Bootstrap w analizie szeregów czasowych

1. Bootstrap w analizie szeregów czasowych Robert Kozarski (SGH)

2. Bootstrap jest metodą zaproponowaną przez Bradley’a Efrona (Stanford University) w 1979 roku. Stosowana jest m.in. przy estymacji nieznanych (bądź trudnych do wyznaczenia) rozkładów statystyk poprzez wielokrotne próbkowanie z próby pierwotnej(Resampling)zgodnie z procesem generującym te dane(DGP - Data Generating Process).

3. Bootstrapy mogą być stosowane przy: • Estymacji punktowej i przedziałowej parametrów : • rozkładu zmiennej losowej • funkcji regresji • Wyznaczaniu postaci rozkładu zmiennej losowej (z histogramu empirycznego ) • Weryfikacji hipotez statystycznych Postać algorytmu bootstrapowego jest uzależniona od postaci procesu generującego dane

4. Teoria konieczna do sformułowania celu prezentacjidotyczy:- weryfikacji hipotez statystycznych- stacjonarnych szeregów czasowych- następstw występowania pierwiastka jednostkowego

5. Weryfikacja hipotez statystycznych metodą Monte Carlo i metodą bootstrap

6. Test DW Badamy hipotezę, że istnieje dodatnia autokorelacja składnika losowego w modelu postaci: Statystyka testowa ma postać:

7. Test DW metodą Monte Carlo i bootstrap: Wyznaczamy poziom empiryczny DW Wybieramy liczbę symulacji/replikacji B jaka chcemy wykonać, następnie : Dla MC losujemy z generatora N(0;1) B, n-elementowych wektorów reszt losowych b=1,2,...,B dla bootstrap: losujemy B razy niezależnie n-elementowe wektory reszt spośród elemetów wektora resztowego Wyznaczamy z równania : Wyznaczamy różnice : Dla każdego spośród B wektorów wyznaczamy poziom statystyki Wyznaczamy: gdzie I(.) jest funkcja wskazująca czy różnica pomiędzy statystyką z replikacji, a empiryczną jest dodatnia (wartość 1) lub ujemna (wartość 0). Jeśli p jest większa od założonego poziomu istotności to hipotezę przyjmujemy.

8. Stacjonarne szeregi czasowe i integracja

9. Szereg czasowy jest stacjonarny I(0) jeśli: Szereg czasowy jest zintegrowany w stopniu pierwszym I(1) jeśli własność stacjonarności posiadają pierwsze przyrosty czyli Inaczej Wartość oczekiwana: Wariancja: Kowariancja: Są to własności tzw. słabej stacjonarności szeregu (weak stationary) Większość ekonomicznych szeregów czasowych jest niestacjonarna

10. Testowanie występowania pierwiastka jednostkowego w szeregu czasowym

11. Jeśli DGP szeregu czasowego można przedstawić w postaci procesu autoregresyjnego pierwszego rzędu bez dryfu (bez stałej) AR(1): to mówimy, że szereg posiada pierwiastek jednostkowy jeśli współczynnik jest równy jeden i ma własności procesu błądzenia losowego (random walk). Jeśli szereg posiada pierwiastek jednostkowy to wiadomo, że szereg jest niestacjonarny i jego modelowanie może doprowadzić do zjawiska regresji pozornej (spurious regression).

12. Przykładowe procesy błądzenia losowego i ich pierwsze przyrosty

13. Niektóre testy pierwiastka jednostkowego Test Dickeya-Fullera (DF) Rozszerzony (augmeneted) test DF (ADF) Phillipsa i Phillipsa-Perrona

14. Test DF Test oparty jest na estymacji równania: Hipotezy mają postać: Odrzucenie hipotezy zerowej oznacza, że czyli jest stacjonarny. W przeciwnym przypadku proces jest generowany przez proces błądzenia losowego (random walk). Statystyka testu t-Studenta dla parametru nie ma rozkładu symetrycznego, którego wysymulowane wartości krytyczne są stablicowane natomiast nie jest znana postać analityczna rozkładu

15. Cel prezentacji:Zastosowanie bootstrapu jako alternatywy dla testów pierwiastka jednostkowego, dla szeregu którego DGP ma postać procesu AR(1) bez dryfu (bez stałej) i bez trendu, czyli bez zmiennej czasowej w modelu.

16. Zaproponowany (analityczny) estymator parametru ma postać:

17. Analiza symulacyjna • Wszystkie obserwacje są generowane przez proces AR(1), z N(0;1) rozkładem reszt modelu • Poziomy współczynników procesu: 0,7; 0,8; 0,9; 0,95; 0,99; 1,0 • n=1000, B=1000

18. Wnioski z analiz symulacyjnych

19. Dziękuje za uwagę