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1. 2B année 2012 - 2013 DM 1 correction

2. 1. A=0, 2012 20122012 ... 2012 Ce nombre contient 2012 fois 4 chiffres après la virgule. C’est-à-dire 8048 chiffres dans sa partie décimale.

3. B=2012, 2012 20122012 ... 2012 Ce nombre contient 2013 fois 4 chiffres après la virgule. C’est-à-dire 8052 chiffres dans sa partie décimale.

4. 8048 chiffres après la virgule 2. 0, 2012 2012 ... 2012 + 2012, 2012 2012 ... 2012 2012 2012, 4024 4024 ... 4024 2012 En les additionnant on constate qu’ en posant l’addition il y a 4 chiffres de plus pour B

5. 3. A= 0, 2012 20122012 ... 2012 A= 2012 20122012 ... 2012 x 10 – 8048 A= 2012 20122012 ... 2012 10 8048 NB : au numérateur il y a 8048 chiffres

6. B= 2012, 2012 20122012 ... 2012 B= 2012 20122012 ... 2012 x 10 – 8052 B= 2012 20122012 ... 2012 10 8052 NB : au numérateur il y a 8056 chiffres En effet 8052 chiffres constituaient la partie décimale de B et on avait 4 chiffres Pour la partie entière.

7. 4. 10000A − C = B 10 4 x A − C = B 2012, 2012 … 2012 – C = 2012, 2012 … 2012 2012, 2012 … 2012 – 2012, 2012 … 2012 = C 8044 chiffres après la virgule 8052 chiffres après la virgule Posons la soustraction !

8. 8044 chiffres après la virgule 8052 chiffres après la virgule 2012, 2012 … 2012 - 2012, 2012 ... 2012 20122012 -0, 0000 … 0000 2012 2012 il y a donc 8044 zéros dans ce nombre. Et par conséquent, 8052 chiffres en tout dans la partie décimale.

9. C = -0, 0000… 00002012 2012 C = 2012 2012 x 10 -8052 C = 2,012 2012 x10 8 x 10 -8052 C = 2,012 2012 x10 -8044

10. 5. Peut-on calculer le nombre A × B et donner un résultat simple ? 2012 2012 = 2012 × 10001 2012 20122012 = 2012 × 100010001 2012 201220122012 = 2012 × 1000100010001 Donc A = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8048 De même 8041 chiffres B = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8052 8049 chiffres

11. 10001 × 1000100010001 = 1000 2000 20002000 1 100010001 × 10001000100010001=1000 2000 3000 30003000 20001 100010001000 × 100010001000100010001= 1000 2000 3000 4000 40004000 3000 20001

12. 100010001...1 0001 × 100010001...1 0001 = ???? avec 10001 cent fois dans le 1er facteur • 100020003000400050006000700080009001000110012001300140015001600170018001900200021002200230024002500260027002800290030003100320033003400350036003700380039004000410042004300440045004600470048004900500051005200530054005500560057005800590060006100620063006400650066006700680069007000710072007300740075007600770078007900800081008200830084008500860087008800890090009100920093009400950096009700980099010001000100009900980097009600950094009300920091009000890088008700860085008400830082008100800079007800770076007500740073007200710070006900680067006600650064006300620061006000590058005700560055005400530052005100500049004800470046004500440043004200410040003900380037003600350034003300320031003000290028002700260025002400230022002100200019001800170016001500140013001200110010000900080007000600050004000300020001

13. On peut donc deviner le produit nombres de cette forme qui composent A et B : 1 000 2000 3000… 2010 2011 2012 201220122011 2010 … 0003 0002 0001

14. A × B = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8048 × 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8052 A × B = 2012 ² × 1 000 2000 3000… 2012 20122012 … 0003 0002 0001 × 10 – 16100 Ce n’est pas une expression simple pour autant….

15. 1. D=0,2012 2012 … 10000D = a + D 10000D= 2012 + D Et a = 2012 D’où 9999D=2012 D= 2012 / 9999 2.

16. 3. E=2013, 2013 2013… Comme précédemment 10000E = a + E 10000E = 2013000 + E D’où 9999E=2013000 E= 2013000 / 9999 E= 61000 / 303