540 likes | 775 Views
Hoofdstuk 6. Gegevensvoorstelling en berekeningen. Inhoud. Talstelsels Getallen in een Computer Natuurlijke getallen Gehele getallen Gebroken getallen Vaste komma getallen Bewegende komma getallen Andere gegevens (letters, …). r -tallig talstelsel. r = grondtal (= vast)
E N D
Hoofdstuk 6 Gegevensvoorstellingen berekeningen
Inhoud • Talstelsels • Getallen in een Computer • Natuurlijke getallen • Gehele getallen • Gebroken getallen • Vaste komma getallen • Bewegende komma getallen • Andere gegevens (letters, …)
r-tallig talstelsel • r = grondtal (= vast) • Elk cijfer: gewicht in functie van de positie • Zij ci { 0, 1, …, r-1 } Voorstelling = cn-1cn-2 … c1c0 gewicht cn-1rn-1+cn-2rn-2+ … +c1r1+c0r0
Voorbeelden • Decimaal r = 10, c {0, 1, …, 9} 1235 • Binair r = 2, c {0, 1} 10011010011 • Octaal r = 8, c {0, 1, …, 7} 2323 • Hexadecimaal r = 16, c {0, ..., 9, A, …, F} 4D3 MO: voorstellingen, zelfde getal!
Getallen in een Computer • Eindigaantal cijfers: • Ligt vast • Soms # verschillende formaten (bijv. 16-bit en 32-bit getallen) • Gevolgen: • Niet alle getallen kunnen voorgesteld worden • Eigenschappen uit getallenleer gelden soms niet • Gesloten t.o.v. +, -, × • Associativiteit, distributiviteit gelden soms niet
Getallen in de Computer • Bijv. stel 3 decimale cijfers (alleen pos.) • Alleen getallen uit {0, 1, …, 999 } • Niet gesloten t.o.v. som / vermenigvuldiging590 + 5301120 (= 4 cijfers! OVERLOOP) • Associativiteit?400 + (800 - 300)(400 + 800) - 300 • Distributiviteit? 005 × (300 - 200)(005 × 300) - (005 × 200)
Natuurlijke getallen • Omzetting Binair Decimaal • Omzetting Binair Octaal/Hexadecimaal • BCD voorstelling • Binairrekenen • optelling • aftrekking (zie ook gehele getallen) • vermenigvuldiging • deling
Omzetting Decimaal Binair 746 0 373 1 186 0 93 1 46 0 23 1 11 1 5 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0
× 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Omzetting Binair Decimaal 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 2 4 10 22 46 92 186 372 746 1 2 5 11 23 46 93 186 373 746 + + + + + + + + +
Omzetting van/naar Octaal/Hexadecimaal 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 3 5 2 (oct.) 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 2 E A (hex.)
Binary Coded Decimal (BCD) • = decimale voorstelling, cijfers binair • 4 bits per cijfer • vb. 1586 0001010110000110 • Complexe rekenregels ...
Aantal Cijfers • n decimale cijfers • b bits 10n-1 x < 10n en 2b-1 x < 2b dus 10n 2b bijgevolg b log2 10n = n log2 10 = 3,3 n • n dec. cijfers 3,3 n bits 1,11 n oct. 0,83 n hex. • bijv. 300 dec. cijfers 1000 bits
OPT HOPT Optellen van binaire getallen 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 + 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1
HOPT OPT OPT OPT OPT Optelschakeling (parallel) Xn -1 Xn -2 X2 X1 X0 Yn -1 Yn -2 Y2 Y1 Y0 Overloop! Sn-1 Sn -2 S2 S1 S0
HAFT AFT AFT AFT AFT Verschilschakeling (parallel) Xn -1 Xn -2 X2 X1 X0 Yn -1 Yn -2 Y2 Y1 Y0 Fout! Vn-1 Vn -2 V2 V1 V0
X of 0! Vermenigvuldigen 0 × 0 = 0 0 × 1 = 0 1 × 0 = 0 1 × 1 = 1 . 11011 (X) 27 × 01101 (Y) 13 11011 81 00000 27 11011 351 11011 00000 101011111 (XY)
An-1 Qn-1 Xn-1 ... ... ... A0 Q0 X0 Algoritme X Y Q0 = 1 N bit opteller T T 0, A 00…0, Q YN keer: (a) Q0 = 1: (T,A) A + X (b) verschuif T, A, Q = verschuif naar rechts
Gehele Binaire Getallen • n bit-getallen • 0000…000 t.e.m. 1111…111 n bits n bits • Natuurlijke getallen: [0, 2n- 1] • Gehele getallen: • ½ stellen positieve getallen voor • ½ stellen negatieve getallen voor
Gehele Binaire Getallen • Verschillende wijzen van opdelen: • Voorteken • 1-complement • 2-complement • Plus 2n-1 notatie (verhoogde notatie)
Voorteken • Bijv. n = 8 00001101 (= +13) 10001101 (= -13) 01111111 (= +127) 11111111 (= -127) 00000000 (= +0) 10000000 (= -0)
Voorteken • Getallenbereik: [-(2n-1-1) ... -1, -0, +0, +1, … +(2n-1-1)] • Symmetrisch bereik • -0 =?= +0 • Rekenregels Complex (+, -) X = Xn-1Xn-2 … X1 X met Xn-1 = tekenbit Gevraagd: Z := X + Y
Voorteken: Optelling { Z = X + Y } if ( Xn-1== Yn-1 ) /* Xn-1, Yn-1= tekenbit */ { Zn-1= Xn-1; Zn-2..0 = Xn-2..0 + Yn-2..0 } else { if (Xn-2..0> Yn-2..0 ) { Zn-1=Xn-1; Zn-2..0 = Xn-2..0 - Yn-2..0 } else { Zn-1=Yn-1; Zn-2..0 = Yn-2..0 - Xn-2..0 } }
2-Complement • Positief: 1e bit = 0, overige zie natuurlijke getallen • Negatief: 2n- | X | -1 2n- 1 = 111…111 -2 2n- 2 = 111…110 -2n-1 2n-2n-1 = 2n-1 = 100…000
Bijv. n = 8 00000000 (= +0) 00000001 (= +1)… 00001101 (= +13) … 01111111 (= +127) 10000000 (= -128) 10000001 (= -127)… 10001101 (= -115) … 11111111 (= -1) 2-Complement
2-Complement • Getallenbereik [-2n-1, -(2n-1-1) ... -1, +0, +1, … +(2n-1-1)] • Asymmetrisch bereik! • 0 heeft slechts 1 voorstelling • Rekenregels eenvoudig! • Omrekenformule:X = Xn-1(-2n-1) + Xn-22n-2 + … + X0
Bewerkingen met 2-complement • Inverteren • Som • Verschil X - Y = X + (-Y) • Product • Aanpassing van woordlengte
EOF HOPT OPT OPT OPT OPT Optelling Xn Xn -1 X2 X1 X0 Yn Yn -1 Y2 Y1 Y0 Sn Sn -1 S2 S1 S0 Overloop (indien 1)
1-Complement • Positief: 1e bit = 0, overige zie natuurlijke getallen • Negatief: 2n- 1 - | X| • Getallenbereik [-(2n-1-1) ... -1, -0, +0, +1, … +(2n-1-1)] • Verouderd (niet meer gebruikt)
000…000 000…001 000…010 000…011 … 011…110 011…111 100…000 100…001 100…010 100…011 … 111…110 111…111 Plus 2n-1 Notatie - 2n-1 - 2n-1 + 1 - 2n-1 + 2 - 2n-1 + 3 - 2 - 1 0 1 2 3 2n-1 - 2 2n-1 - 1
Plus 2n-1 • Getallenbereik [-2n-1, -(2n-1-1) ... -1, +0, +1, … +(2n-1-1)] • Asymmetrisch bereik! • 0 heeft slechts 1 voorstelling • = 2-complement met omgekeerde tekenbit • Voordeel: positief getal > negatief getal
Gebroken getallen • Gewichten met negatieve exponent Voorstelling =ck … c1c0 .c-1 c-2 … c-m ck rk+ … +c1r1+c0r0+ c-1 r-1+ c-2 r-2+ … +c-mr-m
Gebroken Getallen • Omzetting Decimaal Binair • Omzetting Binair Decimaal • Gebroken getallen in de computer • Vaste Komma Voorstelling • Bewegende Komma Voorstelling
Vaste komma voorstelling • Komma op vaste plaats “verondersteld” • Bijvoorbeeld : 01101110 “.” na 5de bit 01101.110(13.75) “.” na 3de bit 011.01110(3.4375)
... ... ... ... ... ... Vaste komma voorstelling • n-bit voorstelling: 2n mogelijke getallen • per bit extra na “.”: • bereik gehalveerd • nauwkeurigheid verdubbeld bereik 0
Vaste komma voorstelling • Bewerkingen • Som/Verschil “.” aligneren • Product/Quotiënt
Vaste komma voorstelling • Alleen als bereik van getallen gekend • Anders, snel overloop! • Vandaar: bewegende komma voorstelling
Bewegende komma voorstelling • Het Principe • Bewegende komma voorstelling • Bewerkingen • Optelling • Vermenigvuldiging
Bewegende komma voorstelling • Zeer kleine getallen zeer grote getallen • Gebaseerd op “wetenschappelijke” notatie • X = ± m × 10e m = mantisse (fractie) e = exponent • Voorbeelden: 3.14 = 3.14 × 100 = 0.314 × 101 0.00001 = 1.0 × 10-5 = 0.1 × 10-4 1999 = 1.999 × 103 = 0.1999 × 104
Voorstelbare getallen Voorstelbare getallen Negatieveoverloop Positieveoverloop Onderloop 0 -10100 -10-100 0 +10-100 +10100 Reële getallen • Grote negatieve getallen < -0.999 × 1099 • Negatieve getallen tussen -0.999 × 1099 en -0.100 × 10-99 • Kleine negatieve getallen tussen -0.100 × 10-99 en 0 • Nul (0) • Kleine positieve getallen tussen 0 en +0.100 × 10-99 • Positieve getallen tussen +0.100 × 10-99 en +0.999 × 1099 • Grote positieve getallen > +0.999 × 1099
Voorstelbare getallen Voorstelbare getallen Negatieveoverloop Positieveoverloop Onderloop 0 -10100 -10-100 0 +10-100 +10100 Niet alle getallen! ... ... 0.001 × 10-99 0.001 × 1099 Reële getallen Relatieve afstand constant
Bewegende komma voorstelling • Algemeen X = ± mbe ±m = mantisse b = basis (= vast) = 2 (2, 4, 8, 16, …) e = exponent • Bewegende komma voorstelling: (±, m, e)
IEEE Voorstel • Enkelvoudige nauwkeurigheid • Dubbele nauwkeurigheid t exp (8 bits) mantisse (23 bits) Basis = 2, + 127 notatie t exp (11 bits) mantisse (52 bits) Basis = 2, + 1023 notatie
Bewerkingen met BKV • Niet rechtstreeks met voorstelling rekenen • Vooraf opsplitsen, na bewerking: samenvoegen • Bewerkingen: • in SW • door Processor of Co-Processor • Voorbeelden in decimaal talstelsel (DRAMA) • Som • Product • Verschil • Quotiënt
Alfanumerieke Informatie • Symbolen (letters, tekens, …) • Voorstellen d.m.v. een code • n bit code max. 2n symbolen • Gestandardiseerde codes: • ASCII • EBCDIC • UNICODE
ASCII • American Standard Code forInformation Interchange • 7-bit code • Speciale tekens, hoofdletters, kleine letters, leestekens, enkele wiskundige tekens Hex Teken Hex Teken Hex Teken 30 0 40 @ 60 .31 1 41 A 61 a32 2 42 B 62 b...