Allgemeine stetige Verteilungen und konkrete Anwendungen

1. Allgemeine stetige Verteilungen und konkrete Anwendungen Universität Potsdam Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Dozentin: Prof. Dr. Roelly Referentin: Madlen Weps

2. Gliederung • Theorie zu stetigen Verteilungen • Zufallsvariable • Verteilungsfunktion • Dichtefunktion • Erwartungswert • Varianz • Konkrete Beispiele • Gleichverteilung • Exponentialverteilung • Normalverteilung • Zusammenfassung

3. Definition: Zufallsvariable Es sei (Ω,𝒜,𝑃) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine (reelle) Zufallsvariable ist eine Abbildung 𝑋: Ω→ℝ mit der sogenannten Messbarkeitseigenschaft {𝜔∈Ω:𝑋(𝜔)≤𝑥}∈𝒜 für jedes 𝑥∈ℝ.

4. Definition: Verteilungsfunktion Ist X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlich-keitsraum (Ω,𝒜,𝑃), so heißt die durch 𝐹(𝑥)≔𝑃(𝑋≤𝑥), 𝑥∈ℝ definierte Funktion 𝐹:ℝ→(0,1) die Verteilungs-funktion von X.

5. Definition: Stetige Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X heißt stetig (verteilt), wenn es eine nichtnegative integrierbare Funktion 𝑓:ℝ→ℝ mit der Eigenschaft gibt, so dass die Verteilungsfunktion 𝐹 von 𝑋 die folgende Darstellung besitzt: 𝐹(𝑥)=𝑃(𝑋≤𝑥)= 𝑓(t)𝑑𝑡, 𝑥∈ℝ. 𝑓(𝑡)𝑑𝑡=1

6. Bemerkung Für reelle Zahlen a<b gilt: 𝑃(𝑋≤𝑏)=𝐹(𝑏)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃(𝑎<𝑋<𝑏)=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)= 𝑓(x)𝑑𝑥 𝑃(𝑋>𝑎)=1−𝐹(𝑎)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

7. Definition: Erwartungswert Sei 𝐹:ℝ→(0,1) eine Verteilungsfunktion mit einer zugehörigen Dichte 𝑓. Falls 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 existiert, heißt 𝜇≔𝐸(𝐹)≔ 𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 der Erwartungswert der Verteilungsfunktion F mit Dichte f.

8. Definition: Varianz Sei 𝐹:ℝ→(0,1) eine Verteilungsfunktion mit einer zugehörigen Dichtefunktion 𝑓. Die Zahl 𝜎²≔𝑉𝑎𝑟(𝐹)≔ (𝑡−𝐸(𝑋))²𝑓(𝑡)𝑑𝑡 heißt Varianz der Verteilungsfunktion mit Dichte f, falls 𝜇 existiert und das Integral existiert.

9. Die Zahl heißt Standardabweichung der Verteilungsfunktion F mit der Dichte f.

10. Die Gleichverteilung Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine stetige Gleich-verteilung auf dem Intervall (𝑎,𝑏), kurz 𝑋~𝒰(𝑎,𝑏), falls 𝑋 die Dichte besitzt.

11. Die Gleichverteilung Die Verteilungsfunktion von 𝑋 hat die Darstellung

12. Satz: Die Gleichverteilung 𝒰(𝑎,𝑏) hat den Erwartungswert 𝜇=𝐸(𝒰(𝑎,𝑏))= und die Varianz 𝜎²=𝑉𝑎𝑟(𝒰(𝑎,𝑏))=

13. Beispiel • Die S-Bahnen einer bestimmten Linie fahren tagsüber alle 15 Minuten an einer Haltestelle ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man an der Haltestelle eine maximale Wartezeit von x Minuten hat, bis die nächste S-Bahn kommt?

14. Die Exponentialverteilung Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine Exponentialverteilung mit dem Parameter 𝜆>0, 𝜆∈ℝ, kurz 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆), falls 𝑋 die Dichte

15. Die Exponentialverteilung Die Verteilungsfunktion von 𝑋 hat die Darstellung

16. Satz: Die Exponentialverteilung 𝐸𝑥𝑝(𝜆) hat den Erwartungswert 𝜇=𝐸(𝐸𝑥𝑝(𝜆))= und die Varianz 𝜎²=𝑉𝑎𝑟(𝐸𝑥𝑝(𝜆))=

17. Beispiel • Lebenserwartung einer Glühbirne Die Glühbirnen einer bestimmten Sorte haben eine Lebenserwartung von 2000 Stunden. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Glühbirne. • eine Brenndauer von mind. 3000 Stunden hat? • eine Brenndauer von mehr als 5000 Stunden hat? • eine Brenndauer zw.1800 und 2800 Stunden hat? Nach welchem Zeitraum ist von einer Glühbirnen-Menge dieser Sorte die Hälfte intakt? (unter Voraussetzung, dass alle dieser Birnen gleich beansprucht werden?

18. Die Normalverteilung

19. Die Normalverteilung Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine Normalverteilung mit den Parametern 𝜇 und 𝜎², 𝜇∈ℝ, 𝜎>0, kurz 𝑋~𝒩(𝜇,𝜎²), falls 𝑋 die Dichte , 𝑥∈ℝ besitzt.

20. Die Standardnormalverteilung Die Standardnormalverteilung 𝒩(0,1) mit 𝜇=0 und 𝜎²=1 besitzt die Verteilungsfunktion , 𝑦∈ℝ mit der Dichtefunktion

21. Die Normalverteilung Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung hat die Darstellung , 𝑥∈ℝ

23. Satz: Die Normalverteilung 𝒩(𝜇,𝜎²) hat den Erwartungswert 𝐸(𝒩(𝜇,𝜎²)=𝜇 und die Varianz 𝑉𝑎𝑟(𝒩(𝜇,𝜎²)=𝜎²

24. Aufgabe: • Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit E(X)=0 und Var(X)=1. • Berechne

25. Beispiel Der Intelligenzquotient (IQ) einer bestimmten Bevölkerungsschicht sein 𝒩(100,15²)-verteilt. Man bestimme die Konstante c so, dass eine aus dieser Bevölkerungsschicht zufällig ausgewählte Person mit Wahrscheinlich-keit 0,3 einen IQ von mindestens c besitzt.

26. Aufgabe • Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte • Bestimme k so, dass f(x) eine Dichte wird. • Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. • Bestimme die Verteilung F(x) dieser Zufallsvariablen. • Berechne die Wahrscheinlichkeit .

27. Zusammenfassung • Allgemeine stetige Verteilungen mit Dichten • Wichtige Beispiele: • Gleichverteilung • Exponentialverteilung • Normalverteilung

28. Quellen • Bosch, K. (2003). Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. • Dehling, H., Haupt, B. (2004). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Berlin: Springer Verlag. • Fischer, G. (2005). Stochastik einmal anders. Wiesbaden: Vieweg Verlag. • Henze, N. (2010). Stochastik für Einsteiger. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. • Hübner, G. (2009). Stochastik. 5.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. • Kersting, G., Wakolbinger, A. (2008). Elementare Stochastik. Basel: Birkhäuser. • Krengel, U. (2005). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. • Kütting, H., Sauer, M. (2008). Elementare Stochastik. 2. Auflage. Berlin: Springer Verlag. • http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/ Wahrscheinlichkeitsrechnung/zufallsvariable.pdf, Zugriff am 05.04.11, 14:20Uhr • http://www.uweziegenhagen.de/teaching/stat/VL_ziegenhagen.pdf Zugriff am 12.04.11, 15:45Uhr • https://home.zhaw.ch/~maz/Aufgaben/Wahrscheinlichkeit/ Stetige_Verteilung.pdf Zugriff am 12.04.11, 15:30Uhr