Analiza szeregów czasowych

1. Analiza szeregów czasowych dr Małgorzata Radziukiewicz

2. Szereg czasowy • Szereg czasowy (chronologiczny) zbiór wartości badanej cechy lub wartości określonego zjawiska zaobserwowanych w różnych momentach (przedziałach) czasu uporządkowany chronologicznie

3. Szeregi czasowe dotyczące zjawisk społeczno-ekonomicznych - nakład książek i broszur w latach 1990-1997 (w mln egz.); - wartość produkcji w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 (w mld zł.); - produkcja energii elektrycznej w latach (w mln kWh); - skup mleka w woj. poznańskim w latach 1989 -1995(w mln litrów); - liczba zawartych małżeństw w Polsce w latach 1989 – 1993 (w tys.) itp.. Przykłady szeregów czasowych

4. Szeregi czasowe • Szeregi czasowe dotyczące zjawisk społeczno-ekonomicznych można przedstawić w formie graficznej – elementy szeregu prezentowane są przez punkty płaszczyzny o współrzędnych (t,y), które łączy się odcinkami linii prostej

5. nakład książek i broszur w latach 1990-1997 (w mln egz.) • W badanym 8-elementowym szeregu czasowym występuje składowa systematyczna w postaci trendu oraz wahania przypadkowe. • Ocena wzrokowa wykresu wskazuje, ze do opisu przebiegu zmiennej można wykorzystać funkcję liniową

6. nakład książek i broszur w latach 1990-1997 (w mln egz.) • Parametry modelu liniowego oszacowano MNK. Obliczenia związane z szacowaniem parametrów linii trendu, wyznaczeniem miar „dobroci”dopasowania, prognozy punktowej i prognozy przedziałowej, błędów prognoz zawarte są w prezentacji pt. ”Szeregi czasowe”. • Wartości rzeczywiste i teoretyczne zmiennej przedstawia rysunek obok.

7. wartość produkcji w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 (w mld zł.) • Ocena wzrokowa wykresu wskazuje, ze w badanym szeregu czasowym występuje składowa systematyczna w postaci trendu rosnącego oraz wahania przypadkowe. • Wzrost wartości zmiennej jest jednak coraz szybszy. W takim przypadku możemy zastosować funkcję o rosnącym tempie wzrostu, np. funkcję wykładniczą. • Wykładniczą funkcję trendu sprowadza się do postaci liniowej przez logarytmowanie, a następnie szacuje się jej parametry za pomocą MNK – zob. prezentację pt. ”Wykładniczy model trendu”. • Wykresy przedstawiają wartości rzeczywiste, teoretyczne i prognozy zmiennej

8. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Analiza wzrokowa wykresu wartości zmiennej prognozowanej wskazuje, że zużycie energii w firmie cechuje się liniową tendencją rozwojową oraz wahaniami sezonowymi. • Zadanie: wyznaczyć prognozy zużycia energii na następne dwa kwartały 2008 roku.

9. Analiza szeregów czasowych • Poziom zjawiska gospodarczego, które odzwierciedla szereg czasowy, wykazuje różnego rodzaju zmiany: • zmiany określające pewien ogólny kierunek (tendencję rozwojową) czyli tzw. trend; • wahania cykliczne, czyli koniunkturalne (wahania o kresie dłuższym niż rok, które z grubsza odpowiadają cyklom koniunkturalnym); • wahania sezonowe powtarzające się periodycznie w pewnych określonych porach każdego roku lub miesiąca; • wahania nieregularne (które trudno zanalizować i ująć w pewien określony schemat): • wahania katastrofalne spowodowane przez zdarzenia historyczne (wojna, katastrofy żywiołowe, epidemie); • wahania przypadkowe będące wynikiem działania wielkiej liczby przyczyn ubocznych.

10. Analiza szeregów czasowych • Rys.1. Składowe szeregu czasowego Yt wahania cykliczne wahania sezonowe trend wahania przypadkowe czas

11. Analiza szeregów czasowych • Każdą obserwację szeregu czasowego możemy więc rozłożyć na trzy składniki lub czynniki: - trend (T); - sezonowość (S); - składnik przypadkowy (U). • Charakter powiązań między trendem, sezonowością i zmiennością losową w szeregach: • - powiązania addytywne: • - i multiplikatywne: • gdzie: • yt - obserwacje szeregu czasowego • Tt - trend i wahania cykliczne • St - sezonowość • Ut - zmienność o charakterze losowym (czynnik przypadkowy). • Subskrypt t oznacza, że analizujemy zachowanie się zjawiska w czasie.

12. Analiza szeregów czasowych • Analiza statystyczna może dotyczyć wszystkich składników szeregu czasowego. • Zwykle dąży się do wyodrębnienia poszczególnych składników szeregu czasowego i pomiaru ich wielkości – dlatego analizę szeregu czasowego określa się jako jego „dekompozycję”. • W celu „dekompozycji” szeregu stosuje się wiele różnych metod statystycznych. • Wyznaczenie z szeregu trendu jest najprostsze. • Zadanie wyznaczenia trendu – funkcji f(t) – jest nazywane wygładzaniem (wyrównywaniem) szeregu czasowego. • Możemy tego dokonać stosując jedną z dwóch metod: • - metodę analityczną (modelowanie rozwoju zjawiska z uwzględnieniem analizy regresji – określamy postać funkcji charakteryzującą tendencję rozwojową szeregu i wyznaczamy jej parametry); • - metodę mechaniczną.

13. Analiza szeregów czasowych • Metoda analitycznego wyrównywania szeregów polega na założeniu, że jego tendencję rozwojową (trend) da się przedstawić na wykresie za pomocą pewnej linii matematycznej np. prostej, krzywej wykładniczej itp. o określonym wzorze analitycznym. • Metoda analitycznego wyrównania opiera się na dwóch rodzajach dowolnie przyjętych założeń: • krzywa, którą uważa się za najlepsze wyrównanie szeregu ma określony z góry charakter analityczny; • mogą istnieć różne kryteria, na podstawie których ocenia się "najlepsze dopasowanie krzywej" do wykresu danego szeregu. • Jeżeli oba założenia zostaną ustalone, poszukiwana krzywa jest określona jednoznacznie i wyznaczenie jej analitycznego wzoru jest tylko sprawą rachunkową. • Po wyborze postaci funkcji trendu i oszacowaniu jej parametrów, dokonuje się oceny jakości otrzymanego modelu. • Model wykorzystujemy do sporządzania prognoz.

14. Analiza szeregów czasowych • Przyszłą wartość zmiennej Y uzyskuje się przez ekstrapolację funkcji trendu tj. przez podstawienie do modelu w miejsce zmiennej czasowej numeru momentu lub okresu T, na który wyznaczamy prognozę:

15. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Rozważamy przypadek, gdy w szeregu czasowym występują wahania sezonowe. • Odpowiedni model musi więc zawierać parametry i zmienne charakteryzujące te wahania w poszczególnych fazach tego cyklu. • Dla uproszczenia rozważań i zapisu rozpatrujemy zjawisko o rocznym cyklu wahań z kwartałami jako fazami tego cyklu.

16. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Zakładając, że funkcja trendu jest liniowa a wahania okresowe (kwartalne)nakładają się na tendencję rozwojową w sposób addytywny sformułujemy model następująco: • gdzie: Xt,i (i=1,2,3,4; t=1,2,3…,n) są zmiennymi zero-jedynkowymi reprezentującymi poszczególne fazy cyklu

17. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Zmienne zero-jedynkowe: • Parametry stojące przy zmiennych zero-jedynkowych (λi) charakteryzują absolutną wielkość wahań okresowych w poszczególnych kwartałach. • Założenia dotyczące składnika losowego εt są takie same jak w modelu nie uwzględniającym wahań okresowych.

18. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Kolumny macierzy X są liniowo zależne

19. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • W modelu należy jedną spośród zmiennych przedstawić jako kombinację pozostałych (oznacza to eliminację tej zmiennej). • Zastąpimy zmienną Xt,1 przez kombinację liniową otrzymaną z zależności:

20. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • W wyniku podstawienia model (1) przyjmie następującą postać:

21. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Model tendencji rozwojowej z liniową funkcją trendu oraz wahaniami sezonowymi przyjmie zatem postać: • gdzie : yt – poziom zjawiska w okresie t, • - stała, • - parametr przy zmiennej czasowej, • - parametr przy zmiennej Xt,i εt – składnik losowy dla okresu t

22. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Przyjmując odnośnie do rozkładu εt takie same założenia jak w klasycznym modelu regresji, uzyskujemy podstawę do szacowania parametrów funkcji trendu za pomocą MNK. • dane niezbędne do obliczeń: X – macierz wartości zmiennych objaśniających (kolumny są liniowo niezależne) Y- wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y

23. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • wektor ocen parametrów modelu trendu z wahaniami sezonowymi • obliczamy ze wzoru:

24. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Wybrane wyniki (obliczenia w Excel) wskazują, iż model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki φ2 i V przyjmują wartości bardzo małe):

25. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Model zużycia energii elektrycznej w firmie jest postaci: • interpretacja: • 2,569 – jest oceną wyrazu wolnego modelu (7) na który składa się wyraz wolny i odchylenie okresowe dla I kwartału z modelu w postaci wyjściowej (5); • 0,106 – ocena współczynnika trendu, wyraża tendencję rozwojową zużycia energii elektrycznej i jest interpretowany jako średni kwartalny wzrost zużycia energii w firmie (w mln kWh) w latach 2005-2007; • 0,994- ocena parametru stojącego przy zmiennej Xt,2 reprezentuje odchylenie sezonowe zużycia energii dla II kwartału w porównaniu z I kwartałem. Oznacza, że z tytułu wahań sezonowych zużycie energii w firmie w II kwartale każdego roku jest wyższe o 0,994 mln kWh od zużycia w I kwartale; • Podobnie (jak ocenę parametru stojącego przy zmiennej Xt,2 ) interpretuje się oceny 0,187 i 1,548 parametrów przy Xt,3 oraz Xt,4 .

26. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh) • Prognoza zużycia energii w firmie: • w I kwartale 2008 roku • w II kwartale 2008 roku

27. zużycie energii elektrycznej w firmie latach 2005 - 2007(w mln kWh)