ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3f (ultima modifica 2210/2012)

1. ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3f(ultima modifica 2210/2012) Metodi numerici per la soluzione dei problemi vincolati al contorno I problemi vincolati al contorno possono essere risolti analiticamente ottenendo soluzioni esatte, quando la frontiera del dominio in esame e la distribuzione delle sorgenti sono semplici. Nei casi in cui la frontiera del dominio e la distribuzione delle sorgenti è complessa, tali problemi possono essere risolti in modo approssimato mediante metodi numerici. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

2. Le principali tecniche impiegate per questo scopo sono: il metodo delle differenze finite e il metodo degli elementi finiti. In entrambi i metodi il dominio è suddiviso (discrettizzato) in sottodomini di forma semplice all’equazione differenziale alle derivate parziali ( es.: equazione di Laplace) si sostituisce -un sistema di equazioni algebriche lineari(se il materiale è lineare***) o -un sistema di equazioni algebriche non lineari (materiale non lineare), che legano i valori che la funzione incognita assume nei nodi dei sottodomini considerati. *** Esempio: In elettrostatica il materiale è lineare se il rapporto tra l’intensità della polarizzazione o vettore spostamento e quella del campo elettrico applicato è indipendente dall’ampiezza del campo elettrico, ossia: Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

3. Il probema integro-differenziale in esame è dunque ricondotto ad un problema algebrico. Le relazioni algebriche così definite, forniscono una rappresentazione tanto più accurata della funzione incognita quanto più spinta è la discretizzazione fatta, cioè quanto maggiore è il numero dei nodi. Inoltre la precisione dei risultati dipende anche dal tipo, dalla forma e dall’ordine dell’elemento usato. Lo sviluppo dei metodi numerici è stato, ed è favorito dalla crescita rapidissima della “potenzialità di calcolo dei computer, largamente diffusi. Sono di seguito esposte i principi su cui sono basati i 2 metodi citati e le linee guida fondamentali per l’utilizzo, con riferimento alla soluzione di problemi in 2D. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

4. y B A  o  x Metodo alle differenze finite Si consideri nella regione piana , limitata dalla curva  la funzione φ che in  soddisfa all’equazione di Laplace: e che su  assume valori assegnati. In tale regione è tracciato un reticolo a maglie quadrate di lato h piccolo rispetto alle dimensioni della regione stessa: Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

5. B  A  2 2 h  h h h 3 1 3 1 B A h h h h a) b) 4 4 Nel reticolo si possono individuare: nodi interni, equidistanti dai nodi adiacenti (nodo A, centro di una stella simmetrica) e nodi esterni (nodo B centro stella dissimmetrica) Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

6. Il valore di una funzione di campo generica in ciascuno dei nodi 1, 2, 3, e 4 (vertici di una stella di centro O) può essere espresso in funzione del suo andamento nel nodo O, in base allo sviluppo della funzione  (x,y) in serie di Taylor nell’intorno del punto O stesso. dove le derivate sono calcolate nel punto O di coordinate x0 e y0 . Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

7. 2 h 3  h 1 B h b) h 4 Lo sviluppo della relazione precedente fornisce per la funzione  nei punti 1 e 3 della figura b) le seguenti espressioni***: *** per i punti 1 e 2 compaiono solo i termini in x e per i punti 2 e 4 compaiono solo i termini in y Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

8. Moltiplicando l’ultima relazione per  e sommandola a quella immediatamente precedente si ha in funzione di x: Una analoga relazione si ottiene per i punti 2 e 4 in funzione di y: Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

9. Se si trascurano i termini di ordine superiore, si ottiene la seguente espressione approssimata per il laplaciano della funzione , calcolata nel punto 0: Scegliendo il valore di h opportunamente piccolo, l’errore di troncamento, che si commette assumendo quest’ultima relazione può essere mantenuto entro limiti accettabili. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

10. Il metodo delle differenze finite consiste nel sostituire in ciascun nodo del reticolo, all’espressione differenziale del laplaciano, l’espressione approssimata che lega linearmente il laplaciano in un punto 0 e i valori di  nei nodi adiacenti del reticolo che si è impostato. In tal modo l’equazione di Laplace alle derivate parziali viene sostituita da un sistema di equazioni algebriche lineari dette equazioni alle differenze finite, una per ogni nodo del tipo: dove ij indica il valore di  nel nodo posto all’incrocio della riga i-esima e della colonna j-esima del reticolo per i nodi che sono centri di stelle. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

11. In particolare per i nodi centri di stelle simmetriche risulta =  = h e l’equazione si semplifica ulteriormante, riducendosi a: Occorre introdurre nell’equazioni le condizioni al contorno del problema in esame. Nel caso del problema di Dirichlet, risultano assegnati i valori di  in uno o più vertici di ciascuna stella di confine. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

12. Il sistema di equazioni algebriche che consente la determinazione delle  negli n nodi del reticolo assume la forma: e con notazione matriciale: dove [B] è il vettore colonna dei termini noti. In ciascuna delle equazioni i termini noti diversi da zero sono quelli che dipendono dai valori assegnati di  sul contorno. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

13. Per il problema di Neumann e per il problema misto l’equazione precedente non può essere impiegata per le stelle che hanno vertici sulla parte del contorno in cui è assegnato il valore di . La soluzione del problema diventa complicata, tranne nel caso in cui il contorno sul quale è specificato il valore disia rettilineo. Si dimostra che il sistema risolvente anche in questo caso è dello stesso tipo. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

14. Il metodo degli elementi finiti (FEM), come il metodo alle differenze finite, è una tecnica numerica finalizzata a cercare soluzioni approssimate di problemi descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali riducendo queste ultime ad un sistema di equazioni algebriche. Con questa metodologia è possibile risolvere problemi i cui modelli analitici descritti con un sistema di equazioni alle derivate non presentano una soluzione. Metodo degli elementi finiti (ultima modifica 21/10/2011) Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

15. Il grande vantaggio di questa tecnica computazionale consiste nel fatto che l'implementazione in un codice di algoritmi iterativi, relativamente semplici, consente di: • disporre di soluzioni, praticamente "esatte“, ossia con una approssimazione accettabile, di problemi molto complessi, altrimenti non ottenibili per altra via, • con tempi di calcolo sensibilmente ridotti. Metodo degli elementi finiti Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

16. Il Metodo degli Elementi Finiti è dunque una tecnica di Analisi Numerica volta ad ottenere soluzioni approssimate per una molteplicità di problemi di Fisica e di Ingegneria. Benché originariamente sviluppato per studiare il campo tensionale nelle strutture aeronautiche, è stato poi esteso ed applicato al vasto campo della Meccanica dei Continui e a tutti i problemi che presentano analogie formali nei modelli analitici. Per la sua varietà di impiego e duttilità quale strumento di analisi è attualmente utilizzato nelle Università e nelle Industrie in tutto il mondo, grazie anche allo sviluppo dei software commerciali, come Ansys, FEM, Maxwell, COMSOL e altri. Metodo degli elementi finiti Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

17. Il metododeglielementi finiti trova origini nelle necessità di risoluzione di problemi complessi di analisi elastica e strutturale e nel campo dell’ingegneria civile e aeronautica. • I primordi del metodo possono essere fatti risalire • agli anni 1930-1935 con i lavori di A. R. Collar e W. J. Duncan, che introducono una forma primitiva di elemento strutturale nella risoluzione di un problema di aeroelastica, e • agli anni 1940-41 con i lavori di Alexander Hrennikoff e Richerd Courant, dove entrambi, benché in differenti approcci, condividevano l'idea di suddividere il dominio del problema in sottodomini di forma semplice (gli elementi finiti). Metodo degli elementi finiti Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

18. Il metodo degli elementi finiti • Quindi il metodo degli elementi finiti (FEM) ha origine nel campo strutturale-meccanico a partire dal secondo dopoguerra; solo successivamente si e` avuta l’estensione alla soluzione di problemi di campo di tipo termico. • L’applicazione ai problemi di tipo elettromagnetico incomincia, invece, a partire dagli anni ‘70 e solo per le geometrie bidimensionali. • Nel corso degli anni ’80, con l’aumento della potenza di calcolo e della memoria dei calcolatori elettronici, si sono implementate anche formulazioni tridimensionali in termini di potenziale scalare elettrico e potenziale vettore magnetico. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

19. Il metodo degli elementi finiti Oggigiorno, considerata la complessità delle forme dei sistemi elettromagnetici, il metodo degli elementi finiti è diventato uno strumento di calcolo indispensabile per la progettazione di dispositivi elettrici e magnetici in diverse aree, come: • Problemi con guide d’onda • Macchine elettriche • Dispositivi con semiconduttori • Microstrips • Assorbimento di radiazioni elettromagnetiche nei materiali e nei corpi biologici. • Plasma sottoposto a campi elettromagnetici Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

20. Il metodo degli elementi finiti Il Metodo agli Elementi Finiti fornisce una soluzione approssimata di equazioni differenziali alle derivate parziali di Laplace o, equazioni differenziali alle derivate parziali di Poisson: Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

21. Uno dei concetti base su cui si fonda il metodo di analisi strutturale agli elementi finiti è quello della discretizzazione del dominio continuo di partenza in un dominio discreto (mesh) mediante l'uso di primitive (elementi finiti) di semplice forma: • triangoli, rettangoli e quadrilaterietc.. per domini 2D, • tetraedi, esaedrie etc.. per domini 3D. Metodo degli elementi finiti Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

22. Attraverso la discretizzazione è possibile descrivere una struttura con un numero finito di punti. Un modo per discretizzare una struttura è quello di dividerla in un sistema equivalente di strutture più piccole, o unità, o forme elementari, tali che il loro assemblaggio dia luogo alla struttura reale. Su ciascun elemento caratterizzato da questa forma elementare, la soluzione del problema è espressa dalla combinazione lineare di funzioni dette funzioni di base o funzioni di forma (shape functions). Metodo degli elementi finiti Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

23. Da notare che la funzione soluzione viene approssimata, e non necessariamente i valori che essa assume nei nodi del reticolo saranno i valori esatti della funzione. I valori che la funzione assume nei nodi sono quelli che forniranno il minor errore su tutta la soluzione. L'esempio tipico è quello che fa riferimento a funzioni polinomiali, sicché la soluzione complessiva del problema viene approssimata con una funzione polinomiale a tratti. Il numero di coefficienti che identifica la soluzione su ogni elemento è dunque legato al grado del polinomio scelto. Questo, a sua volta, governa l'accuratezza della soluzione numerica trovata. Metodo degli elementi finiti Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

24. Metodo degli elementi finiti Il metodo FEM consente di ottenere le equazioni algebriche con i potenziali incogniti, imponendo che: un funzionale sia minimo. Esso si basa sulla possibilità di formulare in forma variazionale il problema della determinazione, in un volume o dominio Vol delimitato da una superficie o contorno superficiale , della funzione continua  che soddisfa alle seguenti proprietà: 1) inVol : div(k grad)=2 = -, dove k e  sono funzioni scalari generalmente continue assegnate in V; 2) in  :  assegnata su una parte   di ; assegnata sulla parte restante * di . Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

25. Metodo degli elementi finiti Per esempio nel caso di un campo elettrostatico la relazione definibile nella regione spaziale (volume Vol) delimitata dalla superficie  , in cui è presente il campo, per la quale vale la relazione: div(k grad )=2 = - èl’equazione di Poisson; essendo =V potenziale scalare elettrostatico definita in ρ= χè la densità di carica volumica definita nel Vol ε= k è la costante dielettrica definita nel Vol Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

26. Metodo agli Elementi Finiti o FEM: • Il dominio racchiuso da un contorno vincolato, viene suddiviso in aree triangolari (o anche di altra forma più idonea per il perfetto ricoprimento della regione spaziale in esame), che possono avere dimensioni diverse, e • non è necessario che le caratteristiche costitutive del materiale (permettività, resistività, permeabilità) siano omogenee per tutti gli elementi. VINCOLO DA RISPETTARE • i potenziali in tutti i vertici, nei quali non sia già stato assegnato il loro valore, vengono determinati, con approssimazione, imponendo il vincolo basato sul principio variazionale Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

27. Infatti il FEM ( Finite Element Method) si basa su un principio variazionale secondo il quale in un sistema isolato le configurazioni di equilibrio sono quelle e solo quelle per le quali e`minima l’energia immagazzinata, ossia deve essere minima l’espressione: • Tale punto di minimo della energia immagazzinata viene identificato attraverso l’annullamento del differenziale dell’energia potenziale associata a quel campo (principio dei lavori virtuali): dW=0. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

28. In questo modo, e` possibile sostituire il problema della risoluzione di un sistema di equazioni differenziali allederivate parziali, con il problema equivalente della determinazione del minimo di un integrale espresso da con una equazione algebrica. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

29. Per soddisfare il principio variazionale, la distribuzione del campo potenziale V in una regione spaziale di volume , deve essere tale da rendere minima l’energia immagazzinata in esso: Tale energia per ciascun elemento della discretizzazione, nella ipotesi di volumetto τecostituito da un prisma retto triangolare di altezza unitaria (per ricondurre lo studio a 2D), con S l’area di una delle basi, essendo , è esprimibile in funzione del potenziale scalare V come: Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

30. V(x,y) x y Dominio Contorno τe S Fig. 5 Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

31. ESEMPIO DI APPLICAZIONE Applicazione e sviluppo del metodo FEM facendo le seguenti ipotesi: • geometria piana: 2-D, • mezzo lineare, omogeneo ed isotropo, • elementi triangolari, • equazione di Poisson del campo elettrico (anche con gli altri campi ci si riconduce, comunque, a formulazioni simili). Con le ipotesi fatte la equazione di Poisson può essere scritta come: Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

32. L’idea che sta alla base dell’approssimazione usata nel metodo è quella di approssimare l’andamento della funzione incognita con quello di alcune funzioni particolari ad andamento noto generalmente polinomiali, ma anche funzioni trigonometriche ed esponenziali. Vengono presi in considerazione un numero di punti (nodi), interni al dominio di integrazione, nei quali i valori della funzione f approssimata risulteranno identici a quelli della funzione approssimante polinomiale P(x)(teorema di Weierstrass). Per esempio in un sistema lineare se f è definita nel dominio [a,b], in tale intervallo fissato un  > 0, deve essere: |f-P(x)|<  dove l’approssimazione  varia con l’ordine del polinomio. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

33. Una volta suddiviso il dominio di integrazione in elementi (che per adattarsi a un ricoprimento completo del dominio, possono essere non regolari), si procede ad approssimare la funzione incognita con delle funzioni ad andamento noto, scegliendo come incognite del problema trattato solo i valori che la funzione assume nei nodi. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

34. L’approssimazione del metodo dipende: dal grado del polinomio e dal numero dei nodi ossia dalle dimensioni dell’intervallo di suddivisione. Il numero dei nodi deve aumentare soprattutto nelle regioni in cui le grandezze del campo presentano forti gradienti. In tali regioni, per applicare il metodo con la precisione richiesta, potrebbe essere necessario infittire i nodi solo in alcune regioni del dominio. Il FEM consente di adattare opportunamente il numero dei nodi per le diverse regioni del dominio. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

35. L’applicazione del metodo degli elementi finiti prevede i seguenti passi: • 1) Discretizzare il dominio di applicazione dell’equazione di Poisson in un numero finito di elementi, • 2) Definire le equazioni che governano un elemento generico, • 3) Assemblare tutti gli elementi del dominio in studio, • 4) Risolvere il sistema di equazioni lineari ottenute dall’applicazione del principio variazionale, imponendo la condizione di energia minima immagazzinata, equivalente alla condizione di equilibrio del sistema. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

36. La modellazione della struttura costituisce uno dei passi più importanti dell’analisi in quanto in questa fase vengono formulate diverse ipotesi che permettono la semplificazione del modello reale e consentono la riduzione del gran numero di dati da gestire. I risultati saranno influenzati da queste assunzioni che comunque una volta definite, permetteranno una corretta interpretazioni dei valori numerici. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

37. 1) Discretizzazione della regione • Consiste nel suddividere il dominio di definizione del problema in un numero finito di elementi, ciascuno avente la stessa forma (nel nostro caso triangolare) e in modo che i lati di due elementi adiacenti siano coincidenti, come in fig. 3. Fig. 3 Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

38. Ciascun elemento è caratterizzato da un certo numero di punti disposti in posizioni prestabilite, che possono essere: • i vertici dell’elemento; • i centri dei suoi lati; • i centroidi della sua superficie e che sono chiamati nodi. Per illustrare il metodo degli elementi finiti considereremo elementi triangolari con i nodi ai vertici (fig. 4). Fig. 4 nodi Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

39. Condizioni da verificare e assumere come vincoli Si considera, poi, un’approssimazione del potenziale Ve(x,y) all’interno di ciascun elemento e si interelaziona la distribuzione di potenziale nei vari elementi in modo tale che : • il potenziale sia continuo attraverso il confine tra elementi adiacenti e • tale da soddisfare il principio variazionale. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

40. In questo modo allora e` possibile scrivere la relazione, come: • dove: • V(x,y)e` la soluzione vera del problema, che soddisfa sia l’equazione di Poisson nel dominio di definizione, sia le condizioni al contorno, • Nee` il numero totale degli elementi e • le funzioni interpolanti Veche in generale per due elementi adiacenti devono assumere gli stessi valori in corrispondenza dei punti comuni. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

41. 3 (x3,y3) Ve3 1 (x1,y1) Ve1 2 (x2,y2) Ve2 • In particolare, per il generico elemento triangolare si definisce: • una numerazione dei nodi antioraria, • il potenziale in ciascun nodo, • la posizione di ciascun nodo nel piano x,y: Si può notare che è assicurata la continuità della soluzione poichè tutti i nodi sono comuni ad almeno due elementi. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

42. Per approssimare il potenziale all’interno del generico triangolo con una funzione superficiale che in corrispondenza dei punti 1, 2, 3, passi per i potenziali V1,V2 e V3, l’ approssimazione più semplice e` quella lineare, per la quale: Ve(x,y)=a+bx+cy per gli elementi triangolari Ve(x,y)=a+bx+cy+dxy per gli elementi quadrangolari Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

43. Assumendo che gli elementi siano triangolari, il potenziale all’interno e sul contorno dell’elemento e-simo è dato da: Ve(x,y)=a+bx+cy che in forma matriciale si può scrivere: • dove le costanti a, b e csono incognite e possono essere determinate in modo univoco in funzione dei potenziali e delle coordinate ai nodi. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

44. L’assunzione di approssimazione lineare equivale ad ipotizzare il campo elettrico costante all’interno di ciascun elemento • Ricordando, infatti, la relazione: ed essendo: Vei(x,y)=ai+bi x+ci y, si ottiene una espressione costante per il campo all’interno del generico l’elemento iesimo: con versori rispettivamente degli assi x e y. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

45. Definire le equazioni che governano un elemento tipico consiste nell’esprimere il potenziale all’interno del generico elemento in funzione dei valori che il potenziale assume nei tre nodi del triangoloVe1Ve2 e Ve3 , con le funzioni forma come: • Ve(x,y)= N1(x,y) Ve1 + N2(x,y) Ve2 + N3(x,y) Ve3 essendo N1(x,y), N2(x,y), N3(x,y) le funzioni di forma oshape function. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

46. Definizione delle funzioni forma • Per i nodi di ciascun elemento triangolare è possibile scrivere il sistema di equazioni: • attraverso il quale è possibile determinare i coefficienti a, b e c in modo univoco: Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

47. e sostituendo nella espressione del potenziale all’interno del generico elemento, essendo; si ottiene: Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

48. Essendo S l’area dell’elemento, che può essere espressa come: • oppure con S> 0 , se i nodi sono numerati in senso antiorario. Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

49. 3 0 3 1 0 1 1 0 3 0 1 1 0 1 2 2 0 2 Dal confronto delle relazioni precedenti le funzioni di forma risultano : Le funzioni forma corrispondono alle superfici delimitate dai contorni rossi tratteggiati e indicano la dipendenza della distribuzione del potenziale per l’elemento e-simo dal valore che potenziali assumono rispettivamente nei tre nodi di tale elemento Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f

50. La relazione precedente che esprime il potenziale nell’elemento e-simo può essere scritta in forma compatta matriciale come: • dove • e Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f