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TEMA 9 PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS MODULARES. 1. PROPORCIONALIDAD. La razón entre dos cantidades. Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente entre ellas. Es decir, debemos dividir una cantidad entre la otra.
E N D
La razón entre dos cantidades. • Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente entre ellas. Es decir, debemos dividir una cantidad entre la otra. Así cuando queremos obtener la razón entre un segmento de 5cm y otro de 10cm diremos que el primero es ½ del segundo o el segundo 2 veces el primero. 5cm 10cm
Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales. (1) • Para dividir un segmento AB en partes iguales, se traza desde A una semirrecta t en una dirección cualquiera. • Luego, a partir de A, se marcan tantas divisiones iguales como partes en que queremos dividir el segmento AB.
Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales. (2) • Desde la última marca se traza una recta hasta el extremo B del segmento. • A continuación se trazan paralelas a esta recta que pasen por cada una de las marcas.
Teorema de la altura: determinación de la media proporcional (1) • Dados dos segmentos de longitudes a y b, la media proporcional de ambos x, es el segmento que cumple la relación a/x = x/b. • Se traza un segmento AB = a + b y se encuentra su punto medio.
Teorema de la altura: determinación de la media proporcional (2) • Con centro en O, se traza una semicircunferencia de radio OA. • Desde P se eleva una perpendicular que corta a la circunferencia en C. El segmento buscado x es la recta PC.
La proporción áurea. • Dos segmentos a y b tienen una proporción áurea cuando la razón a/b tiene un valor aproximado de 1,618. • Esta proporción aparece en la naturaleza muy frecuentemente.
El hombre ha utilizado frecuentemente la sección áurea en publicidad, arte y en los más diversos ámbitos.
Trazado de la sección áurea de un segmento (1) • Se traza el segmento AB y se halla su punto medio O. • Por el extremo B se levanta su perpendicular.
Trazado de la sección áurea de un segmento (2) • Con centro en B y con radio OB, se traza un arco que corta a la perpendicular en el punto C. • Se une C con A.
Trazado de la sección áurea de un segmento (3) • Con radio CB, se traza un arco desde C que corte a la recta AC en el punto D. • Con centro en A y radio AD se traza un arco que corte a AB en E Este punto es el que divide al segmento AB de modo que AE es su sección áurea.
La razón entre dos cantidades. • Decimos que dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden todos sus lados y ángulos. • Para construir una figura igual a otra se usan diversos procedimientos: • Traslación. • Giro. • Triangulación. • Transporte de ángulos. • Reproducción de coordenadas.
Traslación (1). • Dada la figura ABCDE se traza una paralela por cada uno de sus vértices. Cada paralela debe tener la misma medida.
Traslación (2). • Se unen los extremos de las paralelas que hemos trazado, todas con la misma medida.
Giro (1). • Nos dan una figura ABCDE y un punto cualquiera O que va a ser el centro de giro. También nos dan el ángulo que vamos a girar dicha figura.
Giro (2). • Con centro en O giramos el punto A tantos grados como nos indique el ángulo que nos han dado hasta obtener A´.
Giro (3). • Luego trasladamos de igual modo el resto de los puntos de la figura. Finalmente unimos los puntos.
Triangulación (1). • Dada la figura ABCDE se trazan diagonales a partir de un punto de modo que la figura quede dividida en triángulos en su interior.
Triangulación (2). • Se traza el lado A´B´ paralelo a AB.
Triangulación (3). • A partir de los puntos A´ y B´ se trasladan las medidas de los lados AC y BC en cuya intersección estará el punto C.
Triangulación (4). • Se une A´ y B´ con C´.
Triangulación (5). • Se une A´ y C´ con D´.
Triangulación (6). • Finalmente hallamos E´ a partir de A´ y D´.
Transporte de ángulos (1). • Dada la figura ABCDE trazamos el lado A´B´ paralelo a AB.
Transporte de ángulos (2). • Copiamos el ángulo  en A´. Después copiamos la medida del lado AE.
Transporte de ángulos (3). • Repetimos la operación copiando los ángulos Ḃ y Ê.
Transporte de ángulos (4). • Por último unimos C´ y D´.
Reproducción de coordenadas (1). • Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes de coordenadas.
Reproducción de coordenadas (2). • Se copian primero los puntos A´ y C´ que están situados sobre los ejes.
Reproducción de coordenadas (3). • Se trazan perpendiculares a los ejes por los puntos D y B y se copian en el segundo eje de coordenadas.
Reproducción de coordenadas (4). • Se traza la figura uniendo los puntos.
3. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE FIGURAS: SIMETRÍA Y SEMEJANZA
Simetría. • La simetría es una relación entre dos figuras, en la que cada punto de la primera se corresponde con otro de la segunda, de modo que ambos están a la misma distancia de un eje o de un centro. • A continuación aprenderemos a construir figuras con: • Simetría axial. • Simetría central.
Simetría axial (1). • Se produce cuando dos puntos simétricos A y A´ están situados en una misma recta perpendicular a otra, llamada eje de simetría, y con contrapuestos y equidistantes a éste.
Simetría axial (2). • Dada la figura ABCDE construcción de una figura simétrica a ésta.
Simetría axial (3). • Se trazan líneas perpendiculares al eje que pasen por cada uno de los vértices de la figura.
Simetría axial (4). • Sobre las perpendiculares trazadas se transportan las medidas, de modo que las distancias de los vértices A, B, C, D y E al eje sean iguales a las distancias del eje a los vértices A´, B´, C´, D´ y E´.
Simetría axial (5). • Se construye la figura uniendo los puntos obtenidos.
Simetría central (1). • La simetría central o respecto a un punto es la que tienen dos puntos A y A´ situados en una linea recta que pasa por un punto, llamada centro de simetría, y que están contrapuestos y a la misma distancia de dicho punto.
Simetría central (2). • Dada la figura ABCDE construcción de una figura simétrica a ésta.
Simetría central (3). • Se trazan rectas desde cada vértice de la figura al centro de simetría y se prolongan.
