Ejercicio en equipo

1. Ejercicio en equipo A partir de la siguiente ecuación de una hipérbola, determina los elementos que la constituyen y traza su gráfica. Solución: • De la ecuación observamos que su centro lo tiene en el origen, por lo tanto, sus coordenadas son C(0,0). • a2=16a=4, b2=4b=2. De la relación c2=a2+b2 • Las coordenadas de sus vértices, focos y sus extremos son: V(0,a)=(0,4); V’(0,-a)=(0,-4). F(0,c)=(0,2√5); F’(0,-c)=(0,-2√5). B(b,0)=(2,0); B’(-b,0)=(-2,0) • El lado recto LR=2b2/a=2*22/4=2 • Las ecuaciones de sus asíntotas y=±ax/b=±4x/2=±2x • Excentricidad e=c/a

2. Ejercicio en equipo • En un cierto lugar se ha construido un salón de eventos como el que se presenta en la figura, en la cual se ha tomado como referencia una esquina del mismo y se ha determinado que la curva más profunda tiene una excentricidad e=3, además el centro del mismo está colocado según las coordenadas mostradas. Determina la ecuación ordinaria que obedece a dicha curva, di en dónde se encuentran sus focos, cual es el valor del eje conjugado y cuál es la longitud de cada uno de sus lados rectos.

3. Solución • De la figura observamos que la distancia de 0.5m equivale al semieje transverso, por tanto a=0.5, de donde 2a=1. • Por otra parte sabemos que la excentricidad está definida por la relación e=c/a=3, entonces c=3(0.5)=1.5. • La longitud del eje transverso la determinamos a partir de la relación c2=a2+b2, el eje conjugado se define como 2b, su longitud es • Por lo anterior el lado recto es LR=2b2/a=2*1.25/0.5=5 • Las coordenadas de los focos se encuentran en F(h,k+c) y F’(h,k-c), entonces F(10,5.5) y F’(10,2.5) • Los vértices están en V(10,4.5), V’(10,3.5) y la ecuación de la curva es

4. Ejercicios a realizar en clase • Dadas las siguientes ecuaciones de la hipérbola, obtén todos sus elementos y traza su gráfica correspondiente 1. x2-y2-4x+8y-2=0 2. y2-4x2-x-3y-7=0 3. • Determinar la ecuación de la hipérbola según los datos dados y traza su gráfica a)      F(±5,2), V(±3,2) b)     F(3, ±4), V(3, ±1) c)      V(±4,2), e=5/3

5. Ejercicio en equipo: Halla la ecuación ordinaria y elementos de una hipérbola con centro en el origen, eje transverso en el eje y, que pasa por los puntos P(4,6) y P’(1,-3). • Solución: • Por los datos proporcionados la ecuación tiene la forma , para determinarla, sustituiremos los puntos dados en ella. Al sustituir el punto P(4,6) obtenemos • Al sustituir el punto P’(1,-3) llegamos • Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (*) y (**) por el método de reducción, obtenemos • , b=2. • Por lo tanto la ecuación adopta la forma o bien,

6. Gráfica de la hipérbola

7. Identificamos los elementos que constituyen la hipérbola • c2=a2+b2 • Vértices V(0,a)=(0, ), V’(0,-a)=(0, ) • Focos F(0,c)=(0, ) y F’(0,-c)=(0, ) • Extremos B(b,=)=(2, 0) y B’(-b, 0)=(-2, 0) • Lado recto es LR=2b2/a, • Excentricidad e=c/a, • Ecuaciones de las asíntotas y=±ax/b,

8. Ejercicio en equipo • Se requiere construir para cierto juego mecánico una curva que tenga 18m de abertura, dicha curva estará sostenida por una estructura en forma de cruceta y asintótica a la curva, la cual tiene una altura de 7m al centro de la misma y con pendientes de ±1/3. Determina a qué ecuación ordinaria matemática corresponde dicha curva y haz un esbozo de la misma. • Respuesta: Hipérbola