Matematyczne techniki zarządzania - 91

1. Matematyczne techniki zarządzania - 91 Testowanie równości wariancji populacji Stosuje się test Hartleya zwany też testem Fmax, który pozwala rozstrzygnąć czy próbki pochodzą z populacji o jednakowej wariancji (czy wariancje pró-bek są homogeniczne). Jeśli założymy, że każda populacja ma rozkład normalny i że ich wariancje są równe 2i(i = 1, 2, ..., k), to możemy zweryfikować hipotezy H0: 21=22 = .... =2k H1: nie wszystkie 2i są jednakowe Reguła decyzyjna: odrzucamy H0, jeżeli odczytujemy ze specjalnej tablicy, gdzie: k — liczba czynników i(max) — największa liczba stopni swobody spośród próbek Przykład 27 cd. Wariancje próbek dla poszczególnych skryptów: 114,889; 325,111; 292,000. Stąd =0,05 k=3 i(max)=9 Ftabl=5,34 JAKI WNIOSEK?

2. Matematyczne techniki zarządzania - 92 ANALIZA WARIANCJI DWUCZYNNIKOWA SSTO CZYNNIK xij — wartość obserwacji w i-tym poziomie bloku i j- tym poziomie czynnika  — ogólna średnia zmiennej X i — odchylenie średniej i-tego poziomu bloku od  j— odchylenie średniej j-tego poziomu czynnika od  ij— składnik losowy (reszta) N(0; 2) [ — ksi] BLOK RESZTA CZYNNIK=BLOK RANDOMIZED BLOCK DESIGN • Założenia: • mamy losowe próbki z n poziomów bloku i przydzielamy losowo jednostki z każdego bloku do każdego z k poziomów czynnika • reakcja w i-tym poziomie bloku na j-ty poziom czynnika pochodzi z rozkładu normalnego • wariancja każdej populacji nkwynosi 2 • nie ma wzajemnego oddziaływania między blokiem i czynnikiem

3. Matematyczne techniki zarządzania - 93 Przykład 29. Zmienną losową X jest ilość kilometrów przejechanych na 1 litrze benzyny różnej marki. Do pomiarów używamy 5 różnych samochodów: CZYNNIK BLOK % • Co można stwierdzić „gołym okiem”: • czy marka benzyny wpływa na jej zużycie? • czy egzemplarz użytego samochodu wpływa na zużycie paliwa? Tabelka ANOWY

4. Matematyczne techniki zarządzania - 94 • Przyjmujemy  = 0,01 i stawiamy hipotezy: • H0: czynnik nie wpływa... H1: czynnik... • H0: blok nie wpływa... H1: blok... • JAKI JEST OFICJALNY JĘZYK TYCH HIPOTEZ? • Wartości krytyczne testu Fishera: Decyzje i wnioski................................................................................. ANALIZA WARIANCJI DWUCZYNNIKOWA Z UWZGLĘDNIENIEM WZAJEMNEGO ODDZIAŁYWANIA CZYNNIKÓW CZYNNIK A SUMY KWADRATÓW ŚREDNIE KWADRATY CZYN-NIK B SSA SSB SSAB SSE SSTO CZYNNIK A i B RESZTA SSTO ZAŁOŻENIA!

5. Matematyczne techniki zarządzania - 95 Przykład 30. W pewnym przedsiębiorstwie postanowiono przeprowadzić badania co wpływa na sukces kierowników sklepów — wykształcenie czy doświadczenie. Z dużej liczby sklepów wylosowano 24 kierowników i dla każdego określono współczynnik sukcesu będący ilorazem rzeczywistej rocznej sprzedaży do sprzedaży prognozowanej, określonej na podstawie równania regresji uwzględniającego lokalizację, powierzchnię, liczbę pra-coników itd. Wykształcenie Staż n = 24 1. 8 — P 1. 6 — <5 lat 2. 8 — Ś 2. 6 — 5-10 lat 3. 8 — W 3. 6 — 10-15 lat 4. 6 — >15 lat %

6. Matematyczne techniki zarządzania - 96 Można rozwiązać dwa problemy: 1. H0: nie ma wzajemnego oddziaływania czynników A i B H1: jest wzajemne oddziaływanie A i B Odrzucamy H0, jeżeli 2. H0: czynnik A (lub B) nie wpływa na pracę kierownika H1: czynnik A (lub B) wpływa na pracę kierownika Odrzucamy H0, jeżeli  b—1 ANALIZA REGRESJI I KORELACJI • umożliwia badanie wpływu czynników mierzalnych, takich jak: czas nauki, zużycie materiałów, wielkość produkcji itd. • umożliwia ustalanie przyczyn zachowania się danego zjawiska: dlacze-go rosną koszty, co powoduje straty w firmie itd. • jest to bardzo popularna metoda, zgodna z naszą intuicją • obliczenia wykonuje się metodą najmniejszych kwadratów • stosuje: estymację, testowanie hipotez, analizę wariancji itd.

7. Matematyczne techniki zarządzania - 97 Bardzo często robimy — odruchowo — wykres zależności dwu zmiennych: Y model rzeczywistości Zapisujemy to jako: obserwacje empiryczne Dla układu trójwymiarowego: X Zmienna losowa wielowymiarowa xijkllub xi, yj, zkitd. Tablica dwudzielna • dwa wymiary • Pij — „trzeci wymiar” • Pi i Pj — rozkłady brzegowe • suma =1 • jeśli rozkłady normalne, to równanie liniowe

8. Matematyczne techniki zarządzania - 98 • Trzy rodzaje związków pomiędzy Y i X • związek funkcyjny (deterministyczny) Y yi Domena — matematyka KAŻDEJ WARTOŚCI xi ODPOWIADA JEDNA I TYLKO JEDNA WARTOŚĆ yi xi X • związek stochastyczny (losowy) • Domena — rzeczywistość • KAŻDEJ WARTOŚCI xi ODPOWIADA CAŁY ZBIÓR WARTOŚCI yi TWORZACYCH OKREŚLONY ROZKŁAD Obserwacja rzeczywistości DANE Lp. xi yi 1x1 y1 2x2 y2 3 x3 y3 ............  xi Waga i wzrost studentek

9. Matematyczne techniki zarządzania - 99 • związek statystyczny Domena — model rzeczywistości — średnia rozkładu  — obrazuje rozrzut — środek ciężkości zbioru xi • Dlaczego w rzeczywistości mamy do czynienia ze związkami stochastycznymi? • Podstawowe pojęcia i terminy • KORELACJA— fakt powiązania, współzależności, związku zmiennych ze sobą • WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI— liczba określająca siłę i kierunek tego związku • współczynnik korelacji liniowej dwu zmiennych: r lub rxy r Współczynnik r niesie dwie informacje poprzez swój znak i moduł

10.  Matematyczne techniki zarządzania - 100 Znak informuje o kierunku zależności r>0 r<0 Korelacja dodatnia Korelacja ujemna Moduł informuje o sile zależności r=1 r=0,5 r=0 Który współczynnik korelacji jest korzystniejszy: —0,8 czy 0,2?

11. Matematyczne techniki zarządzania - 101 • współczynnik korelacji liniowej wielu zmiennych (korelacji wielo-krotnej lub wielorakiej): R R • Interpretacja: • im wyższa wartość R, tym silniejsza współzależność (R=0: brak korelacji, R=1: zależność funkcyjna, nie ma składnika losowego) • R określa siłę powiązania zmiennej Y z wszystkimi zmiennymi Xi, bez względu na to jak poszczególne z nich są skorelowane z Y • współczynnik korelacji cząstkowej dwu zmiennych • REGRESJA— funkcja odzwierciedlająca powiązanie zmiennych (czynników) • w mowie potocznej regresja to cofanie się, spadek, zanik • skąd się wzięło to słowo w statystyce?  wzrost synów WSPÓŁCZYNNIK REGRESJI — liczba stojąca przy każdej zmiennej X, określająca jej wpływ na zmienną Y a wzrost ojców a — wyraz wolny (stała), współrzędna punktu przecięcia z osią Y b — współczynnik regresji, tangens kąta  nachylenia prostej

12. Matematyczne techniki zarządzania - 102 • Czynności przy badaniu zależności zmiennych • określenie co jest skutkiem (Y), a co przyczynami (X1, X2, itd.) • zebranie danych (pobranie próbki statystycznej) • wyznaczenie równania regresji dla próbki • sprawdzenie (testowanie) czy równanie to może być przyjęte dla populacji • wnioskowanie o przyczynach na podstawie zweryfikowanego równania • Funkcja regresji I i II rodzaju • regresja I rodzaju dotyczy populacji (jest nieznana)  • regresja II rodzaju dotyczy próbki (jest znana) Współczynniki regresji to i oraz ai; tak jak przy estymacji innych parametrów mamy to do czynienia z estymatorami, ich odchyleniami standardowymi (czyli błędami oszacowania) oraz z wartościami oszacowanymi.

13. Matematyczne techniki zarządzania - 103 Wydruk komputerowy równania regresji Pełny zapis równania regresji Y reszta ui X2 (wszystkie punkty czerwone) parametry strukturalne i stochastyczne X1 Y —zmienna zależna, zmienna-skutek, zmienna objaśniana yi — zaobserwowane wartości zmiennej zależnej dla jednostek próbki Xk — zmienne niezależne, zmienne-przyczyny, zmienne objaśniające xki — zaobserwowane wartości zmiennych niezależnych a0 — oszacowana wartość wyrazu wolnego (interpretację podano)

14. Matematyczne techniki zarządzania - 104 ai... — oszacowane wartości współczynników regresji; określają wpływ poszczególnych zmiennych Xi na zmienną Y  — składnik losowy, reprezentujący rozrzut punktów wokół płaszczyz-ny regresji; składnik ten jest zmienną losową; jego wartości nazywają się reszty a jego rozkład jest rozkładem normalnym o E()=0 i V()=s2(y) s(a0) — błąd oszacowania wyrazu wolnego; służy do budowy przedziału ufności dla nieznanej wartości wyrazu wolnego 0dla populacji oraz do weryfikacji istotności 0(H0: 0=0) s(ai) — błędy oszacowania współczynników regresji; służą do budowy przedziału ufności dla nieznanych wartości i współczynników regresji dla populacji oraz do weryfikacji ich istotności (H0: i=0) s(y) — błąd resztowy; jest odchyleniem standardowym składnika losowego ; określa średnią wielkość reszty ui R2(r2)— współczynnik determinacji; określa jaka część zmienności całko-witej SSTO została wyjaśniona przez równanie regresji 2 — współczynnik zbieżności (zgodności); określa jaka część zmien-ności całkowitej SSTO niezostała wyjaśniona przez równanie regresji

15. Matematyczne techniki zarządzania - 105 Wszystko to jest łatwiejsze do zrozumienia w układzie dwuwymiarowym Y = SSTO(zmienność całkowita) = SSTR(zmienność wyjaśniona) = SSE(zmienność niewyjaśniona) (SUMOWANIE OD „1” DO „n” ) X SSTO = SSTR + SSE RÓWNANIE REGRESJI JEST MODELEM RZECZYWISTOŚCI WSZYSTKO TO JUŻ ZNAMY Z ANALIZY WARIANCJI

16. Matematyczne techniki zarządzania - 106 Krzywe Neymana Y obserwacje (dane empiryczne) środek ciężkości próbki prosta regresji II rodzaju (dla próbki) krzywe wyznaczające pas ufnoś-ci, w którym z prawdopobieńst-wem 1- znajduje się nieznana prosta regresji I rodzaju (dla populacji) dlaczego taki kształt? (2 ruchy) krzywe wyznaczające przedziało- we prognozy wartości zmiennej Y dla danego xi X prognoza punktowa uzyskana przez wstawienie xi do równania • Przykłady: • waga — wzrost studentek • ocena egzaminu — zaliczenie • koszt produkcji — wielkość produkcji • utarg — wydatki na reklamę • prędkość — zużycie paliwa  gg,dg przedział, w którym z szansą 1- mieści się nieznana wartość yi dla i-tej nowej jednostki spoza próbki

17. Matematyczne techniki zarządzania - 107 • Jak patrzeć na krzywe Neymana? • przypadek z poprzedniej planszy: niezależnie od tego, co się zdarzy, 0>0 i 1>0 (jak to rozumieć) • ale może być inna sytuacja • co wtedy wiemy o 0i 1? • NIC — mogą być >0, =0, <0; nie wyklu-czymy więc, że: • X nie wpływa na Y • prosta I rodzaju przechodzi przez (0,0) Te problemy można rozwiązać przez testowanie hipotez o ioraz o  Identyczne wnioski można wyciągnąć przy porównaniu dwu prostych II rodzaju mały rozrzut duży rozrzut obserwacji

18. Matematyczne techniki zarządzania - 108 Regresja krzywoliniowa Kiedy występuje regresja liniowa? — gdy obie zmienne mają rozkład normalny! • W wielu przypadkach dane układają się w zależności nieliniowe: • gdy mają postać szeregu czasowego • gdy dane przekrojowe układają się w smugę nieliniową • gdy krzywoliniowa funkcja wielu zmiennych lepiej opisuje rzeczy-wistość niż funkcja liniowa (plansza 103); tego nie widać, która lepsza można poznać tylko po R2 (na przykład — efekt skali)

19. Matematyczne techniki zarządzania - 109 Do opisu takich zjawisk stosujemy rozmaite funkcje krzywoliniowe: 1. proste funkcje (rosnące lub malejące) dwu zmiennych: wykładnicze, potęgowe itp. 2. wielomiany różnego stopnia (ich fragmenty) 3. funkcje bardziej złożone: krzywe nasycenia, krzywe logistyczne itp.. 4. funkcję potęgową wielu zmiennych ABY MOŻNA BYŁO STOSOWAĆ METODĘ NAJMNIEJ-SZYCH KWADRATÓW, FUNKCJE TE MUSZĄ BYĆ SPROWADZONE DO POSTACI LINIOWEJ 2. Wielomiany są funkcjami liniowymi pod wzglę-dem swych parametrów 3. Stosuje się „chwyty” (wielokrotne podstawianie)

20. Matematyczne techniki zarządzania - 110 4. Także stosujemy transformację logarytmiczną • Kolejność czynności przy estymacji funkcji regresji krzywoliniowej: • 1. zebranie danych empirycznych • 2. dobranie modelu (funkcji nieliniowej) • 3. transformacja modelu do liniowego (logarytmowanie — transformata) • 4. przeliczenie danych na układ liniowy (robi to komputer) • 5. oszacowanie równania regresji liniowej • 6. retransformacja do postaci pierwotnej (odlogarytmowanie) • Retransformacji podlegają tylko parametry strukturalne, natomiast wszystkie parametry stochastyczne dotyczą tylko transformaty • Metody estymacji równania regresji • klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) w wielu wariantach obliczeniowych • podwójna MNK • regresje specjalne: grzbietowa (ridge regression), odporna (robust) itd. • metoda największej wiarygodności

21. Matematyczne techniki zarządzania - 111 Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) W książkach jest całe mnóstwo różnych wa-riantów, wersji, metod itd. — nie należy tra-cić głowy ani denerwować się!  PLANSZA 105 Wersja 1. Metoda równań normalnych Wyznaczamy pochodne cząstkowe względem a oraz b i przy-równujemy je do zera, po przekształceniu otrzymujemy uk-ład równań normalnych Niewiadome: a, b Współczynniki: z tabelki roboczej Z tego układu równań wywodzą się dziesiątki rozmaitych wzorów na obliczanie wartości a i b

22. Matematyczne techniki zarządzania - 112 Na analogicznej regule można zbudować układ równań normalnych dla równania Wersja 2. Metoda „sigma prim” uzyskuje się uproszczone równania Wersja 3. Metoda mnożników Gaussa, posługuje się formularzami obliczeniowymi opartymi o wartości „sigma prim” (W. Volk, Statystyka dla inżynierów) Wersja 4. Metoda przekształceń Jordana Wersja 5. Metoda macierzowa XTX — współczynniki układu r. n. Xty — prawe strony układu r. n.

23. Matematyczne techniki zarządzania - 113 na głównej przekątnej tej macierzy znajdują się wariancje s2(a0), s2(a1)... Wersja 5. Metoda uproszczona Hellwiga I Dzielimy zbiór na 2 podzbiory i wyzna-czamy ich środki ciężkości II po czym budujemy prostą przechodzącą przez te punkty • Praktyczne zastosowania analizy regresji i korelacji (przykłady): • wydajność pracy = f (liczby szkoleń i stażu) zysk z akcji = f (ceny i dywidendy) • cena = f (liczby asortymentów) czas demolki = f (ilości pracy i odległości) • zużycie prądu = f (pogody i produkcji) produkcja = f (kapitału i robocizny) • udział w rynku = f (ceny i liczby reklam) płaca = f (wieku, funkcji, stażu) • cena działki = f (obszaru i odległości od morza) sprzedaż biletów MPK = f(pogody, dnia • utarg = f (liczba klientów) tygodnia, liczby mieszkańców) • plon z ha = f (zużycie nawozów) • czas choroby = f (temperatury i liczby bakterii) • koszt reklamy = f (czasu) Zmienne 0-1: 3 — profesor 1 — profesor 2 — adiunkt 2 — nie-profesor 1 — asystent

24.  TROCHĘ GREKI I ŁACINY Matematyczne techniki zarządzania - 114 E K O N O M E T R I A • Probabilistyka — probabilis (prawdopodobny, d. godny pochwały) • Statystyka — status (stan, państwo); kto to jest lostatista we Włoszech? A kto la comparsa? • Ekonomia — oikos (dom, środowisko) + nomos (prawo, ustawa); oiko-nomos (pan domu); oikonomia —zarządzanie gospodarstwem domowym • Metr, -metria — metron (miara) • Ekonometria — nauka zajmująca się ustalaniem, za pomocą metod matematyczno-statystycznych, ilościowych prawidłowości zachodzących w życiu gospodarczym • Nastawienie bardziej na makroekonomię niż na mikroekonomię (ekonomikę przedsiębiorstwa i przemysłu) — sprawdzanie teorii ekonomicznych: • zależność eksportu krajowego od PKB, • zależność dochodu narodowego od ilości pieniądza w obiegu, • także na badanie poziomu życia ludności: • zależność wydatków na określone dobra od dochodów ludności, • zależność obrotu sklepów detalicznych od odległości od dużego miasta, • funkcje popytu i podaży

25. Matematyczne techniki zarządzania - 115 • ale również na zagadnienia związane z zarządzaniem przedsiębiorstwem: • zależność wartości dodanej na roboczo-godzinę od stawki godzinowej i kapitałochłonności pracy, • funkcje produkcji opisujące zależność wielkości produkcji od majątku trwałego i robocizny. • Specyficzne warunki prowadzenia badań ekonometrycznych • brak możliwości powtórzenia eksperymentu (nie działają prawa statystyki matematycznej) • zaostrzone kryteria matematyczne (n>100) • trudności z danymi: dostępność, ilość, wiarygodność, porównywalność • NARZĘDZIEM BADAWCZYM EKONOMETRII JEST MODEL EKONOMETRYCZNY, KTÓRY MATEMATYCZNIE ODPOWIADA RÓWNANIU REGRESJI LUB KILKU RÓWNANIOM • Terminologia • zmienna objaśniana (Y) — zmienna egzogeniczna • zmienne objaśniające (X1, X2...) — zmienne endogeniczne • zmienne opóźnione w czasie: yt, yt-1, xt, xt-k; służą do analizy wpływu czasu

26. Matematyczne techniki zarządzania - 116 • Klasyfikacja modeli ekonometrycznych • I. Klasyfikacja według wnoszonej informacji: • modele przyczynowo-skutkowe y — skutek Xi — przyczyny • Przykłady zmiennej Y: • średnia z indeksu studentów • zużycie energii elektrycznej w firmach • koszty produkcji różnych partii wyrobów Modele te budujemy z danych przekrojowych (różne obiekty w tym samym momencie) • modele tendencji rozwojowej • Przykłady zmiennej Y: • codzienne ceny cebuli • miesięczne zużycie prądu na WZ AGH • roczne zużycie gazu ziemnego w PL y — analizowane zjawisko t — czas Modele te budujemy z szeregów czasowych (ten sam obiekt w różnych momentach) • Analiza szeregów czasowych (time series analysis) — odrębny dział matematyki • interesuje nas jak zjawisko zmienia się w czasie, nie obchodzi nas co te zmiany wywołuje • efekt długoterminowy: trend (tendencja) • efekty krótkoterminowe: wahania okresowe, sezonowe, cykliczne Długość: doba,....,rok, 25 lat, 500 lat

27. Matematyczne techniki zarządzania - 117 Przykład 31. Zinterpretuj wykres powstały z szeregu czasowego miesięczne-go zużycia energii elektrycznej przez WZ AGH 1995 1996 1997 1998 1999 • II. Klasyfikacja według stopnia uwzględniania czasu: • modele statyczne • modele dynamiczne • III. Klasyfikacja według powiązania równań: • modele proste • modele rekurencyjne • modele o równaniach współzależnych JEDNO RÓWNANIE LUB KILKA ODDZIELNYCH • IV. Klasyfikacja według liniowości: • modele liniowe • modele nieliniowe (konieczna transformacja liniowa)

28. Matematyczne techniki zarządzania - 118 • ETAPY BUDOWY MODELU EKONOMETRYCZNEGO • 1. Sformułowanie modelu • a. wybór zmiennych: y, x1, x2,... • b. wybór postaci matematycznej modelu: liniowa, potęgowa,... • 2. Zebranie danych statystycznych (różne źródła) • 3. Selekcja zmiennych objaśniających (celem podziału na dwie grupy — nadające się do modelu i niepotrzebne w nim) • 4. Estymacja parametrów modelu: • a. parametrów strukturalnych: a0, a1, a2,... • b. parametrów stochastycznych: s(ai), s(y), R2, R • 5. Weryfikacja modelu (przy użyciu hipotez i testów statystycznych) • MODEL BEZ WERYFIKACJI NIE MA ŻADNEJ WARTOŚCI • NIE NALEŻY KORZYSTAĆ Z PROGRAMÓW KOMPUTEROWYCH NIE DAJĄCYCH MOŻLIWOŚCI WERYFIKACJI • 6. Interpretacja modelu • wyciągnięcie wniosków dla celów zarządzania • sprzedanie go klientowi

29. Matematyczne techniki zarządzania - 119 • ETAP 1a. WYBÓR ZMIENNYCH • zmienna objaśniana Y: według zainteresowań (na ćwiczeniach), według polecenia szefa (w przedsiębiorstwie), według życzenia klienta (w firmie konsultingowej) • zmienne objaśniające Xi (jak najwięcej dla modelu przyczynowo-skutkowego) z następujących źródeł (w kolejności): • — teoria danej dziedziny wiedzy • — doświadczenie zleceniodawcy i statystyka • — metodą prób i błędów (intuicyjnie) • wybrane zmienne muszą mieć dużą zmienność (W>30%) • najczęstszy błąd — „masło maślane” prowadzące do związku funkcyjne-go i nie dające żadnej informacji o zmiennej objaśnianej • przykład modelu bez sensu: wynagrodzenie = f(płacy, premii i dodatku stażowego) • Co typujesz, gdy Y to: • wynik studiów • zysk firmy • ETAP 1b. WYBÓR POSTACI MATEMATYCZNEJ • modele przyczynowo-skutkowe —najbardziej zalecane jest równoczesne prowadzenie obliczeń dla dwu postaci: • — liniowej • — potęgowej

30. Matematyczne techniki zarządzania - 120 • — stosuje się też modele nieliniowej o narzuconej postaci nieliniowej, których parametry ustala się przez programowanie liniowe lub innymi metodami • modele tendencji rozwojowej: • — funkcja liniowa • — proste funkcje nieliniowe • — wielomiany • — funkcje skomplikowane • — modele kombinowane: trend + wahania okresowe (t zamiast x) • są to zależności dla ln, dla układu y=f(x) mogą być dziwne (R2>1) • są to funkcje „sztywne”, „nieposłuszne • wielomian jest modelem liniowym! • można znaleźć optymalny stopień wielomianu (przez badanie którego rzędu wartości Δy są sobie mniej więcej równe) Efekt „krzywego lustra”