Tudás és tévedés, tudás és nem-tudás megkülönböztethetősége a matematikában Dr. Tanács János

1. Tudás és tévedés, tudás és nem-tudás megkülönböztethetősége a matematikában Dr. Tanács János BME Filozófia és Tudománytörténet Tsz. BME-MTA-TKI Tudománytörténet és Tudományfilozófia Kutatócsoport MTA Filozófiai Kutatóintézet nego@freemail.hu nego@primposta.hu nego@filozofia.bme.hu

2. Az euklideszi Ötödik, azaz párhuzamossági posztulátum ún. direkt bizonyítási kísérleteinek tipikus történeti sémája • A geométer előállít egy közvetlen bizonyítást, és boldogan hal meg abban a tudatban, hogy megmutatta: az ÖP levezethető a maradék axiómarendszerből. • Jön egy másik matematikus, aki megmutatja, hogy az előző a bizonyítás során hallgatólagosan feltételezett egy olyan axiómát, ami maga is bizonyításra szorul, azaz ekvivalens az ÖP-vel. • Majd előállít egy közvetlen bizonyítást… • A hiba: a körben forgó okoskodás, azaz a petitio principii hibája. • A bizonyítás során hallgatólagosan felhasznált állítás „feltételezi” a bizonyítandót (vagy egy vele ekvivalens állítást). • Ennélfogva a bizonyítás nem bizonyítja a bizonyítandót.

3. A 5P ún. indirekt bizonyítási kísérleteinek tipikus történeti sémája • Az indirekt bizonyítások tipikus történeti sémája (a változatosság kedvéért): • A geométer előállít egy indirekt bizonyítást, és boldogan hal meg abban a tudatban, hogy megmutatta: az ÖP tagadása cáfolható az ún. maradék axiómarendszer segítségével (pld. Saccheri 1733: • Jön egy másik matematikus, aki úgy látja, hogy a cáfolat nem kényszerítő erejű. • 3. Majd előállít egy másik indirekt bizonyítást… Az 5P ún. helyettesítési-egyszerűsítési kísérleteinek tipikus történeti sémája Cél: Az 5P-nél egyszerűbb, a szemlélet számára könnyebben felfogható, evidensebb axiómát találni és azzal kell helyettesíteni. Például olyannal, amely nem hivatkozik (nem támaszkodik) a végtelenre, a végtelen meghosszabbítás során létrejövő jelenségekre. Clavius (1574), Wallis (1663), Gauss (1799), Bolyai Farkas (1820, 1851)

4. Az osztálytermi megismerő episztemológiai problémája • A Külvárosi Tankör középiskolában folytatott matematikaoktatás során megfigyelt jelenség filozófiai általánosítása. • Az osztálytermi megismerő ismeretelméletileg hasonló helyzetben van, mint az 5P különböző megoldási módszereivel kísérletezők, ezért problémáját nem célszerű bagatellizálni, illetve szembeállítani a tudós, matematikus prb.-jével. • Problémája az, hogy hogyan tud különbséget tenni a helyes és helytelen eredmények között, azaz azok között, amelyek hibátlanok, és azok között, amelyek nem. • Az igazán komoly problémát a nyílt végű feladatok pld. átalakítások jelentik, ahol a végeredmény nem ellenőrizhető oly módon, hogy visszahelyettesítjük a kiinduló egyenletbe, szemben a zárt végű feladatokkal.

5. Miért baj az, ha nem tudunk? • Mi a garanciánk arra, hogy a térképszínezési négyszín-probléma Appel- Haken-Koch-féle számítógépes bizonyítása valóban helyes eredményt adott-e, azaz a tétel valóban, objektíve igaz; • vagy esetleg igaz, de nem a számítógépes bizonyítás miatt, mert abban hiba van; • vagy nem is igaz a tétel? • Általánosítva: honnan tudjuk, honnan tudhatjuk hogy matematikai eredményeink helyesek, tételeink objektíve igazak? • Tudunk-e kritériumot adni tudás és nem-tudás, tudás és tévedés megkülönböztethetőségére? • Ha nem, akkor az Örök Matematikai (Objektív) Igazságok megkülönböztethetetlenek maradnak a tévedésektől, hamisságoktól, azaz • nem lesz garanciánk arra, hogy utóbbiak nem konzerválódnak éppúgy az örökkévalóság számára, mint az előbbiek?

6. Nézzük a problémát a filozófiai tudáskoncepciók felől • A következőkben csak az ún. háromkomponensű „igazolt igaz hit” (I2H) tudásfelfogással foglalkozom. • Eszerint: Sszubjektum akkor és csak akkor tudja, hogy p, ha: • (1)   S szubjektum hiszi, hogy p, • (2)   S igazoltan hiszi, hogy p, • és p igaz. • E tudásfelfogás számunkra fontos jellemezői: • Individualista • a 17. századi ismeretelméleti hagyománynak megfelelően („a megismerő minden tapasztalatot maga szerez meg, minden következtetést maga végez el, minden információra ő emlékezik”) • Objektivista • Megkülönbözteti és szétválasztja a megismerő és az ismeretelmélész nézőpontját: az S szubjektum a megismerő, míg az őt vizsgáló ismeretelmélész nézőpontja egyes szám harmadik személyű.

7. Lehet-e az individualizmust és objektivizmust koherensen egyesíteni? • Az individualizmus következetes végigvitele • Egyszemélyes, egyetlen megismerőt feltételező univerzumban nincs külön megismerő és külön ismeretelmélész, nincs két különböző perspektíva („Szereti a tik meggyet, ketten vagyunk mi egyek…”) • Az objektíve, E/3-ban megfogalmazott, filozófiai elemzéssel előállított tudáskritériumnak működnie kell E/1-ben is, pontosabban: azt kell vizsgálnunk, hogy működik-e? • A kérdés az, hogy az E/3 → E/1 átmenetben megőrződik-e a tudáskoncepció diszkriminativitása, azaz a tudás és nem-tudás megkülönböztethető marad-e?

8. Lehet-e az individualizmust és objektivizmust koherensen egyesíteni? • Összefoglalva: az előbbiek valamely tudásdefinícióval kapcsolatban általánosan annak követelményeként fogalmazhatók meg, hogy: • a tudás és nem-tudás, tudás és tévedés eseteinek egyes szám első személyű nézőpontból is megkülönbözethetőnek kell lennie, azaz • saját hiteink halmazán is diszkriminatívan működik. • Az I2H tudáskoncepcióra specifikusan: • (1)   hiszem, hogy p, • (2)   igazoltan hiszem, hogy p, • (3) és p igaz. • (Megj.: • 1. Ez nem puszta szubjektivizmus (ám ha az lenne, akkor is I2H individualizmusának és objektivizmusának problémáját, összeegyeztethetetlenségét mutatná. • 2. Polányi Mihály-féle személyes tudás fogalmával rokon: a megismerő olyan követelményeknek rendelődik alá, amelyeket önmagától függetlennek ismer el, ezért tudása nem szubjektív (ennyiben tehát objektív); de mivel a megismerő saját, szubjektív perspektívájából hozzáférhető tudásáról van szó, nem is objektív.

9. A személyes tudás és nem-tudás • Nem triviálisan üres – tudás és nem-tudás bizonyos esetei megkülönböztethetők: • a Fermat-tételről hihetem, hogy igaz, de mivel nincs róla igazolásom, ezért e felfogás fényében tudhatom, hogy nem rendelkezem róla/vele kapcsolatban tudással. • De mi a helyzet a (2) és (3) feltétellel? • Hogyan tudhatok különbséget tenni aközött, hogy •  igazolás révén hiszem, hogy p igaz, és valóban igaz, • vagy p valójában hamis? • Hogyan tudhatom megkülönböztetni az igazolás végeredményét az objektív igazságtól vagy hamisságtól, • azaz a kettő egybeesését vagy különbözését megkülönböztetni, hiszen az igazolás célja az, hogy igazságot szolgáltasson p-t illetően, hozzáférjen p-hez, beleértve igazságértékét is. • (V. ö. gyakorló tudós/matematikus, 5P megoldásával kísérletezők, osztálytermi megismerő helyzeteinek azonosságával.)

10. A személyes tudás és nem-tudás • A baj az, hogy az igazolási eljárásba szövődő hiba következtében éppen azt nem tudom, hogy • az igazolási eljárás elérte-e az objektív, tőlem, első személyű perspektívámtól függetlennek tekintett igazságot, • vagy a hiba látens jellege miatt nem. • Mivel p igazságát mind az osztálytermi megismerő (diák), mind az alkotó matematikus számára az igazolási eljárás szolgáltatja, ezért az episztemológiai és metodológiai individualizmuson belül, azaz • egyetlen megismerőt és egyetlen módszert feltételezve nincs lehetőség a tudás és a tévedésből fakadó nem-tudás megkülönböztetésére.

11. Konzekvenciák, kiutak és pragmatikus javaslatok • A módszertani individualizmus feladása • Redundáns, alternatív, független igazolási eljárásokon keresztül történő ellenőrzés: • bizonyságot nem, csak lehetőséget, valószínűséget „garantál”, • az egyes igazolási eljárások végeredményei egymásra vonatkoztatva lehetnek diszkriminatívak, • a különbség biztosan informatív: • tájékoztat arról, hogy valamelyik igazolási eljárás és végeredménye (igazságértéke) objektíve téves.

12. Konzekvenciák, kiutak és pragmatikus javaslatok 2. • Az episztemológiai individualizmus feladása • Nyitás a lényegileg kollektív megismerés felé: • a tudás ellenőrzése egyenrangú megismerői státuszban lévő individuumok által alkotott közösség tevékenysége, •  az egyes különböző megismerők igazolási eljárásainak végeredményei lehetnek egymásra vonatkoztatva diszkriminatívak, • a különbség biztosan informatív: • tájékoztat arról, hogy valamelyik megismerő által kivitelezett, végrehajtott igazolási eljárás és végeredménye (igazságértéke) objektíve téves, •  az ily módon szavatolt diszkriminativitás azonban a megismerők episztemológiai felcserélhetetlenségét feltételezi! • hiszen a felcserélhető, episztemológiailag uniform, behelyettesíthető megismerők által kivitelezett igazolási eljárások végeredményei elvileg sem lehetnek egymásra vonatkoztatva diszkriminatívak, • az objektivitás értelme így a tudás és tévedés interszubjektive létrejövő megkülönböztethetősége: • ez az interszubj. azonban redukálhatatlan az episzt. felcserélhetetlen megismerők közötti interszubjek.-ra, és így az episzt. individualizmusra is.

13. Konzekvenciák, kiutak és pragmatikus javaslatok • Konzekvenciák a matematikatanítás számára: • Ad 1.: Törekvés az individuális és kollektív tudásellenőrzési szituációk kiegyensúlyozására, vagy egyáltalán szerephez juttatására. • Ad 2.: Az individuális megismerő (diák) számára: az ellenőrzés/áttekintés ne ugyanazon lépések ismétlése legyen (legalább vizuálisan ne kövesse a kérdéses feladatmegoldást.)