KYTKENTÄALGEBRA

1. A = A KYTKENTÄALGEBRA Boole m0 A + B C = (A + B) (A + C) F(A, B, C) = m (2, 3, 5, 7) A· 0 = 0 SOP Maksimitermi M7 De Morgan POS Minimitermi

2. Johdanto Tässä luvussa • esitetään kytkentäalgebra, jonka teoreemojen avulla kytkentäfunktioiden lausekkeita voidaan muokata • esitetään käytännössä erityisen tärkeät De Morganin kaavat • määritellään kytkentäfunktioiden standardimuodot SOP ja POS • esitellään minimi- ja maksimitermit ja kytkentäfunktioiden kanoniset muodot • esitetään, miten totuustaulusta voidaan johtaa saman kytkentäfunktion toteuttava kanonisessa muodossa oleva lauseke • esitetään, miten kytkentäfunktion lausekkeesta voidaan johtaa saman funktion totuustaulu • Luku on melko teoreettinen, mutta tärkeä; se muodostaa pohjan luvussa 5 käsiteltävälle lausekkeiden sieventämiselle • Esitettäviä käsitteitä käytetään jatkossa, kun suunnitellaan käytännön digitaalipiirejä

3. Yhden muuttujan teoreemat:A + 0 = AA· 1 = AA + 1 = 1 A· 0 = 0A + A = AA·A = AA + A = 1 A·A = 0 A = A samalla rivillä olevia teoreemoja nimitetään duaaliteoreemoiksi • Usean muuttujan teoreemat (pätevät myös n:lle muuttujalle):A + B = B + AAB = BA (vaihdantalaki)A + (B + C) = (A + B) + CA (B C) = (A B) C (liitäntälaki) A (B + C) = A B + A CA + B C = (A + B) (A + C) (osittelulaki) Kytkentäalgebra • Kytkentäfunktioiden lausekkeita voidaan muuntaa toiseen muotoon ja yksinkertaistaa kytkentäalgebran (switching algebra) teoreemojen avulla • Kytkentäalgebrasta käytetään myös nimitystä Boolen algebra ? 1

4. A + B + … + N = A·B· ... ·NA·B· … ·N = A + B + ... + N n:lle muuttujalle • Käytännön nyrkkisääntö: • viiva poikki • merkit toisiksi +   De Morganin kaavat • Tärkeät usean muuttujan teoreemat • Merkittävät erityisesti kytkentäfunktioita sievennettäessä A + B = A·BA·B = A + B kahdelle muuttujalle ? 2

5. SOP F saa arvon 1, kun yksikin tulotermi saa arvon 1 POS • summien tulomuoto eli POS (Product Of Sums) • lauseke muodostuu usean TAI-funktion JA-funktiosta • TAI-funktioita nimitetään summatermeiksi (sum term) • Esimerkki: G = C (A + B) (A + B + C) Summatermit • Näistä tulojen summamuoto on käytännössä tärkeämpi ja yleisempi G saa arvon 0, kun yksikin summatermi saa arvon 0 Kytkentäfunktioiden standardimuodot • Kaikki kytkentäfunktiot voidaan esittää standardimuodoissa • tulojen summamuoto eli SOP (Sum Of Products) • lauseke muodostuu usean JA-funktion TAI-funktiosta • JA-funktioita nimitetään tulotermeiksi (product term) • Esimerkki: F = C + A B + A B C Tulotermit ? 3

6. Esimerkki: F(A, B, C) = C + A B + A B C min Minimitermi MAX Maksimitermi G(A, B, C) = C (A + B) (A + B + C) Minimi- ja maksimitermit • SOP-lausekkeessa oleva tulotermi on minimitermi (minterm) ja • POS-lausekkeessa oleva summatermi on maksimitermi (maxterm), jos • termissä esiintyvät kaikki muuttujat • muuttuja saa esiintyä sellaisenaan tai komplementtina ? 4 • Minimitermi saa arvon 1 vain yhdellä muuttujien arvoyhdistelmällä • Maksimitermi saa arvon 1 kaikilla paitsi yhdellä muuttujien arvoyhdistelmällä; se saa siis arvon 0 vain yhdellä yhdistelmällä • n:llä muuttujalla on 2n erilaista minimitermiä ja 2n erilaista maksimitermiä

7. Kolmen muuttujan minimi- ja maksimitermit • Minimitermi saa rivillä arvon 1 ja maksimitermi arvon 0 Muuttujat Minimitermit MaksimitermitA B C Tulotermi Symboli Summatermi Symboli 0 0 0 A B C m0 A + B + C M0 0 0 1 A B C m1 A + B + C M1 0 1 0 A B C m2 A + B + C M2 0 1 1 A B C m3 A + B + C M3 1 0 0 A B C m4 A + B + C M4 1 0 1 A B C m5 A + B + C M5 1 1 0 A B C m6 A + B + C M6 1 1 1 A B C m7 A + B + C M7 • Jokainen kytkentäfunktio voidaan esittää minimitermiensä loogisena summana ja maksimitermiensä loogisena tulona mi Mi

8. Kytkentäfunktion esitystä maksimitermiensä loogisena tulona nimitetään funktion kanoniseksi summien tulomuodoksi (canonical POS) • Kytkentäfunktiolla on vain yksi kanoninen POS • Esimerkki: F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) • Minkä hyvänsä summatermin arvo 0 antaa funktiolle arvon 0 Mi Kytkentäfunktion kanoniset muodot • Kytkentäfunktion esitystä minimitermiensä loogisena summana nimitetään funktion kanoniseksi tulojen summamuodoksi (canonical SOP) • Kytkentäfunktiolla on vain yksi kanoninen SOP • Esimerkki: F(A, B, C) = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C • Minkä hyvänsä tulotermin arvo 1 antaa funktiolle arvon 1 mi

9. Esimerkki SOP-muodosta: F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C F(A, B, C) = m0 + m2 + m3 + m4 + m6 F(A, B, C) =  m (0, 2, 3, 4, 6) • Esimerkki POS-muodosta: F = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) F(A, B, C) = M1 · M5 · M7 F(A, B, C) =  M (1, 5, 7) Yhteensä kaikki numerot Kytkentäfunktion kanonisten muotojen esitystavat • Kanonisia muotoja esitetään kolmella eri tavalla • muuttujien avulla • minimi- ja maksimitermien symbolien summina ja tuloina kahdella eri merkintätavalla

10. F(A, B, C) = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Funktion totuustaulua vastaava kanoninen SOP • Tunnetaan kytkentäfunktion totuustaulu • Halutaan funktion määrittelevä SOP-lauseke • Muodostetaan niiden minimitermien looginen summa, joille arvon 1 antavan rivin kohdalla funktion arvo on 1 • Tämä on kytkentäfunktion kanoninen SOP-lauseke • Esimerkki: A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ? 5 F(A, B, C) = m0 + m1 + m4 + m5 + m6 F(A, B, C) =  m (0, 1, 4, 5, 6)

11. F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) Funktion totuustaulua vastaava kanoninen POS • Tunnetaan kytkentäfunktion totuustaulu • Halutaan funktion määrittelevä POS-lauseke • Muodostetaan niiden maksimitermien looginen tulo, joille arvon 0 antavan rivin kohdalla funktion arvo on 0 • Tämä on kytkentäfunktion kanoninen POS-lauseke • Esimerkki: A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ? 6 F(A, B, C) = M2 · M3 · M7 F(A, B, C) =  M (2, 3, 7)

12. Tarvitsee laskea vain siihen asti, että arvo varmistuu! 1 F(0, 0, 0) = 0 (A + C) = 1 1 F(0, 0, 1) = 0 (A + C) = 1 0 F(0, 1, 0) = 1 (0 + 0) = 1 (1 + 0) = 0 0 F(0, 1, 1) = 1 (0 + 1) = 1 (1 + 1) = 0 1 F(1, 0, 0) = 0 (A + C) = 1 1 F(1, 0, 1) = 0 (A + C) = 1 1 F(1, 1, 0) = 1 (1 + 0) = 1 (0 + 0) = 1 0 F(1, 1, 1) = 1 (1 + 1) = 1 (0 + 1) = 0 Funktion lauseketta vastaava totuustaulu • Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä lauseke (mikä hyvänsä muoto) • Halutaan funktion totuustaulu • Sijoitetaan muuttujien arvot lausekkeeseen jokaisen rivin kohdalla erikseen • Lasketaan vastaavat funktion arvot • Esimerkki: F(A, B, C) = B (A + C) A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

13. 1 1 0 0 1 1 1 0 Funktion SOP-lauseketta vastaava totuustaulu • Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä SOP-lauseke • Halutaan funktion totuustaulu • Merkitään funktion arvoksi 1 riveille, joilla jokin tulotermi saa arvon 1 • Muille riveille merkitään arvoksi 0 • Esimerkki: F(A, B, C) = B + A C + A B C A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ? 7

14. 1 1 0 0 1 1 1 0 Funktion POS-lauseketta vastaava totuustaulu • Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä POS-lauseke • Halutaan funktion totuustaulu • Merkitään funktion arvoksi 0 riveille, joilla jokin summatermi saa arvon 0 • Muille riveille merkitään arvoksi 1 • Esimerkki: F(A, B, C) = (A + B) (B + C) (A + B + C) A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ? 8 Esittele DigiDemo- ohjelma

15. Yhteenveto • Kytkentäfunktioita voidaan muokata kytkentäalgebran teoreemoilla • Käytännössä tärkeät teoreemat ovat De Morganin kaavat • Kytkentäfunktio voidaan esittää kahdessa eri standardimuodossa: tulojen summamuodossa (SOP) ja summien tulomuodossa (POS) • Minimi- ja maksimitermeissä esiintyvät kaikki muuttujat • Minimitermien avulla esitetty SOP on kanoninen SOP • Maksimitermien avulla esitetty POS on kanoninen POS • Totuustaulusta saadaan helposti kanoninen SOP ja POS • Lausekkeesta saadaan totuustaulu sijoittamalla lausekkeeseen jokainen arvokombinaatio vuorollaan • SOP- ja POS-lausekkeista saadaan totuustaulu suoraan tulo- tai summatermi kerrallaan