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DISTANCIAS

DISTANCIAS. Bloque II * Tema 068. DISTANCIA ENTRE PUNTOS. Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector,

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  1. DISTANCIAS Bloque II * Tema 068 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. DISTANCIA ENTRE PUNTOS • Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector, • Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. • d (A, B) =|v| =√ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] • Siempre podemos formar un triángulo rectángulo cuyos catetos son: • La diferencia de abscisas (x) • La diferencia de ordenadas (y) • El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: • d(A,B) =|v| =√ [ (8 – 4)2 + (5 – 2)2 ] = • = √ [42 + 32] = √ 25 = 5 B(8, 5) v =(4, 3) A(4, 2) Matemáticas Acceso a CFGS

  3. EJEMPLO_1 • Hallar la distancia del punto P(7, - 5) al punto Q(0, 2). • d (M, N) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = • = √ [ (0 - 7) 2 + ( 2 - (- 5) 2 ] = √ ((- 7) 2 + 7 2) = √ 50 = 5 .√ 2 • EJEMPLO_2 • La distancia del punto P(5, - 5) al punto Q(- 3, a) es 10. Hallar el valor de a. • d (P, Q) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = 10 • √ [ (- 3 - 5) 2 + ( a - (- 5)) 2 ] = 10 • √ [ (- 8) 2 + ( a + 5) 2 ] = 10 • Eliminando la raíz: 64 + a 2 + 10.a + 25 = 100 • a 2 + 10.a - 11 = 0 • Resolviendo la ecuación de segundo grado: • - 10 +/- √(100 + 44) - 10 +/- 12 1 • a= --------------------------- = -------------- = • 2 2 - 11 • El punto Q tiene de coordenadas (- 3, 1) y también ( - 3, - 11). • Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones. Matemáticas Acceso a CFGS

  4. DISTANCIA DE PUNTO A RECTA • Dado un punto P y una recta r se entiende por distancia del punto P a la recta r la mínima distancia del punto P a cualquier punto de la recta. • Esa mínima distancia se obtiene en la perpendicular a la recta desde el punto P. • Sea el punto P(a, b) y la recta r: Ax+By+C=0 • El vector v(A, B) es perpendicular a la recta y el punto Q(xo, yo) pertenece a ella. • El producto escalar entre v y QP es: • v.QP=|v|.|QP|,cos α • Como |QP|,cos α = d , tenemos: • (A,B).(xo – a, yo – b)=|v|.d • Axo – Aa + Byo – Bb = √(A2+B2).d • Y despejando d: • Axo + Byo – (Aa + Bb) • d=------------------------------- , quedando: • √(A2+B2) • |Axo + Byo + C| • d = ----------------------- • √(A2+B2) P(a,b) QP α d Q v r Matemáticas Acceso a CFGS

  5. r • EJEMPLO 1 • Hallar la distancia del punto P(1, - 2) a la recta r: x+y – 7 = 0 • Sabemos que: • |Axo + Byo + C| • d = ----------------------- • √(A2+B2) • Luego: • |1.1 + 1.(-2) – 7| |- 8| 8. √2 • d = ----------------------- = ------- = ---------- = 4.√2 • √(12+12) √2 2 • EJEMPLO 2 • La distancia del punto P(4, - 3) a la recta r: 3x+4y – p = 0 vale 5.Hallar p • Sabemos que: • |3.4 + 4.(- 3) – p| |12 – 12 – p| • 5 = ----------------------- = ------------------ ; | - p| = 25 • √(32+42) 5 • Solución: p = 25 y p = - 25 ,, valen ambas soluciones • Hay dos rectas que cumplen los requisitos: • r: 3x+4y – 25 = 0 y r’: 3x+4y + 25 = 0 d=5 d=5 r’ Matemáticas Acceso a CFGS

  6. DISTANCIA ENTRE RECTAS • Observando el dibujo vemos que la distancia entre dos rectas paralelas es la diferencia de distancias del origen de coordenadas a ambas. • Sea una r: Ax + By + C = 0 y la otra s: Ax+By+C’=0 • Las distancias del O(0,0) a cada una de ellas será: • |A.0 + B.0 + C| |C| • d1=--------------------- = ------------ y • √(A2+B2) √(A2+B2) • |A.0 + B.0 + C’| |C’| • d2 = --------------------- = ---------- • √(A2+B2) √(A2+B2) • La distancia entre ambas será: • |C – C’| • d = --------------- • √(A2+B2) s d r Matemáticas Acceso a CFGS

  7. EJEMPLO 1 • Hallar la distancia entre las rectas r: 3x – 4y + 5 = 0 y • s: 3x – 4y – 5 = 0 • |C – C’| 5 – (– 5) 10 • d = --------------- = ------------- = ------ = 2 • √(A2+B2) √(32+42) 5 • EJEMPLO 2 • Hallar la distancia entre las rectas r: 3x + 7 = 0 y s: 3x + 4 = 0 • |C – C’| 7 – 4 3 • d = --------------- = ------------- = ----- = 1 • √(A2+B2) √(32+02) 3 • EJEMPLO 3 • Sean las rectas r: x + 7y – 5 = 0 y s: x + 7y + p = 0 • Hallar p para que la distancia entre ambas sea d= 5 • |C – C’| p – (– 5) p+5 • d = --------------- ; 5 = ------------- = ----- ; p+5 = 5. 5√2  p = 25.√2 – 5 • √(A2+B2) √(12+72) √50 Matemáticas Acceso a CFGS

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