Ordnung und Chaos im Sonnensystem

1. Ordnung und Chaos im Sonnensystem Peter H. Richter Vortrag im Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt Bremen 22. Februar 2010 Peter H. Richter

2. Johannes Kepler 1571-1630 Astronomia Nova 1609 Mysterium Cosmographicum 1597 Harmonices Mundi 1619 Keplers Ordnung Ellipsen 1990-2005 Peter H. Richter

3. Geschichte • Deterministisches Chaos • Das eingeschränkte Dreikörperproblem • Ist das Sonnensystem mechanisch stabil? • Zusammenfassung Peter H. Richter

4. P.S. de Laplace L. Euler J. de Lagrange C.G.J. Jacobi I. Newton V.I. Arnold J. Moser H. Poincaré E. Strömgren A.N. Kolmogorov G.D. Birkhoff Meister aus 300 Jahren Oskar II Strömgren Chirikov

5. Preisfrage von König Oskar II. 1888 Für ein gegebenes System von n sich untereinander anziehenden Teilchen, die den Newtonschen Bewegungsgesetzen folgen, soll unter der Annahme, dass es zu keinem Zweierstoß kommt, eine allgemeine Lösung gefunden werden in Form einer Potenzreihe in den Zeit und Raumkoordinaten, die für alle Werte der Zeit und Raum Koordinaten gleichförmig konvergiert. zurück Peter H. Richter

6. Strömgrens periodische Bahnen 1925 zurück Peter H. Richter

7. B. V. Chirikov Deterministisches Chaos • Standard-Abbildung • Kolmogorov-Arnold-Moser: hinreichend irrationale Tori überleben Standard-Abbildung • Poincaré-Birkhoff: rationale Tori → Paare von Resonanzen, stabile elliptische Orbits und instabile hyperbolische Peter H. Richter

8. Beste Approximation bis zu Nennern qn Geht es auch umgekehrt? J. Liouville C.L.Siegel Die zahlentheoretische Bedingung Kettenbruchentwicklung gibt die besten rationalen Näherungen Peter H. Richter

9. kleinstes t, größtes c' Die irrationalsten Zahlen Goldener Schnitt g = 1/(1+g): Alle noblen Zahlen w = [w0,…,wn,1,1,1,…] haben dieselben t, c'. Quadratische Irrationalzahlen: periodische Kettenbrüche, t = 2. Algebraische Zahlen vom Grad k habent = k. Peter H. Richter

10. Das eingeschränkte Dreikörperproblem • Zwei Hauptkörper (Sonne und Jupiter) auf Kreisbahnen • Ein „infinitesimal kleiner“ dritter Körper in derselben Ebene • Zwei Bezugssysteme: ein ruhendes und ein mitrotierendes Bezugssysteme Poincaré-Schnitte • „Energie“ im mitrotierenden System E = E0 – w · L0 (Jacobi-Konstante) • Windungszahl im Kepler-Grenzfall W = 1 – T/Tj = 1 – a3/2 • „Störung“: Jacobi-Potential Peter H. Richter

11. 0.01 0.1 0.5 0.000 003 0.000 03 0.000 03 Jacobi-Potential Peter H. Richter

12. 5:2 2:1 5:3 3:2 3:1 m = 0.001 E = -1.5195 Stabile und instabile Bahnen Demo-Programm Peter H. Richter

13. m = 0.00827 m = 0.010913 m = 0.02 m = 0.01352 m = 0.001 m = 0.04 m = 0.02429 m = 0.03 m = 0.03852 Trojanerstabilität bei zunehmendem m E = -1.5 + m (1 - m) / 2 Peter H. Richter

14. Kirkwood-Lücken 4:1,3:1,5:2,7:3,2:1 Hilda-Gruppe 3:2 Verteilung der Asteroiden Peter H. Richter

15. E = -1.5195 E = -1.4995 Gemeinsame Entfaltung von Ordnung und Chaos • Wachsendes E (und wachsendes m) verstärken Chaos und Ordnung • Chaos bedeutet: Stoß mit Jupiter oder Ejektion, jedenfalls Putzen • Ordnung bedeutet: Nähe zu einer stabilen Resonanz oder kontrolliert „irrationales“ Verhalten • Keplers harmonische Welt erscheint nun als Resultat einer Evolution Peter H. Richter

16. Poincaré-Schnitte in Polarkoordinaten • zeigen schön die Abhängigkeit von Jupiters Masse und der Energie • zeigen, welches Schicksal chaotische Bahnen früher oder später erleiden: Absturz oder Auswurf Peter H. Richter

17. Chaos schafft Ordnung: Keplers Harmonien? Peter H. Richter

18. Das ganze Sonnensystem incl. Dissipation J. Wisdom alle 10 Körper Gezeitenkräfte und –reibung Eigenrotation der Planeten Monde Stabile Resonanzen Resonanz-Katastrophen J. Laskar Fehler verzehnfachen sich etwa alle 10 Millionen Jahre Gezeitenreibung führte Merkur und die meisten Monde in stabile Resonanzen Viel kleinskaliges Chaos im Verhalten von Exzentrizitäten und Bahnneigungen Letzter Hit: parametrische Resonanz zwischen Jupiter und Merkur Peter H. Richter

19. Laskar & Gastineau: mögliche Katastrophen 201 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang (ohne Mond und relativistische Effekte): 34 Kollisionen mit Sonne, 86 mit Venus 2501 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang (mit Mond und relativistischen Effekten): 3 Kollisionen mit Sonne, 1 mit Venus 1 Orbit mit 201 Variationen induziert nach 3.3 Mrd Jahren 33 Kollisionen Sonne-Merkur, 48 Sonne-Mars, 43 Merkur-Venus, je 1 Merkur-Erde/Mars, 18 Venus-Erde, 23 Venus-Mars, 29 Erde-Mars Peter H. Richter

20. Zusammenfassung • Die mechanische Stabilität des Sonnensystems bleibt ungeklärt • Die Blätterung des hochdimensionalen Phasenraums in invariante Mengen, die unter dem Einfluss von Dissipation langsam evolvieren, ist ein hochkomplexes Gewebe regulärer und chaotischer Teile • Das Studium des eingeschränkten Dreikörperproblems mit nur 2 Freiheitsgraden gibt allenfalls eine Ahnung von dieser Komplexität • Es erlaubt immerhin das Studium interessanter Teilprobleme (Asteroidenverteilung, gebundene Rotation von Monden, parametrische Resonanz) • Extrasolare Planeten sind das nächste Anwendungsfeld Peter H. Richter

22. E = -1.5195 E = -1.4995 Stabile und instabile Orbits Demo-Programm Peter H. Richter