Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy?

1. Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy? Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

2. Problem Powiedzmy, że interesuje nas odpowiedź na następujące pytanie: W latach 1985-94 obserwujemy wartość pewnej cechy, np. wielkość produkcji telewizorów w tys. sztuk. Dane empiryczne zobaczymy na kolejnym slajdzie. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

3. Problem – dane empiryczne Dane te tworzą szereg czasowy (inaczej chronologiczny). Szereg czasowy, to zbiór wyników postaci (t, yt) uporządkowany rosnąco wg czasu. Czas w szeregu czasowym odgrywa rolę zmiennej niezależnej Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

4. Problem – inna postać danych Bez szkody dla istoty problemu, a dla całkowitej zgodności z definicją szeregu czasowego przekształcamy czas tak, aby przypisać mu kolejne wartości naturalne 1, 2, 3 itd.. Interesuje nas teraz pytanie, czy możemy uznać, że trend tego zjawiska można przedstawić jako wykładniczą funkcję czasu? Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

5. Problem – próba odpowiedzi Można oczywiście oszacować (korzystając z Excela) wykładniczy model trendu na podstawie danych z poprzedniego slajdu. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

6. Próba odpowiedzi Jak widzimy trend wykładniczy dość dobrze opisuje badaną zależność, ale z tego jednoznacznie nie wynika, że powinniśmy zastosować właśnie model wykładniczy. W przypadku szeregu czasowego (szerzej: wtedy, gdy x zmieniają się o stałą wartość) i konieczności sprawdzenia, czy związek między y a czasem (x) jest wykładniczy możemy skorzystać z bardzo prostej własności funkcji wykładniczej. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

7. Własność funkcji wykładniczej Załóżmy, że między y a zmienną t jest związek wykładniczy postaci: Przyrost absolutny wartości funkcji wykładniczej dla argumentu t i t-1 jest równy: dla t=2, 3, …, n Jak widzimy przyrost absolutny nie jest stały, lecz jest funkcją czasu. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

8. Własność funkcji wykładniczej (2) Mając przyrosty absolutne możemy wyznaczyć przyrosty względne wartości funkcji w punkcie t: dla t=2, 3, …, n Z powyższego wynika, że w przypadku zależności wykładniczej przyrosty względne zmiennej y-ek są STAŁE (nie są funkcją zmiennej t) Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

9. Rozwiązanie Wykorzystując podaną na poprzednim slajdzie zależność wyznaczamy dla naszych danych przyrosty absolutne zmiennej y dla kolejnych wartości czasu: A następnie przyrosty względne: Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

10. Rozwiązanie – dane wyjściowe,przyrosty bezwzględne i względne Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

11. Obliczenie przyrostów-formuły Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

12. Rozwiązanie – estymacja pomocniczego modelu Wykorzystując dane z kolumny A i D arkusza przedstawio-nego na slajdzie 10 (bez pozycji i=1) będziemy estymować model z zamiarem wykazania, że parametr b jest równy ZERO Zrobimy to poprzez weryfikację hipotezy H0:b=0.W sytuacji, gdy nie będziemy mieli podstaw do odrzucenia H0:B=0 będziemy mogli uznać, że przyrosty względne y-ka są STAŁE, a tym samym y-ek zależy wykładniczo od czasu! Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

13. Rozwiązanie numeryczne (1) Do obliczeń wykorzystamy procedurę Liniowa z menu Regresja arkusza StatystykaJG.xls. Przed wywołaniem tej procedury musimy przygotować spójny obszar danych dla zmiennej niezależnej (czasu) jak i zmiennej zależnej (przyrostów względnych d(y)). Zaczniemy od wyselekcjonowania komórki A1, a następnie przy wciśniętym klawiszu Ctrl selekcjonujemy obszar A3:A11, komórkę D1 oraz obszar D3:D11. Zaznaczone obszary pokazane są na kolejnym slajdzie. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

14. Rozwiązanie numeryczne (2) – zaznaczone obszary arkusza Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

15. Rozwiązanie numeryczne (3) – skopiowanie danych w inne miejsce Korzystając z dowolnej metody umieszczamy zaznaczony fragment arkusza w schowku Windows Zawartość schowka wkleimy w innym miejscu arkusza, może to być przykładowo obszar zaczynający się komórką G1 Po ustawieniu kursora w tej komórce wywołujemy polecenie Wklej specjalnie i wybieramy opcję Wartości – jest to konieczne z uwagi na formuły w zaznaczeniu. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

16. Rozwiązanie numeryczne (4) – dane skopiowane Dane z obszaru G1:H10 zostaną wykorzystane w procedurze Liniowa Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

17. Obliczenia – wskazanie danych wyjściowych Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

18. Uruchomienie obliczeń Pytanie o kontynuację obliczeń – odpowiadamy Tak Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

19. Wyniki weryfikacji H0:b=0 W obszarze M3:N3 mamy dolny i górny kraniec przedziału ufności dla wsp. regresji b – krańce są różnych znaków, co oznacza, że zero należy do tego przedziału, tym samym nie ma podstaw do odrzucenia H0 Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

20. Podsumowanie badania, czy przyrosty względne są stałe (1) Na slajdzie 19 wskazałem, że z uwagi na fakt, że zero należy do przedziału ufności dla współczynnika regresji b NIE MAMY podstaw do odrzucenia H0:b=0 wobec H1:b<>0 Analogiczny wniosek możemy sformułować wykorzystująć statystykę F –Fishera dla weryfikacji tej samej hipotezy. W komórce N7 mamy p-value, jego wartość jest większa niż domyślne alfa=0,05 Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

21. Podsumowanie badania, czy przyrosty względne są stałe (2) Fakt, że nie mamy podstaw do odrzucenia H0:b=0 wobec H1:b<>0 przy rozpatrywaniu modelu Oznacza, że przyrosty względne zmiennej y-ek są stałe, co automatycznie wskazuje na związek wykładniczy między zmienną y-ek a czasem t Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

22. Co dalej? Pozostaje nam estymacja modelu wykładniczego Jest to jednak model krzywoliniowy, przed jego estymacją musimy go linearyzować. Logarytmując obustronnie mamy: Co pozwala już na użycie standardowej procedury estymacji modelu liniowego Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

23. Przygotowanie danych do estymacji modelu wykładniczego W kolumnie C są logarytmy danych z kolumny B, do estymacji wykorzystamy dane z obszaru A1:A11 oraz C1:C11 Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

24. Estymacja – wskazanie danych Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

25. Estymacja – wykresy i badanie założeń Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

26. Pytanie o kontynuację obliczeń… Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

27. Wyniki estymacji w nowym arkuszu Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

28. Ocena wyników estymacji (1) Test serii został wykorzystany do zweryfikowania hipotezy, że zależność między ln(y) a czasem jest liniowa. Wniosek jest oczywisty – wynika bowiem z naszych wcześniejszych rozważań dotyczących ustalenia, czy y-ek zależy wykładniczo od czasu Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

29. Ocena wyników estymacji (2) Pokazane są wyniki badania założeń o normalności reszt losowych i braku autokorelacji – w obu przypadkach założenia są spełnione. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

30. Ocena wyników estymacji (3) Mamy oceny parametrów modelu wraz z ich błędami oraz 95% przedziałami ufności oraz wyniki weryfikacji hipotezy o istotności regresji (H0:b=0 vs H1:B<>0). Hipotezę H0 odrzucamy, tym samym istnieje istotny liniowy związek między ln(y) a czasem. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

31. Ocena wyników estymacji (4) Model ln(y)=ln(a)+bt jest istotny statystycznie, możemy więc podać interpretację współczynnika regresji b: Jeżeli czas wzrośnie o jednostkę, to ln(y) średnio wzrośnie o 0,20 jednostki. Uwzględniając przedział ufności dla współczynnika regresji można rozszerzyć ten wniosek do postaci:z 95% ufnością mamy prawo oczekiwać, że przy wzroście czasu o jednostkę ln(y) średnio wzrośnie o nie mniej niż 0,15 jednostek, ale nie więcej niż o 0,25 jednostek. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

32. Ocena wyników estymacji (5) Procedura Liniowa zwróciła także wartości współ-czynników korelacji i determinacji. Temu ostatniemu można nadać następującą interpretację: zmienność ln(y) w prawie 91% jest wyjaśniona upływem czasu. Na slajdzie pokazana jest także macierz, którą wykorzystamy do prognozy. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

33. Ocena wyników estymacji (6) Procedura Liniowa wyprowadza także pokazane wyżej wyniki, mamy tu czas, obserwowane wartości Y (u nas ln(y)), wartości teoretyczne wynikające z modelu, oraz przedziały ufności i predykcji oraz reszty. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

34. Ocena wyników estymacji (7) Na podstawie danych z poprzedniego slajdu przygotowany jest pokazany niżej wykres. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

35. Retransformacja wyników (1) Wszystkie pokazane dotychczas wyniki estymacji jak i sformułowane wnioski dotyczą cechy ln(y) a nie samego y-ka. Niżej pokazane są dane ze slajdu 33 po retransformacji, czyli po powrocie do cechy y-ek. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

36. Retransformacja wyników (2) Poniżej wykres zrobiony „ręcznie” na podstawie danych retransformowanych. Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

37. Prognoza przyszłych wartości (1) Wykorzystamy teraz wyestymowany model do wyznaczenia prognozowanej wielkości produkcji telewizorów w kolejnym roku, czyli w 1995 roku. Precyzyjnie będziemy prognozować logarytm naturalny przewidywanej wielkości produkcji, ale po retransformacji będziemy mogli wrócić do rzeczywistej wielkości produkcji w 1995 roku. Prognozę wykonamy w tym arkuszu, w którym procedura Liniowa zwróciła wyniki estymacji modelu d(y)=ln(a)+bt Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

38. Prognoza przyszłych wartości (2) Do prognozy wykorzystamy dane z zaznaczonych obszarów … Oraz obszar A43:A44, gdzie wpisałem etykietę oraz wartość czasu w 1995 roku Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

39. Prognoza przyszłych wartości (3) Do wykonania prognozy wykorzystam procedurę Prognozowanie z menu Regresja Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

40. Prognoza przyszłych wartości (4) Procedura Prognozowanie zwróciła wyniki w obszarze B43:H44, od wiersza 46 zapisałem wyniki prognozy po retransformacji. Z 95% pewnością mamy prawo oczekiwać, że wielkość produkcji w 1995 roku będzie nie mniejsza niż 14,51 tys. sztuk, ale nie większa niż 45,52 tys. sztuk Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie