13. Graf berbobot ( Weighted graph )

1. 13. Graf berbobot (Weighted graph) Graf berbobotadalahgraf yang setiapsisinyamempunyaibobotatauharga 8 10 1 12 11 9 15 2 3 14 5 4 Gambar 12.19 Graf berbobot

2. 14. Graf SederhanaKhusus Graf lengkap (Complete graph) Graf lengkapadalahgrafsederhana yang setiap simpulnyamempunyaisisikesimpullainnya. Graf lengkap yang mempunyai n buahsimpuldilambangkandengan Kn. SetiapsimpulpadaKnmempunyaiderajad n – 1

3.  K1 K2 K3 K4 K5 K6 Gambar 12.20 Graf lengkapKn 1  n  6

4. B. Graf lingkaran Graf lingkaranadalahgrafsederhana yang setiapsimpulnyaberderajad 2. Graf lingkarandengan n simpuldilambangkandenganCn. Jikasimpul-simpulpadaCnadalah v1, v2 , … , vn, makasisi-sisinyaadalah (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn), dan (vn, v1). Graf lingkaranadalahgrafsederhana yang setiapsimpulnyamempunyaisisikesimpullainnya.

5.                   Gambar 12.21 Graf lingkaranCn 3  n  6

6. C. Graf Teratur (Regular Graph) Graf teraturadalahgraf yang mempunyaiderajad yang samapadasetiapsimpulnya. Jikaderajadsetiapsimpuladalahr, makagraftersebutadalahgrafteraturderajadr.                    Gambar 12.22 Graf teratur

7. Perludiketahuibahwa: Graf lengkapKnadalahgrafteraturderajad n – 1. Graf lingkaranCnadalahgrafteraturderajad 2. Jumlahsisi (e) padagrafteratur = nr/2 Contoh 12.5 Berapajumlahmaksimumdan minimum simpul padagrafsederhana yang mempunyai 12 buahsisidansetiapsimpulberderajadsama? Penyelesian e = nr/2 = 12  n = 2e/r = 2(12)/r = 24/r

8. Syaratumumgraf : n = bilanganbulatdan n – 1  r Syaratgrafsederhana : r  2 r = 2  n = 24/2 = 12 r = 3  n = 24/3 = 8 r = 4  n = 24/4 = 6 r = 5  n = 24/5 = 4,8 (tidakmungkin; n tidakbulat) r = 6  n = 24/6 = 4 (tidakmungkinkarena n – 1  r) r = 7  n = 24/7 = 3,47 (tidakmungkin; n tidakbulat) r = 8  n = 24/8 = 3 (tidakmungkinkarena n – 1  r)

9. D. Graf Bipartit (Bipartite Graph) Jikahimpunansimpul V padagraf G dapatdikelompokkanmenjadiduahimpuan V1dan V2 sedemikian, sehinggasetiapsisididalamgraf G menghubungkansebuahsimpulpada V1kesebuah simpuldi V2 , makagraf G disebutgrafbipartit. Jadisetiapsimpulpada V1tidakbertetangga. begitujugasimpulpada V2.      Gambar 12.23 Graf bipartit G(V1, V2

10. Contoh 12.6 Tunjukkanbahwagrafberikutadalahgrafbipartit a b d        g c e f b a c g f d e

11. Padagrafbipartit, apabilasetiapsimpuldi V1bertetanggadengansemuasimpuldi V2, makagraf G (V1, V2) disebutgrafbipartitlengkap. Jikajumlahsimpulpada V1 = m dan V2 = n, makagrafbipartitlengkapdilambangdenganKm,n Gambar 12.24 Graf bipartitlengkap K2,3 K3,3 K2,4

12. 15. Representasi Graf Untuktujuanpemrosesandidalamkomputer, perlu mempertimbangkanuntukmenyajikangrafdalamcara, yaitu: MatriksKetetanggaan (Adjancency Matrix) Matriksketetanggaanadalahmatrikspersegi. Jikamatriks yang mewakilirepresentasigrafadalah A = [aij], makaaij = 1 jikasimpulidan j bertetangga. Jikatidakmakaaij = 0.

13. 1  3 2 Gambar 12.25  4 1 Gambar 12.26 5  3 2 4

14. 1 1 ▼ Gambar 12.27 ▼ 2 ▼ 3 2 3 ▼ ▼ ▼ ▼ 4 4 Gambar 12.28

15. Jikakitaperhatikan, matriksketetanggaan untukgrafsederhanadantak-berarahselalu simetri. Sedangkanuntukmatriksberarahbelum tentusimetri, kecualiuntukgrafberarahlengkap. Jikagraftidakmempunyaisisigelang, maka diagonal matriksnyaselalu nol. Untukgraftak-berarah yang mempunyaisisiganda makaelemenmatriksnya yang bersesuaiandiisi denganelemen 2.

16. Derajadtiapsimpulidapatdihitungdarimatriks Ketetanggan. Derajadsimpul v1untukgraftak-berarahadalah: Derajadsimpul v1untukgrafberarahadalah:

17. Contoh 12.7 1 3 Derajadsimpul 1 = 1 + 1 = 2 Derajadsimpul 2 = 1 + 1 = 2 Derajadsimpul 3 = 1 + 1 + 1 = 3 Derajadsimpul 4 = 1 Derajadsimpul 5 = 0 5  2 4

18. Contoh 12.8 Untukgrafberbobot, aijmenyatakanbobottiapsisi yang menghubungkansimpulidansimpul j. Gambarberikutadalahgrafberbobotbeserta matriksketetanggaannya. Tanda berartitidak adasisidarisimpulike j atausebaliknya. a 10 12 8 e b 11 9 15 c d 14

19. B. MatriksBersisian (Incident Matrix) Matriksbersisianadalah yang menyatakankebersisianantarasimpuldengansisi. Misal G =(V, E) adalahgrafdengan n simpuldan m buahsisi. Matriksbersisiandarigraf G adalahmatriks yang berukuran n x m. Barismenunjukkan label simpul, sedangkankolommenunjukkan label sisi. Bilamatrikstersebutadalahmatriks A = [aij], makaaij = 1 jikasimpulibersisiandengansisi j. Sebaliknyaaij = 0 jikasimpulitidakbersisiandengansisi j.

20. Matriksbersisiandpatdigunakanuntukmerepresentasikangraf yang mengandungsisigandadansisigelang. Derajadsetiapsimpulidapatdapatdihitungdenganmenghitungjumlahseluruhelemenpadabarisi (kecualipadagraf yang mengandunggelang). Jumlahelemenmatriksbersisianadalahnm. Jikatiapelemenmembutuhkanruangmemorisebesarp, makaruangmemori yang diperlukanseluruhnyaadalahpnm.

21. Contoh 12.9 Gambarberikutmemperlihatkanmatriksbersisianuntukgraf yang direpresentasikannya. Jumlahelemenmatriksadalah 4 x 6 = 24 e1 1 2 e2 e4 e3 3 e5 4 e6

22. C. SenaraiKetetanggaan (Adjacency List) Senaraiketetanggaanmengenumerasisimpul-simpul yang bertetanggadengansetiapsimpuldidalamgraf.

23. 1  2 3 1 ▼ ▼  ▼ 2 4 3 ▼ SenaraiSenaraiSenarai ketetanggaanketetanggaanketetanggaan 1: 2, 3 1: 2, 3 1: 3 2: 1, 3, 4 2: 1, 3 2: 1 3: 1, 2, 4 3: 1, 2, 4 3: 1, 2, 4 4: 2, 3 4: 3 4: 2, 3 5: - 1 ▼ ▼ ▼ 3 4 5  2 4

24. Graf Isomorfik (Isomorphic graph) Definisi Duabuahgraf G1dan G2dikatakanisomorfikjikaterdapatkorespondensisatu-satuantarasimpul-simpuldansisi-sisikeduagraftersebutsedemikiansehinggajikasisi e bersisiandengansimpul u dan v di G1, makasisi e’ yang berkorespondendi G2jugaharusbersisiandengansimpul u’ dan v’ di G2. Dari definisidiataskitadapatmenyederhanakanbahwaduabuah yang isomorfikadalahduabuahgraf yang sama; hanyatampilansecarageometrikkeduagraftersebutkelihatanberbeda.

25. Contoh 12.10 e a c d v w b e a y b d x z c

26. e a d z c b           a v w v b w c x d y y x e z

27. Untukmemastikanbahwaduabuahgrafisomorfik, kitadapatmemeriksamatriksketetanggaannya. Jikamatriksketetanggaanyasama, makadipastikan bahwakeduagrafisomorfik. Sebelummenyusunmatriksketetanggaan, terlebih dahuluharuskitaurutkansimpul-simpulpada G2 mengikutiurutansimpulpada G1sesuai korespondensinya.           a v w b c x y d e z

28. e a c d b z w v y x

29. Graf G1 (V1 , E1) dan G2 (V2 , E2) dikatakanisomorfikjika: - Jumlahsimpuldansisipadakeduaharussama. - Jumlahsimpul yang mempunyaiderajadtertentu harussama. - Jikapada G1, u1bertetangga v1dan w1, sedangkan pada G2, u2bertetangga v2dan w2, makaderajad v1 harussamadengan v2danderajad w1harussama dengandan w2. - Terdapatkorespondensisatu-satu V1ke V2.

30. Contoh 12.11 Tentukanapakahgrafberikutisomorfik. x e a c b d f u v w s t             s a Karenakeduagraftidakberkorespondensisatu-satu, makadikatakanbahwakeduagraftidakisomorfik t b u c v d w e f x

31. Contoh 12.12 Tentukanapakahgrafberikutisomorfik. p a     e t q b   w h     f u   d s g v     r c Gambar 2 Gambar 1

32. PadaGambar 1, simpul a mempunyaiderajad 2. Tetangganya b dan d mempunyaiderajadmasing- masing 3. PadaGambar 2, simpul yang berkemungkinan berkorespondensidengansimpul a padaGambar 1 hanya q, r, u, atau v, karenamasing-masingmempunyai derajad 2 (samasepertisimpul a). Akantetapitetanggadari q, r, u, dan v mempunyai derajad 3 dan 2, sehinggatidakmungkinsimpul a padaGambar 1 berkorespondensidengansalahsatu dari q, r, u, atau v padaGambar 2.

33. Karenasimpul a tidakberkorespondendengan salahsatusimpulpadaGambar 2, makatidakadakorespondensisatukesatudarikeduagraftersebut. SelanjutnyadisimpulkanbahwaGambar 1 danGambar 2 tidakisomorfik

34. Contoh 12.13 Tentukanapakahgrafberikutisomorfik.  p q a b e t f u  c d r s Gambar 2 Gambar 1

35. p q a b t e  f u a  b  c  d  e  f   p  q  r  s  t  u c s r d Kemungkinan korespondensi: a ke u atau r c ke u atau r b ke q atau s d ke q atau s e ke p atau t f ke p atau t 

36. MG1 = MG2 =

37. Karena MG1 = MG2, grafpadaGambar 1 isomorfik dengangrafpadaGambar 2.  p q a b e t f u  c d r s Gambar 1 Gambar 2