Le théorème de Ptolémée par Genbauffe Catherine

1. Le théorème de Ptoléméepar Genbauffe Catherine

2. La figure • Posons: |AB| = a |BC| = b |CD| = c |DA| = d |AC| = p |BD| = q

3. Enoncé n°1 • Le produit des longueurs des diagonales d’un quadrilatère convexe inscrit est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés : • pq = ac + bd

4. Démonstration • On a donc p = |AC| et q = |BD|  q = |BE| + |ED| • On remarque que les triangles ABC et AED sont semblables • On a donc : |AB|/|AE| = |AC|/|AD| = |BC|/|ED| • En remplaçant les segments par le nom des côtés, on obtient : a/|AE| = p/q = b/|ED|

5. On remarque également que les triangles ABE et ACD sont semblables. • On a donc: |AB|/|AC| = |AE|/|AD| = |BE|/|CD| • En remplaçant les segments par le nom des côtés, on obtient : a/p = |AE|/d = |BE|/c

6. Pour les premiers triangles semblables, prenons l’égalité: p/d = b/|ED| • Pour les seconds, choisissons l’égalité : a/p = |BE|/c • Si on applique la propriété disant que le produit des extrêmes égale celui des moyens, on a : ac = p.|BE| et bd = p.|ED| • Et donc si on additionne ces deux égalités, on obtient: ac + bd = p (|BE| + |ED|) = pq

7. Enoncé n°2 • Le rapport des longueurs des diagonales d’un quadrilatère convexe inscrit est égal au rapport des sommes des produits des longueurs des côtés issus des extrémités de ces diagonales: • p/q = (ad+bc)/(ab+cd)

8. Démonstration: 1ère partie • Avant tout, prouvons que le produit des longueurs de deux côtés d’un triangle est égal au produit du diamètre du cercle circonscrit par la hauteur correspondant au 3ème côtés: |AB|.|AC| = |AE|.|AD| •  |AB|/|AE| = |AD|/|AC| • |AB|/|AD| = |AE|/|AC| • Transformons l’égalité donnée dans l’énoncé. • Donc |AB|.|AC| = |AE|.|AD| devient alors bc = 2Rh (R étant le rayon) • Si on multiplie les deux membres par a, on a : abc = 2R.a.h = 2R.2S • Et donc, abc = 4.R.S • Grâce à cette égalité nous allons maintenant pouvoir prouver que: p/q = (ad+bc)/(ab+cd)

9. Démonstration: 2ème partie • L’égalité précédente nous permet de déterminer l’aire de triangle: S= abc/4R • Déterminons l’aire du quadrilatère ABCD en le décomposant en deux triangles par rapport à la diagonale p: • Le triangle ABC et le triangle ADC

10. Donc grâce à l’égalité : S = abc/4R • On peut dire que l’aire du triangle ABC = abp/4R • Et que l’aire du triangle ADC = dcp/4R • L’aire du quadrilatère ABCD vaut donc: abp/4R + dcp/4R = p.(ab+dc)/4R

11. Déterminons, à présent, l’aire du quadrilatère ABCD en le décomposant en deux triangles par rapport à la diagonale q: • Le triangle ABD et le triangle BCD

12. Donc grâce à l’égalité : S = abc/4R • On peut dire que l’aire du triangle ABD = adq/4R • Et que l’aire du triangle BCD = bcq/4R • L’aire du quadrilatère ABCD vaut donc: abq/4R + dcq/4R = q.(ad+bc)/4R

13. On sait donc que: - L’aire du quadrilatère ABCD vaut: abp/4R + dcp/4R = p.(ab+dc)/4R - L’aire du quadrilatère ABCD vaut: abq/4R + dcq/4R = q.(ad+bc)/4R • On peut donc égaler les deux résultats précédents p.(ab+dc)/4R = q.(ad+bc)/4R • Et donc en simplifiant et en divisant, on obtient: p/q = (ad + bc)/(ab + cd)