux titres sont surévalués à t0. • À t1, P1/E1 = 20 • Notez que X baisse de 16$ ou 16/60 = -26,7% et que Y baisse de 12$ ou 12/100 = -12%.

11. Arbitrage P/E • Résultat de la stratégie si P1/E1 = 20 • Ayant vendu 10 unités de X pour acheter 6 unités de Y, le profit à la fin de l’année est de : • La position dans Y est perdante mais le gain procuré par la position dans X fait plus que compenser pour cette perte

12. Arbitrage P/E • Supposons que les ratios cours-bénéfice s’ajustent à la hausse au cours de la prochaine année, i.e. les deux titres sont sous-évalués à t0. • À t1, P1/E1 = 40 • X augmente de 28$ ou 28/60 = 46,7% et Y augmente de 76$ ou 76/100 = 76%.

13. Arbitrage P/E • Résultat de la stratégie si P1/E1 = 40 • Ayant vendu 10 unités de X pour acheter 6 unités de Y, le profit à la fin de l’année est de : • La position dans X est perdante mais le gain procuré par la position dans Y fait plus que compenser pour cette perte

14. Arbitrage P/E • Conclusions : • Peu importe le ratio cours-bénéfice un an plus tard, la stratégie “vendre à découvert 10 unités de X pour acheter 6 unités de Y” procure un gain tant et aussi longtemps que les ratios cours-bénéfice convergent. • Puisque la stratégie crée un gain peu importe l’état de l’économie, c’est une stratégie sans risque. • Comme elle ne nécessite aucune mise de fonds, tous les investisseurs peuvent en profiter peu importe leur richesse. • Si plusieurs investisseurs tentent de profiter de cette opportunité, les prix s’ajusteront bien avant la fin de l’année

15. Arbitrage P/E • Remarques : La réalité • Un exemple comme celui que l’on vient de voir ne représente pas une possibilité d’arbitrage pure puisqu’il n’est pas certain que les ratios cours-bénéfice des deux compagnies soient égaux à la fin de l’année. • Dans l’exemple, nous avons fait l’hypothèse que les ratios cours-bénéfice allaient se rejoindre. Ce qui correspond au profit maximum • Cependant, ils pourraient simplement se rapprocher l’un de l’autre et ne pourraient jamais converger

16. Évaluation par Arbitrage • L’APT s’appuie sur ces trois conditions: • Les rendements de titres peuvent s’expliquer avec un modèle à facteurs; • Il y a suffisamment de titres pour créer des portefeuilles dans lesquels les risques spécifiques sont éliminés; • Les marchés permettent l’élimination de possibilités d’arbitrage

17. Évaluation par Arbitrage • Supposons que nous ayons les trois titres suivants et que leurs rendements soient basés sur le même modèle à un facteur, • Les trois titres du tableau précédent sont-ils correctement évalués?

18. Évaluation par Arbitrage • Construction du Portefeuille d’arbitrage • Si w1, w2, et w3 représentent les pondérations des trois titres dans le portefeuille, alors un portefeuille d’arbitrage est tel que • w1+w2+w3= 0  Pas de mise de fonds • w1b1+w2b2+w3b3= 0  Pas de risque factoriel • S’il est possible de former un tel portefeuille et d’avoir w1E[r1]+w2E[r2]+w3E[r3] > 0, alors une possibilité d’arbitrage existe, • i.e. un ou plusieurs de ces titres sont incorrectement évalués

19. Évaluation par Arbitrage • Construction du Portefeuille d’arbitrage • Problème : • 2 équations et 3 inconnues implique une infinité de solutions au problème. • Pour en trouver une, nous devons fixer la valeur d’une des pondérations, fixons donc que w1 = 0,1 • Ce qui nous pousse à résoudre le système d’équations suivant

20. Évaluation par Arbitrage • Construction du Portefeuille d’arbitrage • De la première équation, nous trouvons • Ainsi • Enfin

21. Évaluation par Arbitrage • Évaluation du Portefeuille d’arbitrage • Le rendement espéré de ce portefeuille est alors de: • ce qui veut dire que les trois titres utilisés présentent une possibilité d’arbitrage

22. Évaluation par Arbitrage • Concept : • Le portefeuille d’arbitrage trouvé peut être vu comme une repondération d’un portefeuille existant. • Par exemple, un portefeuille investi également dans chaque titre pourrait voir son rendement espéré augmenter de 0.975% en modifiant la pondération de chaque titre selon le portefeuille d’arbitrage • Augmenter w1 de 0.1, • Augmenter w2 de 0.075 et • Réduire w3 de 0.175 • Le nouveau portefeuille comporterait le même risque systématique que le premier mais avec une rendement espéré plus élevé

23. Évaluation par Arbitrage • Implication : • Comment les prix des titres varieront-ils? • Puisque le portefeuille d’arbitrage suggère d’acheter les titres 1 et 2 et de vendre le titre 3, les prix des titres 1 et 2 devraient augmenter (leurs rendements espérés devraient diminuer) et le prix du titre 3 devrait baisser (son rendement espéré devrait augmenter).

24. Évaluation par Arbitrage • Implication : • Si, par exemple, l’équation d’équilibre des rendements est donnée par • Alors

25. Évaluation par Arbitrage • Modèle général cas #1: • En général, l’équation régissant les rendements de titres selon un modèle à un facteur est donnée par : • En l’absence de risque systématique (bi= 0), le rendement d’un titre devrait être égal au taux sans risque, i.e. l0 = rf, ce qui donne :

26. Évaluation par Arbitrage • Modèle général cas #2 : • Dans l’équation • l1est égal à la prime de risque d’un titre pour lequel bi= 1 puisque, dans ce cas

27. Évaluation par Arbitrage • Modèle général cas #3: • Si on laisse d1 représenter le rendement espéré d’un portefeuille pour lequel bi= 1, alors l’équation régissant les rendements espérés est donnée par

28. APT – Multi-facteurs • Supposons maintenant que le modèle de rendements considéré soit le suivant:

29. APT – Multi-facteurs • Supposons que nous ayons les quatre titres suivants et que leurs rendements soient basés sur le même modèle à deux facteurs

30. APT – Multi-facteurs • Est-il possible de former un portefeuille d’arbitrage? • Nous avons trois équations et quatre inconnues, alors nous devons fixer la valeur d’une des inconnues pour résoudre le système : w1= 0,1

31. APT – Multi-facteurs • Avec w1 = 0,1, la solution de ce système d’équations donne : w2 = 0,088 ; w3 = - 0,108 ; w4 = - 0,08 • et le rendement espéré de ce portefeuille est de • ce qui confirme la présence d’une possibilité d’arbitrage

32. APT – Multi-facteurs • Si les rendements du marché sont donnés par • alors le rendement espéré de chaque titre devrait être égal à

33. APT – Multi-facteurs • Modèle Général • Si les rendements proviennent d’une modèle à deux facteurs, l’équation des rendements espérés est donnée par • où d1 est le rendement espéré d’un portefeuille avec bi1 = 1 et bi2= 0, • et où d2 est le rendement espéré d’un portefeuille avec bi1= 0 et bi2 = 1

34. APT – Multi-facteurs • Modèle Général • Si les rendements sont tirés d’un modèle à k facteurs, alors l’équation des rendements espérés est donnée par

35. SynthèseAPT – CAPM • Si F1 représente le facteur à partir duquel l’équation de l’APT est • Alors

36. SynthèseAPT – CAPM • Si l’équation de l’APT est tirée d’un modèle à deux facteurs • Alors,

37. SynthèseAPT – CAPM • Le CAPM est un modèle d’équilibre: tous les titres doivent obéir à l’équation du CAPM si les hypothèses de départ sont respectées. • L’APT est un modèle qui part d’une équation de rendement et qui évalue chaque titre par arbitrage. • Dans un marché contenant suffisamment de titres, tous les portefeuilles bien diversifiés respecteront l’équation de l’APT. • Cependant, il est possible qu’un titre ne respecte pas l’équation de l’APT si son risque spécifique est trop grand pour que l’arbitrage de sa sur- ou sous-évaluation soit envisageable