320 likes | 452 Views
Regels bij kansrekeningen. aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten. Kansdefinitie van Laplace. P ( G ) =. Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P ( G 1 of G 2 ) = P ( G 1 ) + P ( G 2 ).
E N D
Regels bij kansrekeningen aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansdefinitie van Laplace P(G) = Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). ComplementregelP(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2). Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.
Voorbeeld somregel • In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, • Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. • a) P(2 of 3 rood) = P(2 rood) +P(3 rood) • b) P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) +P(1 groen) 4 2 4 3 6 1 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 4 1 6 3 6 2 . . = + ≈0,667 10 3 10 3
De complementregel • P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 • P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte)
Het vaasmodel • Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. • P(2r, 2w, 1b) = ? • Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans • Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren • om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. • Dat kan op manieren. • Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren • om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. • Dat kan op • P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren. 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 . . 8+4+3=15 15 5
Maak een rooster indien mogelijk. Opgave 2 som 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 8 7 3 4 5 6 8 9 7 7 4 5 6 8 9 10 5 6 8 9 10 11 7 7 11 6 8 9 10 12
opgave 6/4 • a) P(minstens één prijs) • = 1 – P(geen prijs) • = • b) P(100 euro) • = P(1 x 100) + P(2 x 50) • = • c) P(minstens 30 euro) • = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – (P(niets) + P(10 euro) + P(20 euro)) • = ≈ 0,370 ≈ 0,048 ≈ 0,173
opgave 11/9 • P(minstens één volleyballer) • =1- P( geen volleyballer) • = • b) P(dhr A. en secretaresse niet) • = ≈ 0,637 ≈ 0,788
opgave 18/13 • a) P(precies één maal een 2) • = • b) P(minstens één 1) • = P(1- geen 1) • = • c) P(5 x 1 en 3 x 3) • = • d) P( 4 x 1 en 1 x 3 en 3 x 2) • = ≈ 0,090 ≈ 0,983 ≈ 0,005 ≈ 0,092
opgave 21/17 a P(minstens 2) = 1 – P(geen of 1) = 1 – P(geen) – P(1) = 1 – 0,788 - · 0,22 · 0,787 ≈ 0,554 bP(zes of zeven) = P(zes) + P(zeven) = · 0,536 · 0,476 + · 0,537 · 0,475 ≈ 0,434 c P(hoogstens 2 zakken) = P(minstens 8 slagen) = P(8) + P(9) + P(10) = · 0,718 · 0,292 + · 0,719 · 0,29 + 0,7110≈ 0,410 8 1 12 7 12 6 10 8 10 9
opgave 31/25 • Als er van de 10 knikkers a rood zijn en de rest zwart, • zijn er 10 – a zwarte knikkers. • b) P(zwarte knikker) = • c) P(2 zwarte knikkers) =
opgave 34/28 • In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. • a) P(rr) = • b) P(rode en witte) = 2 · P(rw) = • Voer in y1 = (50x – x2)/1225 en maak een tabel. • Je ziet dat y1 > 0,5 voor x = 22 tot en met x = 28. • Bij x = 22 horen 50 – 22 = 28 witte knikkers • en bij x = 28 horen 50 – 28 = 22 witte knikkers. • Dus er zitten 22 of 23 of 24 of … of 28 witte knikkers in de vaas. De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. Er zijn 50 – p witte knikkers
Bernoulli-experimenten Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten. De complement-gebeurtenis van succes is mislukking. De kans op succes geven we aan met p.
Binomiaal kansexperiment • Bij een binomiaal kansexperiment is : • n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd • X het aantal keer succes • p de kans op succes per keer • de kans op k keer succes is gelijk aan • P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k. n k
opgave 45/39 • a) n = 6 en p = = 0,4 • P(X = 4) = · 0,44 · 0,62≈ 0,138 • b) n = 12 en p = = 0,9 • P(Y = 10) = · 0,910 · 0,12 ≈ 0,230 6 4 12 10
voorbeeld • a) X = het aantal keer minstens vijf ogen. ( 1 dobbelsteen) n=15 • p = P(minstens 5 ogen) = • P(X≤ 10) = binomcdf(15, , 10) ≈ 0,998 • X = het aantal keer meer dan zeven ogen. ( 2 dobbelstenen )n=18 • p = P(meer dan 7 ogen) = • p = P(X = 5) = binompdf(18, , 5) ≈ 0,097 som van de ogen
opgave 49/43 a) X = het aantal keer banaan. n=10 P(X = 5) = binompdf(10, 0.2, 5) ≈ 0,026 b) X = het aantal keer appel. n=18 P(X = 3) = binompdf(18, 0.4, 3) ≈ 0,025 c) X = het aantal keer appel. n=20 P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.4, 2) ≈ 0,004 d) X = het aantal keer banaan n=5 P(X = 4) = binompdf(5, 0.2, 4) ≈ 0,006
opgave 53/47 a) X = het aantal keer oost. P(in B uitkomen) = P(X = 2) = binompdf(8, , 2) ≈ 0,260 b) P(in C uitkomen) = P(X = 4) = binompdf(8, , 4) ≈ 0,026 c) P(via A in B) = P(X = 1) · P(X = 1) = binompdf(5, , 1) · binompdf(3, , 1) ≈ 0,140 2 1 4 6 4 4 1 2
Werkschema: binomiale kansen berekenen • Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X • Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. • Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7)
opgave 59/54 a) X = het aantal keer even. P(X > 10) = 1 – P(X≤ 10) = 1 – binomcdf(16, ½, 10) ≈ 0,105 b) X = het aantal keer 3 ogen. P(X < 2) = P(X ≤ 1) = binomcdf(16, ⅙, 1) ≈ 0,227 c) X = het aantal keer 6 ogen P(X = 5) = binompdf(16, ⅙, 5) ≈ 0,076
⅓ haakt voortijdig af dus ⅔ voltooit de studie. opgave 63/57 p = 0,40 • 60% van 120 is 72 • X = het aantal dat studie met succes voltooit. • P(X > 72) = 1 – P(X≤ 72) • = 1 – binomcdf(120, ⅔, 72) ≈ 0,925 • b) X = het aantal dat de studie voortijdig staakt. • P(X≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) • = 1 – binomcdf(6, 0.40, 2) ≈ 0,456
De binomiale verdeling met onbekende n X = het aantal treffers. n = onbekend p = 0,4 Voor welke n is P(X≥ 5) > 0,9, oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ? opgave 63 TI 1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9 Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4). Maak een tabel en lees af voor n = 17 is y1 ≈ 0,874 voor n = 18 is y1 ≈ 0,906. Dus minstens 18 vrije worpen.
a) X = het aantal optredens dat langer dan 2 uur duurt. X is binomiaal verdeeld met n = 22 en p = normalcdf(120, 1099, 112, 5) ≈ 0,054 P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – binomcdf(22, 0.054, 3) ≈ 0,030 b) X = het aantal optredens dat korter duurt dan 105 minuten. X is binomiaal verdeeld met n = 120 en p = normalcdf(-1099, 105, 112, 5) = 0,080 Je verwacht dat er 120 · 0,080 ≈ 10 optredens korter duren dan een uur en drie kwartier. De binomiale en de normale verdeling combineren opgave 76/69
De verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X • Stel de kansverdeling van X op. • Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. • Tel de uitkomsten op. • De som is E(X). • Dus E(X) = x1· P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn).
opgave 79/71 a) W = uitbetaling - 2 E(W) = -2 · 0,96 + 8 · 0,03 + 48 · 0,01 = -1,20 De winstverwachting is - € 1,20 per lot. b)Een lot moet dan 2 – 1,20 = € 0,80 kosten. 4 prijzen, 96 keer niet prijs van de 100 3 keer tweede prijs van de 100 1 keer eerste prijs van de 100
opgave 85/77 a) P(13 euro terugbetalen) = P(twee van de drie dagen slecht weer) = 3 · 0,42 · 0,6 = 0,288 b) P(niets terugbetalen) = 0,63 = 0,216 P(6,50 euro terugbetalen) = 3 · 0,4 · 0,62 = 0,432 P(19,50 euro terugbetalen) = 0,43 = 0,064 V = de verdienste per kaart. E(V) = 20 · 0,216 + 13,50 · 0,432 + 7 · 0,288 + 0,50 · 0,064 = 12,20 De eigenaar verdient naar verwachting 228 · 12,20 = 2781,60 euro.
Somregel voor de verwachting • Weersvooruitzichten • ma di wo do vr • Zon % 70 10 30 30 30 • Neerslag % 20 60 40 40 40 Wat is de kans dat het op maandag en woensdag droog is? P( X = maandag en woensdag droog ) = 0,8*0,6*0,6*0,4*0,4 De toevalsvariabele X is het aantal dagen dat het in deze werkweek regent. Bereken de verwachtingswaarde van het aantal dagen dat het regent in deze week. E( X) = E(maandag regen) + E(dinsdag regen) + E(woensdag regen) + E(donderdag regen) + E(vrijdag regen) E(maandag regen) = P(X=1)*0,2+P(X=0)*0,8=0,2 etc. E(X)=2,0
De somregel voor de standaardafwijking • Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt • de somregel voor de standaardafwijking • σx+ y = √σ2x + σ2y • VAR(X) = σ2x(de variantie van X) • σ2x+ y = σ2x + σ2y • dus • VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y)