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Der t -Test

Der t -Test. Gliederung t -Test für unabhängige Stichproben Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment: „Levels of Processing“ SPSS t -Tests für abhängige Stichproben Was sind abhängige Stichproben? Berechnung des t -Werts

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Der t -Test

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Presentation Transcript

  1. Der t-Test 07_ttest(2) 1 Gliederung • t-Test für unabhängige Stichproben • Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter • Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment: „Levels of Processing“ • SPSS • t-Tests für abhängige Stichproben • Was sind abhängige Stichproben? • Berechnung des t-Werts • Beispielrechnung: Veränderung der Einstellung zur Psychologie • SPSS • Eingruppent-Test • Berechnung des t-Werts • Beispielrechnung: IQ-Test • SPSS

  2. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 07_ttest(2) 2 Beispielrechnung 1 • Fragestellung: • Sind ältere Menschen optimistischer als jüngere Menschen? • Methode: • Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben • Zwei kleine Stichproben:5 junge Erwachsene und 5 ältere Erwachsene

  3. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 3 Hypothesen • gerichtet oder ungerichtet? • Bisherige Studien geben Hinweise auf „positives Denken“ bei älteren Erwachsen • Also: Gerichtete Hypothese! • Inhaltliche Formulierung: • „Ältere Erwachsene sind optimistischer als jüngere Erwachsene.“ • Formale Schreibweise: • H0: μalt ≤ μjung • H1: μalt > μjung

  4. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 4 Operationalisierung • Das gemessene Merkmal wird als abhängige Variable (AV) bezeichnet • In diesem Fall wird der Life Orientation Test (LOT) als AV verwendet. • Wertebereich 6 (pessimistisch) bis 30 (optimistisch) • Die AV muss intervallskaliert und normalverteilt sein. • Die Gruppenvariable wird als unabhängige Variable (UV) bezeichnet. • Die UV gibt die Gruppenzugehörigkeit an: • „jung“: 20-25 Jahre • „alt“: 60-65 Jahre • Die UV ist nominalskaliert • Es wird nun überprüft, ob die AV von der UV abhängt.

  5. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 5 Erfassung des Merkmals Mittelwerte

  6. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 6 Populationsvarianzen

  7. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 7 Standardfehler der Mittelwertsdifferenz • Was gibt der Standardfehler an? • Die Standardabweichung der resultirendenMittelwertsdifferenzen, wenn immer wieder neue Stichproben gezogen würden.

  8. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 8 Der empirische t-Wert • Hinweise • Bei einer gerichteten Hypothese sollte die Differenz immer so gebildet werden, dass der als kleiner erwartete Wert von größeren Wert subtrahiert wird. • Wenn die Hypothese zutrifft, muss der empirische t-Wert dann positiv sein. • Bei einer ungerichteten Hypothese spielt die Richtung der Subtraktion keine Rolle.

  9. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 9 Der kritische t-Wert

  10. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 10 Der kritische t-Wert • Auswahl der Spalte: • Einseitige Testung: p=.95 • Zweiseitige Testung: p=.975 • Was tun, wenn die Zeile für die erforderten Freiheitsgrade in der Tabelle fehlt? • 1. Möglichkeit: Zeile oberhalb nehmen. Das ist ein konservatives Vorgehen; der Test wird im Zweifel wird der Test weniger schnell signifikant. • 2. Möglichkeit: Interpolieren

  11. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 11 • Ergebnisse: • temp(8)=2.13 • tkrit(8)=1.86 • Fazit: • Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1 angenommen. • Es wurde also gezeigt, dass ältere Menschen optimistischer sind als jüngere. • Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine ungerichtete Hypothese formuliert worden wäre?

  12. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 07_ttest(2) 12 Beispielrechnung 2 • Fragestellung: • Beeinflusst die Verarbeitungstiefe (strukturell vs. semantisch) die Erinnerungsleistung? • Methode: • Stichprobe: Ihr Semester • Anzahl korrekt erinnerter Wörter im Free Recall Test. • Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben

  13. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 13 Hypothesen • gerichtet oder ungerichtet? • Gerichtete Hypothese: Besserer Erinnerung bei semantischer Verarbeitung • Formale Schreibweise: • H0: μsem ≤ μstruk • H1: μsem > μstruk

  14. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 14 Operationalisierung • Abhängige Variable (AV) • Anzahl korrekt erinnerter Wörter minus Anzahl falsch erinnerter Wörter • Unabhängige Variable (UV) • semantische Verarbeitung: Bildhaftigkeit beurteilen • strukturelle Verarbeitung: Vokale zählen

  15. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 15 Erfassung des Merkmals

  16. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 16 Standardfehler der Mittelwertsdifferenz

  17. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 17 Der empirische t-Wert

  18. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 18 Der kritische t-Wert

  19. t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 • Formulierung der Hypothesen • Operationalisierung • Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben • Berechnung der Mit-telwerte • Schätzung der Populations-varianzen • Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz • Berechnung des empirischen t-Werts • Bestimmung des kritischen t-Werts • Entscheidung überH0und H1 07_ttest(2) 19 • Ergebnisse: • temp(47) = 5.22 • tkrit(47) = 1.68 • Fazit: • Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1 angenommen. • Es wurde also gezeigt, dass die semantische Verarbeitung die Erinnerungsleistung steigert • Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine ungerichtete Hypothese formuliert worden wäre?

  20. SPSS Datensatz Der t-Test für unabhängige Stichproben in SPSS 07_ttest(2) 20

  21. SPSS Befehl Menu-Befehl: • Analysieren • Mittelwerte vergleichen • T-Test bei unabhängigenStichproben 07_ttest(2) 21

  22. SPSS Befehl 07_ttest(2) 22 Menu-Befehl: • Testvariable (AV) aus-wählen • Gruppenvariable (UV)auswählen • Gruppen definieren • OK

  23. SPSS Befehl testgroups Gruppe (1,2) /varlot. 07_ttest(2) 23 Syntax-Befehl: Befehl: testgroups UV: Gruppe AV: lot

  24. SPSS Ausgabe Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken für beide Gruppen ausgegeben. 07_ttest(2) 24

  25. SPSS Ausgabe 07_ttest(2) 25 • Es wird immer die Voraussetzung der Varianzhomogenität überprüft (Levene-Test) • H0: Varianzen sind gleich • H1: Varianzen sind unterschiedlich • Bei Signifikanz wird die errechnete Wahrscheinlichkeit angezeigt • Es gilt: bei p<.05 wird die H0 verworfen

  26. SPSS Ausgabe 07_ttest(2) 26 Wenn der LeveneTest nicht signifikant ist (p≥.05), wird das Ergebnis des t-Tests aus der obere Zeile abgelesen. Bei einem signifikanten Ergebnis (p<.05) wird die untere Zeile verwendet. Hier wird der Test „korrigiert“

  27. SPSS Ausgabe p/2 1-p p/2 -temp temp 07_ttest(2) 27 Die Spalte „T“ zeigt den empirischen t-Wert Ein kritischer t-Wert wird nicht angezeigt. Stattdessen wird (bei Sig. (2-seitig)) exakt angegeben, wie viel Prozent der t-Verteilung außerhalb des empirischen t-Werts liegen.

  28. SPSS Ausgabe p/2 1-p p/2 -temp temp 07_ttest(2) 28 • Beim 2-seitigen Test (ungerichtete H1) gilt: • Wenn p≤.05 (bzw. p<α), ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen • Wenn p>.05 (bzw. p>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird beibehalten. • Beim 1-seitigen Test (gerichtete H1) muss p umgerechnet werden: • Da nur noch die rechte Fläche interessiert, die Ergebnis-Wahrscheinlichkeit nun p/2

  29. SPSS Ausgabe 07_ttest(2) 29 • Daher gilt beim 1-seitigen Test: • Wenn p≤.10 (bzw. p/2 < α) und die Mittelwertsdifferenz in die erwartete Richtung weist, ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen • Wenn p>.10 (bzw. p/2>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird beibehalten. • Weil wir eine gerichtete Hypothese hatten, ist das vorliegende Ergebnis also signifikant. • Bei zweiseitiger Testung wäre es nicht signifikant.

  30. SPSS Ausgabe 07_ttest(2) 30 Beispiel: Gedächtnisleistung bei semantischer vs. struktureller Verarbeitung

  31. SPSS Ausgabe 07_ttest(2) 31 Beispiel: Gedächtnisleistung bei bildhafter vs. emotionaler Verarbeitung

  32. Abhängige Stichproben Der t-Test für abhängige Stichproben • Stichproben werden als abhängig bezeichnet, wenn die Ziehung eines Merkmalsträgers in die erste Stichprobe die Zugehörigkeit eines Merkmalsträgers zur zweiten Stichprobe beeinflusst. • Bei abhängigen Stichproben sind die Werte zweier Stichproben sich einander paarweise zugeordnet. • Bei abhängigen Stichproben sind beide Teilstichproben immer gleich groß! • Abhängige Stichproben ergeben sich durch Messwiederholung oder Parallelisierung bzw. Matching. 07_ttest(2) 32

  33. Abhängige Stichproben • Messwiederholung liegt dann vor, wenn das gleiche Merkmal zweimal (oder mehrmals) bei den gleichen Personen erhoben wird. • Beispiele • Vergleich der Gedächtnisleistung in zwei Lernbedingungen • Bestimmung der psychischen Gesundheit vor und nach einer Therapie • Bestimmung der Kommunikationsfähigkeit vor und nach einem Training. 07_ttest(2) 33

  34. Abhängige Stichproben • BeimMatching wird jeder Person der Stichprobe 1 einer Person der Stichprobe 2 zugeordnet. • Beispiele • Vergleich der Persönlichkeit von Ehepartnern • Vergleich der Schulleistung von älteren vs. jüngeren Geschwistern. • Vergleich der Arbeitszufriedenheit zwischen zwei Abteilungen • Bei der Parallelisierung werden Jeweils 2 Personen, die sich ähnlich sind einander zugeordnet. • Warum parallelisiert man Stichproben? • Ein Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Power (Teststärke), d.h. es ist wahrscheinlicher, dass ein bestehender Unterschied nachgewiesen werden kann! • Dies gilt aber nur, wenn die Paare wirklich jeweils ähnliche Werte aufweisen 07_ttest(2) 34

  35. Abhängige Stichproben Beispielrechnung: Verändert sich die Einstellung zum Studienfach Psychologie innerhalb der ersten 6 Wochen des Studiums? AV: Einstellung zum Studium Psychologie (Wertebereich 5 bis 25) UV: Messzeitpunkt (1. Woche vs. 6. Woche) 07_ttest(2) 35

  36. Abhängige Stichproben Für jede Person kann die Differenz der Messwerte berechnet werden (Einstellungsänderung) 07_ttest(2) 36

  37. Hypothesen • Die statistischen Hypothesen des t-Test für abhängige Stichproben beziehen sich auf den Mittelwert der Differenzen aller Personen • Vorteil: Es ist nun unerheblich, ob innerhalb der Messzeitpunkte große Varianz gegeben ist. • Ungerichtete Hypothese: • H0: μd = 0 • H1: μd ≠ 0 • Gerichtet Hypothese (1): • H0: μd ≤ 0 • H1: μd > 0 • Gerichtet Hypothese (2): • H0: μd ≥ 0 • H1: μd < 0 07_ttest(2) 37

  38. Standardfehler und t-Wert Um die empirisch gefundene Differenz beurteilen zu können, wird der Standardfehler benötigt Mit dem Standardfehler kann nun ein empirischer t-Wert berechnet werden: 07_ttest(2) 38

  39. Standardfehler und t-Wert Im Beispieldatensatz: • Es ergibt sich : 07_ttest(2) 39

  40. Kritischer t-Wert & Interpretation • temp(59) = 1.89 • tkrit(59) = ? • Offene Fragestellung zweiseitiger Test • α = .05 • Interpretation: • temp< tkrit • Also: Kein bedeutsamerUnterschied! 07_ttest(2) 40

  41. SPSS Datensatz Beim t-Test für abhängige Stich- probengibt es 2 abhängige Variablen (psycho1 und psycho2). In jeder Zeile MÜSSEN die Werte der selben VP stehen! Dafür habe ich den Code auf den Fragebögen verwendet 07_ttest(2) 41

  42. SPSS Befehl Menu-Befehl: • Analysieren • Mittelwerte vergleichen • T-Test bei verbundenenStichproben 07_ttest(2) 42

  43. SPSS Befehl 07_ttest(2) 43 Menu-Befehl: • Beide AVs aus-wählen • Als Variablenpaaranwählen • OK

  44. SPSS Befehl testpaired psycho1 with psycho2. 07_ttest(2) 44 Syntax-Befehl: Befehl: testpaired AVs: psycho1 und psycho2

  45. SPSS Ausgabe Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken für beide Variablen ausgegeben. Die Tabelle zu den Korrelationen können Sie zunächst ignorieren 07_ttest(2) 45

  46. SPSS Ausgabe 07_ttest(2) 46 • Die dritte Tabelle enthält das Testergebnis: • Bei 2-seitigen Tests gilt: • Wenn p≤α wird die H0 verworfen • Wenn p>α wird die H0 beibehalten • Bei 1-seitigen Tests gilt: • Wenn p/2 ≤ αwird die H0 verworfen • Wenn p/2 >α wird die H0beibehalten

  47. Eingruppent-Test Der Eingruppe t-Test • Ziel: Vergleich des Mittelwerts einer Stichprobe mit einem vorgegebenen (konstanten) Wert. • Beispiele: • Es wir überprüft, ob eine bestimmte Personengruppe sich in ihrer Intelligenz vom Populationsmittelwert (100) unterscheidet. • Es wird überprüft, ob sich die tatsächliche Studiendauer von der Regelstudienzeit unterscheidet. • Es wird überprüft, ob sich die Differenz von Reaktionszeiten in zwei Bedingungen von Null unterscheidet. 07_ttest(2) 47

  48. Eingruppent-Test Voraussetzungen Normalverteilung des Merkmals Intervalskalenniveaudes Merkmals Es handelt sich um eine Zufallsstichprobe 07_ttest(2) 48

  49. Eingruppent-Test Statistische Hypothesen • Ungerichtete Hypothese: • H0: μ = c • H1: μ ≠ c • Gerichtet Hypothese (1): • H0: μ ≤ c • H1: μ > c • Gerichtet Hypothese (2): • H0: μ ≥ c • H1: μ < c 07_ttest(2) 49

  50. Standardfehler und t-Wert Berechnung des Standardfehlers Berechnung des t-Werts 07_ttest(2) 50

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