5d_EAIEE_ENERGIA MAGNETICA (ultima modifica 24/11/2011)

1. Energia magnetica Autoinduttanza e mutua induttanza sono stati esaminati in termini statici, considerando la corrente permanente. Sebbene gli induttori privi di resistenza si comportano come un corto circuito in regime permanete (in c.c) diventa necessario studiare il campo magnetico dovuto a correnti variabili quando si vogliono studiare gli effetti delle induttanze nei circuiti e nei campi magnetici. 5d_EAIEE_ENERGIA MAGNETICA(ultima modifica 24/11/2011) 5d_EAIEE_Energia Magnetica

2. Assumiamo quindi condizioni quasi statiche, che implicano che: le correnti varino molto lentamente ( basse frequenze) e che le dimensioni dei circuiti siano molto piccole rispetto alla lunghezza d’onda. Queste condizioni ci permettono di trascurare gli effetti dei ritardi e delle radiazioni. In elettrostatica, il lavoro richiesto per assemblare un gruppo di cariche, viene immagazzinato sotto forma di energia elettrica. Analogamente inmagnetostatica,il lavoro necessario per inviare correnti nelle spire conduttrici, viene immagazzinato sotto forma di energia magnetica. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

3. I1 C1 Energia magnetica in una singola spira Per valutare l’energia magnetica si consideri una spira di induttanza L1 inizialmente non attraversata da corrente I=0. Si colleghi un generatore di tensione v1 alla spira, che aumenti la corrente da 0 a I1. In base ai principi della fisica nella spira verrà indotta una forza elettromotrice f.e.m e1, tale da opporsi alla corrente che la ha generata. v1 compensa perfettamente la f.e.m e1 in un circuito non dissipativo. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

4. In un circuito non dissipativo (con resistenza nulla), essendo la tensione applicata , il lavoro richiesto per generare questa f.e.m. per poter incrementare la corrente da 0 a I1 nella spira 1 sarà: e poiché per i mezzi lineari il flusso concatenato è 1=L1I1 L1= 1/I1, l’energia immagazzinata come energia magnetica, può essere espressa anche in funzione del flusso concatenato : 5d_EAIEE_Energia Magnetica

5. I1 I2 C1 C2 Energia in due spire accoppiate Analogamente, se si considerino due spire percorse dalle correnti i1 e i2rispettivamente con correnti inizialmente nulle, che siano incrementate rispettivamente sino ai valori I1 e I2. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

6. Per determinare il lavoro richiesto, inizialmente si mantenga i2= 0 ( circuito 2 apero) e si incrementii1da 0 a I1. Ciò richiede un lavoro W1 nella spira C1 e nessun lavoro nella spira C2 , perché i2=0: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

7. Successivamente manteniamo i1= I1 costante eincrementiamo i2da 0 a I2. A causa del mutuo accoppiamento, una parte del flusso magnetico dovuto a i2 si concatena con la spira C1, inducendo una f.e.m e21 che deve essere compensata con un aumento della tensione applicata : per mantenere la corrente i1costante al suo valore I1. Il lavoro W21richiesto per generare la tensione indotta sarà: Contemporaneamente, per poter aumentare la corrente al valore I2,un lavoro W22 deve essere fatto sulla spira C2 (applicando una tensione v2 alla spira 2, per contrastare la f.e.m. indotta nel circuito 2 : 5d_EAIEE_Energia Magnetica

8. Quindi il lavoro totale W2*** richiesto per far circolare entrambe le correnti nelle 2 spire concatenatesarà: questa relazione può essere scritta in forma compatta: ***il pedice 2 sta ad indicare che ci stiamo riferendo a 2 spire 5d_EAIEE_Energia Magnetica

9. Energia in N spire accoppiate Generalizzando questo risultato per un sistema di N spire attraversate rispettivamente dalle correnti I1, I2,…In e concatenate (disposte in modo tale che i campi magnetici generarti da ciascuna di esse interferisca sulle altre), si ottiene l’energia immagazzinata nel campo magnetico Wn*** : Wnè l’energia immagazzinata nel campo magnetico Per una sola corrente circolante in un induttore con induttanza L, l’energia magnetica immagazzinata sarà: ***il pedice n sta ad indicare che ci stiamo riferendo a m spire 5d_EAIEE_Energia Magnetica

10. B H Energia magnetica in funzione delle grandezze di campo L’energia magnetica specifica necessaria per magnetizzare al valore di induzione Bun mezzo di materiale magnetico di volume unitario è: Quando si percorre un ciclo di isteresi, la differenza tra l’energiaspesa e l’energia resa, pari a quella immagazzinata, è data dall’area del ciclo tratteggiata in figura: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

11. L’energia magnetica differenziale dWm necessaria per produrre una variazione della induzione in un volume V del campo è: essendo dv il volume elementare intorno al punto P generico del campo. L’energia magnetica differenziale per unità di volume è: Si dimostra che la totale energia magnetica Wm necessaria per produrre una variazione della induzione da 0 a in un volume V è: e l’energia magnetica specifica wm è: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

12. Essendo paralleli, l’energia magnetica specifica wm è: Per i mezzi con permeabilità costante, dove , si ha: Poiché l’energia magnetica immagazzinata é esprimibile in funzione della autoinduttanza o induttanza L, come: con un processo inverso si può determinare L in funzione di Wm: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

13. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

14. Se il ciclo di isteresi viene ripetuto con la frequenza f, la potenza specifica dissipata (perdite per isteresi ) vale: Perdite per correnti parassite Un’altra perdita presente nei materiali ferromagnetici è dovuta alle correnti parassite. Esse sono correnti indesiderate, indotte nel materiale ferromagnetico in quanto conduttore, per la legge di Lenz Per ridurre queste correnti si lamina il materiale nella direzione del flusso. Infatti le correnti indotte circolano su piani perpendicolari alla direzione del flusso. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

15. Con la laminazione le correnti indotte non sono eliminate, ma ridottee la riduzione è legata allo spessore dei lamierini con legge quadratica: è dell’ordine di pochi mm. Talvolta è sufficiente l’ossidazione delle lamiere per ottenere l’isolamento desiderato tra una lamina e l’altra. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

16. Forze e coppie magnetiche Una carica q si muove con velocità in un campo magnetico con densità di flusso ( o induzione magnetica) , è sottoposta ad una forza magnetica data da: La totale forza elettromagnetica, quando è presente anche un campo elettrico di intensità , è: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

17. Effetto Hall Se si considera un materiale conduttore con sezione trasversale rettangolare d  b immerso in un campo magnetico uniforme: e una corrente continua circolante in direzione ypari a: dove: N è il numero di cariche trasportate per unità di volume , che si muovono con una velocità , e q è la carica presente in ciascuna carica trasportata. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

18. + Vh y - z x o b d q Il conduttore sia così disposto rispetto alla direzione del campo: Per la relazione , ciascuna carica in movimento sarà sottoposta a una forza perpendicolare a e a . Si ricordi che il movimento degli elettroni è opposto al verso della corrente 5d_EAIEE_Energia Magnetica

19. Caso a): il materiale è conduttore o unsemiconduttore di tipo n, le cariche trascinate sono elettroni, e q é negativa. La forza magnetica tende a muovere gli elettroni in direzione x, creando un campo elettrico trasversale . Questo fenomeno continua sino a quando il campo trasversale sarà sufficiente a fermare il trasporto delle cariche. In regime permanente la forza risultante sulle cariche è nulla. Imponendo questa condizione, è possibile calcolare l’entità del campo elettrico trasversale generato : Questo effetto è noto come effettoHall . 5d_EAIEE_Energia Magnetica

20. Per i conduttori e i semiconduttori ditipo n e una densità Jo positiva, il campo trasversale generato è: e un potenziale trasversale si stabilisce tra le due facce del materiale per gli elettroni trascinati, così che: Vhè chiamata tensione di Hall e il rapporto chiamato coefficiente di Hall, caratterizza il materiale. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

21. Caso b): se le cariche trascinate sono buche, o cariche positive l’effetto Hall sarà ugualmente presente, ma il potenziale che si stabilisce sarà di segno contrario ( -Vh) essendo . L’effetto Hall può essere usato per: misurare il campo magnetico e determinare la natura del materiale, ossia il segno predominante delle cariche trascinate (distinguendo un semiconduttore di tipo n da uno di tipo p). 5d_EAIEE_Energia Magnetica

22. dv S I dl Forze e coppie magnetiche nei conduttori attraversati da corrente Si consideri un elemento di un corpo conduttore dl, percorso dalla corrente elettrica I e sezione trasversale S, immerso in un campo d’induzione , se N sono le cariche (elettroni) trascinate per unità di volume con una velocità , la forza magnetica che agisce sull’elemento differenziale sarà: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

23. dove e è la carica elettronica. Le due espressioni sono equivalenti perché la velocità e il conduttore hanno la stessa direzione e le cariche sono vincolate a muoversi nella direzione della dimensione prevalente del conduttore, essendo la corrente , la forza magnetica che agisce sull’elemento differenziale sarà data dalla seguente espressione: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

24. Per ottenere la direzione e il verso della forza magnetica elementare che agisce sul conduttore elementare dl, si applica la regola della mano destra: indice nella direzione della corrente I; medionella direzione della induzione magnetica ; pollice nella direzione della forza . 5d_EAIEE_Energia Magnetica

25. La forza magnetica complessiva calcolata per un circuito chiuso il cui contorno è C, sarà: Quando due circuiti adiacenti sono entrambi attraversati dalle correnti I1 e I2 rispettivamente, ciascuno di essi è sotto l’influsso del campo magnetico generato dall’altro. La forza magnetica agente sul circuito 1, quando la corrente I2 circola nel circuito 2 è: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

26. da cui: che è la legge di Ampere che esprime la forza tra due circuiti attraversati da corrente. Questa relazione è analoga alla legge di Coulomb che esprime la forza tra due cariche stazionarie: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

27. Analogamente la forza magnetica agente sul circuito 2, quando la corrente I1 circola nel circuito 1 è: da cui: Si dimostra che: e che , poiché 5d_EAIEE_Energia Magnetica

28. z I1 I2 d y 0 x Esempio Due conduttori paralleli attraversati dalle correnti I1 e I2 Si suppone che giacciono nel piano x-y. La forza agente per unità di lunghezza sul conduttore 2 dovuta al campo generato dalla circolazione della corrente nel conduttore 1, sarà: con da cui : analogamente: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

29. I dl1 b T o x b I dl2 Se le due correnti sono equiverse le forze sono attrattive e se le due correnti sono controverse le forze sono repulsive. Esempio Spira circolare in un capo magnetico uniforme con componente del campo nella direzione perpendicolare al piano della spira e componente del campo nella direzione parallela al piano della spira . 5d_EAIEE_Energia Magnetica

30. La componente perpendicolare tende ad allargare la spira , o a contrarlase la corrente ha direzione contraria, ma non esercita alcuna forza che sposti la spira. La componente parallela da luogo ad una forza che fuoriesce dal foglio nel trattino dl1 e che entra nel foglio nel trattino dl2in posizione simmetrica rispetto all’asse x, per cui la forza risultante sull’intera spira sarà nulla, ma sarà presenta una coppia che tende a far ruotare la spira intorno all’asse x in modo tale da allineare il campo magnetico dovuto alla corrente I, con il campo esterno . La coppia elementare prodotta dalle due forze elementari sarà: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

31. La coppia totale agente sulla spira è quindi: Ricordando al definizione di momento del dipolo magnetico: dove il versore è normale al piano della spira, si potrà scrivere: Questa è anche l’espressione della coppia che allinea i dipoli magnetici microscopici nei materiali magnetici e da luogo alla magnetizzazione attraverso l’applicazione di un campo. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

32. y (1) (2) b2 o (4) x (3) b1 Esempio Spira rettangolare giacente nel piano x-y con lati b1 e b2 attraversata da una corrente I, immersa in un campo magnetico: La corrente circoli nella spira in senso orario. Le componenti del vettore induzione per il sistema di riferimento assunto saranno: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

33. La componente parallela della densità del flusso magnetico , produce le seguenti forze sui quattro lati: La forza risultante sulla spira è uguale a zero, ma è presente una coppia che può essere così valutata: La coppia dovuta alle forze : e la coppia dovuta alle forze : 5d_EAIEE_Energia Magnetica

34. La coppia totale agente sulla spira rettangolare è: che espressa in funzione del momento magnetico della spira: La coppia totale agente sulla spira rettangolare espressa in funzione del momento magnetico della spira diventa: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

35. Forze e coppie magnetiche espresse in funzione della energia magnetica immagazzinata La determinazione delle forze e delle coppie agenti su conduttori e circuiti attraversati da corrente in presenza di un campo magnetico utilizzando la legge di Ampere è piuttosto tediosa, se non esistono particolari condizioni di simmetria. Un metodo alternativo per la determinazione delle forze e delle coppie suddette quando non esistono particolari condizioni di simmetria, è basato sul principio dei lavori virtuali (principle of virtual displacement), considerando i due casi: un sistema di circuiti con Φkflussi magnetici concatenati costanti e un sistema di circuiti con Ik correnti costanti . 5d_EAIEE_Energia Magnetica

36. a) Sistema di circuiti con flusso magnetico concatenato costante Se si assume che non ci siano variazioni nei flussi concatenati per uno spostamento virtuale differenziale dl di uno dei circuiti attraversati dalla corrente,  non ci sarà alcuna f.e.m. indotta e le sorgenti non forniranno alcuna energia al sistema. Il lavoro meccanico fatto dal sistema è fatto a spesa di un decremento della energia magnetica accumulata – dWm, dove indica la forza in condizioni di flusso costante. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

37. Si può quindi scrivere che: dalla quale si ottiene che: In coordinate cartesiane le componenti delle forze sono: Se il circuito è vincolato a ruotare intorno ad un asse, la z componente della coppia agente sul circuito sarà: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

38. b) Sistema di circuiti con correnti costanti: d I=0. In questo caso i circuiti sono collegati alle sorgenti di corrente che compensano alle f.e.m. indotte dovute alle variazioni di flusso concatenato e causate dallo spostamento virtuale dl. Il lavoro fatto o l’energia fornita dalle sorgenti é: Questa energia deve essere uguale alla somma del lavoro meccanico fatto dal sistema dW e dell’incremento della energia magnetica dWm, essendo , dove indica la forza sul circuito spostato nelle condizioni di corrente costante: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

39. Poichè l’energia magnetica è: combinando le equazioni si ha: o: Se il circuito è vincolato a ruotare intorno all’asse z, la z componente della coppia agente sul circuito sarà : Le espressioni della forza e della coppia differiscono da quelle trovate per un sistema di circuiti con flusso magnetico concatenato costante, solo per il segno. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

40. I Φ N F y Uno spostamento della armatura cambia la geometria del circuito nella sola lunghezza del traferro; e quindi varia solo l’energia magnetica immagazzinata nei due traferri: Se Φ = cost la forza negativa di attrazione sulla armatura sarà: Esempio di applicazione Si consideri un elettromagnete di sezione S e si voglia determinare la forza di attrazione sull’armatura. Si consideri uno spostamento virtuale della armatura dy nella ipotesi che la sorgente mantenga il flusso costante Φ= cost. 5d_EAIEE_Energia Magnetica

41. I Φ N F y b) Si consideri uno spostamento virtuale della armatura dy nella ipotesi la corrente I sia costante nella bobina, collegata a un generatore di corrente che compensa la fem indotta dovuta alla variazione di flusso per lo spostamento virtuale dl: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

42. Forze e coppie magnetiche in funzione della mutua induttanza Il metodo dello spostamento virtuale per correnti costanti fornisce una efficace tecnica per determinare le forze e le coppie tra circuiti rigidi attraversati da corrente. Per due circuiti attraversati dalla corrente I1 e I2, con autoinduttanze L1 e L2, e mutua induttanza L12 , l’energia magnetica è: Se uno dei circuiti è sottoposto a uno spostamento virtuale nelle condizioni di correnti costanti, ci sarà una variazione della energia magnetica Wmche darà luogo ad una forza meccanica: 5d_EAIEE_Energia Magnetica

43. Tale forza sarà quindi esprimibile come ***: Analogamente se il circuito è vincolato a ruotare intono ad un asse z : _______________________________________________________________________________________________ *** le correnti sono costanti e i coefficienti di autoinduzione non variano perché si suppone che le spire non abbiano cambiato geometria 5d_EAIEE_Energia Magnetica