La matrice CKM e la violazione di CP

1. La matrice CKM e la violazione di CP Massimo Lenti INFN-Firenze 2002

2. Sommario • L’angolo di Cabibbo • La matrice CKM • Le Simmetrie P, C, T • La violazione di CP • Il sistema K0 K0 • La violazione indiretta di CP: e • La violazione diretta di CP: e´/e • I triangoli di unitarietà • Il sistema B0 B0 • Fit al triangolo di unitarietà • Misura di sin2b • Conclusioni

3. L’angolo di Cabibbo • Le transizioni con cambiamento di stranezza sono molto soppresse L0gpe-ne, DS = 1 ngpe-ne, DS = 0 K+gm+nm, DS = 1 p+gm+nm, DS = 0 K+gp0e+ne, DS = 1 p+gp0e+ne, DS = 0 • La soppressione è circa 1/20 (corretta per lo spazio delle fasi) • Angolo di Cabibbo: l’autostato debole del quark di carica –1/3 è: d´ = cosq d + sinq s, sinq @ 0.22

4. s W m+ Sperimentalmente sono molto soppresse le transizioni di corrente neutra con cambiamento di stranezza: es. K0gm+m- u n d W m- Occorre allora introdurre un altro quark di carica +2/3, il c Ed un altro autostato debole di carica –1/3: s´ = cosq s - sinq d Se le masse dei quark sono uguali si ha una cancellazione delle SCNC (GIM) È stata poi scoperta la terza famiglia di quark: t e b Generalizzazione dell’angolo di Cabibbo

5. La lagrangiana d’interazione per le correnti cariche deboli si può scrivere: dove rappresenta uno dei tre doppietti left-handed dei quark Il settore di massa della lagrangiana non è diagonale: e sono due matrici :

6. Diagonalizzando con Uu e Ud matrici unitarie . Gli autostati di massa saranno allora: La lagrangiana d’interazione assumerà quindi la forma: dove

7. La matrice CKM Sperimentalmente sono osservabili le masse mu, mc, mt, md, ms, mb e la matrice unitaria:

8. I moduli degli elementi della VCKM si possono misurare da larghezze parziali di decadimento o da sezioni d’urto: n e- W d u u u n p d d | Vud | dal decadimento beta dei nuclei (ngpe-ne oppure pgne+ne) paragonato al decadimento del leptone m: | Vud | = 0.9735  0.0008

9. n | Vus | dal decadimento Ke3 (K+gp0e+ne oppure K0gp-e+ne): | Vus | = 0.2196  0.0023 e+ W s u K+ p0 u u e- n W d c | Vcd | dalla produzione di charm per interazione di fasci di neutrini sui quark d di valenza del bersaglio: | Vcd | = 0.224  0.016

10. e- n W c s K0 D- d d | Vcs | dal decadimento De3 dei mesoni con charm (D-gK0e-ne oppure D0gK+e-ne): | Vcs | = 1.04  0.16 n e+ W b c D0 B+ u u | Vcb | dai decadimenti semileptonici dei mesoni con bottom in un mesone con charm (B+gD0e+ne oppure BdgD-e+ne) e dai decadimenti semileptonici “inclusivi” del quark b nel quark c (in cui stato iniziale e finale sono ricostruiti solo parzialmente): | Vcb | = 0.0407  0.0019

11. e- n W b c | Vub | dai decadimenti semileptonici inclusivi del quark b in cui l’impulso del leptone è superiore a quello permesso da un decadimento con un quark c associato: | Vub / Vcb | = 0.089  0.012 b t d Bd W W Bd d t b | Vtd | dalle oscillazioni dei mesoni BdBd: la frequenza di oscillazione DMBd= 0.489  0.008 ps-1 dipende dal prodotto Vtb*Vtd attraverso un diagramma a box con il quark top | Vtb* Vtd | = 0.0083  0.016

12. b t s Bs W W Bs s t b | Vts | dalle oscillazioni dei mesoni BsBs: la frequenza di oscillazione DMBs> 14.6 ps-1 (95% CL) per confronto con D MBd permette di stabilire il limite | Vtd / Vts | < 0.24 e- n W t b | Vtb | dal rapporto tra decadimenti semileptonici di un quark t in un quark b e quelli con anche quark s e d (ossia quando viene identificato un adrone con b nello stato finale e quando questo non avviene, corretto per le efficienze di identificazione) | Vtb |2 = 0.99  0.29 | Vtb |2 + | Vts |2 + | Vtd |2

13. Dalle misure fatte (escludendo | Vts | e | Vtd | ) ed imponendo il vincolo di unitarietà (ed assumendo solo tre famiglie di quark), i limiti al 90% di livello di confidenza sui moduli degli elementi della matrice CKM sono: Se si permettono altre famiglie di quark i limiti diventano:

14. La matrice CKM: parametrizzazione • La matrice CKM è una matrice 3 x 3 unitaria in generale complessa • Su 18 parametri liberi iniziali le 9 condizioni di unitarietà portano a 9 parametri indipendenti • Una matrice unitaria 3 x 3 reale ha 3 parametri liberi (rotazioni in tre dimensioni g 3 angoli di Eulero). Gli altri 6 parametri liberi della matrice CKM possono quindi essere scelti come fasi complesse ( eifj ). • Le funzioni d’onda dei quark sono definite a meno di una fase: la fisica deve essere invariante per trasformazioni q g eifq q • Ridefiniamo le funzioni d’onda di ciascun quark con una fase, diversa per ciascun quark:

15. Gli autostati deboli trasformeranno allora come: equestoequivaleatrasformarela matrice CKM in: Possiamo fattorizzare una fase, per esempio e-ifu, ottenendo:

16. Una fase globale per tutta la matrice non comporta alcun vincolo per i parametri della matrice CKM • Le altre 5 fasi possono essere scelte arbitrariamente e tolgono altri 5 parametri liberi alla matrice CKM • I parametri indipendenti di VCKM sono allora 4: tre reali (angoli) ed una fase complessa • Nel caso di n famiglie di quark, con il vincolo di unitarietà restano n2 parametri liberi • Una rotazione in uno spazio n-dimensionale può essere parametrizzata con n(n-1)/2 angoli • 2n-1 fasi possono essere riassorbite dalla ridefinizione delle funzioni d’onda dei quark • Restano quindi (n-1)(n-2)/2 fasi complesse libere

17. Una matrice ortogonale può sempre essere scritta come il prodotto di tre matrici R12, R23 e R31: Vi sono 12 combinazioni di prodotti per generare la generica matrice ortogonale

18. Vi sono 6 combinazioni con due rotazioni nello stesso piano (non consecutive) Vi sono 6 combinazioni con tutte e tre le rotazioni • R = R12(q) R23(s) R12(q’) • R = R12(q) R31(t) R12(q’) • R = R23(s) R12(q) R23(s’) • R = R23(s) R31(t) R23(s’) • R = R31(t) R12(q) R31(t’) • R = R31(t) R23(s) R31(t’) • R = R12(q) R23(s) R31(t) • R = R12(q) R31(t) R23(s) • R = R23(s) R12(q) R31(t) • R = R23(s) R31(t) R12(q) • R = R31(t) R12(q) R23(s) • R = R31(t) R23(s) R12(q)

19. Le 12 combinazioni non sono tutte indipendenti: R12(q) R31(t) R12(q’) = R12(q+p/2) R23(s=t) R12(q’-p/2) R23(s) R31(t) R23(s’) = R23(q-p/2) R12(q=t) R23(s’+p/2) R31(t) R23(s) R31(t’) = R31(t+p/2) R12(q=s) R31(t’-p/2) Vi sono 9 combinazioni indipendenti: 1., 3., 5., 7.-12. La fase complessa può essere introdotta in una matrice di rotazione in modo da ottenere una matrice unitaria Per esempio R12 può diventare: oppure oppure ed analogamente per R23 e R31. Scegliamo la seconda possibilità (le altre si ottengono da una ridefinizione delle fasi dei quark) Abbiamo quindi 9 parametrizzazioni possibili nelle quali la fase complessa è sempre posta in una sottomatrice 2 x 2 mentre gli altri parametri sono reali:

20. P1: V = R12(q) R23(s,f) R12(q’)-1 = P2: V = R23(s) R12(q,f) R23(s’)-1 = P3: V = R23(s) R31(t,f) R12(q) =

21. P4: V = R12(q) R31(t,f) R23(s)-1 = P5: V = R31(t) R12(q,f) R31(t’)-1 = P6: V = R12(q) R23(s,f) R31(t) =

22. P7: V = R23(s) R12(q,f) R31(t)-1 = P8: V = R31(t) R12(q,f) R23(s) = P9: V = R31(t) R23(s,f) R12(q)-1 =

23. P3 con le trasformazioni c g c e-if, t g t e-if e b g b e-if è stata scelta dal Particle Data Group come rappresentazione standard di VCKM: I simboli per gli angoli e la fase sono secondo il PDG

24. La matrice CKM: sviluppo di Wolfenstein • Sviluppiamo VCKM in serie di l = s12@ 0.22 • Vcb = Al2, con A di O(1); Vub = Al3(r - ih), con r e h di O(1) • Trascurando elementi O(l4) (sufficienti per studi di CP nei B) otteniamo: • Per la violazione di CP nei K occorre uno sviluppo fino a O(l5): • Vud , Vus , Vcs , Vcb e Vtb sono praticamente reali, Vcd e Vts sono leggermente complessi • Vtd e Vub sono complessi

25. Gli operatori P, T, C • Parità: • In Fisica delle Particelle assumono particolare importanza gli operatori: • Inversione Temporale: • Coniugazione di Carica: dove y è la funzione d’onda

26. Parità • Inversione Spaziale: è un operatore unitario • Gli autovalori di P sono ±1 Funzione Pari • Se y ha parità definita (è autostato di P) Funzione Dispari • Esempi: Pari Dispari Non è autostato di P

27. La Parità di un sistema si conserva se: dove H è l’hamiltoniana del sistema • Esempio: Funzioni d’onda dell’Atomo di Idrogeno • Le armoniche sferiche hanno parità (-1)l

28. Parità intrinseca delle particelle • I barioni p, n, …hanno P =+1 per convenzione (conservazione del numero barionico) • I mesoni p , p0 , K , K0 , K0hanno P =-1 (pseudoscalari) • Vi sono mesoni: • Scalari (JP= 0+): a0, f 0,… • Pseudoscalari (JP= 0-): p , p0 , K , K0 , K0, h, h´ • Vettori (JP= 1-): r , w, r0 , f, K* , K0* , K0* • Vettori Assiali (JP= 1+): h1, b1,… • Fermioni e Antifermioni hanno Parità opposta • Bosoni e Antibosoni hanno Parità uguale

29. Coniugazione di Carica • Gli autovalori di C sono ±1

30. Esempio 1: pioni non sono autostati di C Esempio 2: neutrini P vietato C CP vietato Esempio 3: stati quark-antiquark • Scambio di fermioni: -1 • Simmetria di scambio degli stati di spin: (-1)S+1 • Inversione spaziale: (-1)L

31. Inversione Temporale • Antilineare: • Antiunitario: antilineare e unitario

32. Il Teorema CPT • Una simmetria S è conservata se: • l’operatore S commuta con l’hamiltoniana: [H,S] = 0 • lascia invariante la lagrangiana: S L = L • lo stato iniziale e finale hanno lo stesso autovalore di S • Le interazioni e.m. e forti conservano sia P che C che T • Le interazioni deboli violano sia P che C • Si è osservata la violazione di CP nel sistema K0K0 e B0 B0 • Teorema CPT: tutte le interazioni sono invarianti sotto la successione di C, P, T applicate in qualunque ordine

33. La violazione di CP • Nel Modello Standard delle interazioni elettrodeboli la violazione di CP è spiegata dalla fase complessa della matrice CKM: • Per ottenere il coniugato hermitiano: • mentre applicando CP: • CP è conservata se e solo se V = V*ossia se VCKM è reale

34. Il sistema K0 K0 • Il K0(ds) ha stranezza +1, il K0(sd) ha stranezza -1 • K0 e K0 sono distinguibili solo dalla stranezza (conservata nelle interazioni e.m. e forti, non in quelle deboli) • K0 e K0 hanno canali di decadimento comuni: un K0 si può trasformare in un K0 e viceversa K0g 2p, 3p g K0 • L’equazione di evoluzione di un sistema di K0 e K0 è: dove H è l’hamiltoniana efficace del sistema. dove ora H è una matrice 2 x 2 non hermitiana dove M e G sono hermitiane ossia: M21 = M12*, G21 = G12*, mentre M11, M22, G11, G11 sono reali • se CPT è conservata allora M11 = M22 = M0 e G11 = G22 = G0

35. La soluzione dell’equazione di evoluzione è: dove CS e CL sono delle costanti che dipendono dalle condizioni iniziali sono gli autovalori • Gli autostati di massa e vita media sono:

36. Sperimentalmente:

37. Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di : • Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di :

38. Violazione Indiretta di CP • Se l’Hamiltoniana commuta con CP: • Se le due ampiezze sono invece diverse allora abbiamo violazione di CP, chiamata violazione indiretta o dovuta al mixing • Definiamo il parametro e di violazione indiretta di CP: dove

39. Riscriviamo gli autostati di massa: dove • K1 e K2 sono autostati di CP: • con la convenzione: • eè in generale complesso e la sua fase, con questa convenzione, risulta:

40. Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP: • p0 p0CP=+1; • p+ p-CP=+1; • p0 p0 p0CP=-1; • p+ p- p0CP=-1 (tranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di pioni sia dispari) Se non vi è violazione di CP nel decadimento: da cui: mentre:

41. CP di pp e ppp Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP: • p0 p0 CP=+1; a C p0 = +p0; p0ggg • p+ p- CP=+1; a C(p+ p- ) = Scambio(p+ p- ) Pspaziale (p+ p- ) = (-1)I+L (-1)L I = isospin • i pioni sono bosoni (simmetrici nello scambio) • I+L pari, I+L = 2L • P(p+p-) = (-1)(-1) Pspaziale(p+p-) • CP(p+ p-) = (-1)2L= +1 • p0 p0 p0 CP=-1; a L pari tra ogni coppia di p0 • p+ p- p0 CP=-1 (tranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di pioni sia dispari) • CP (p+ p- ) = (-1)2L • CP (p0)=-1 • Pspaziale((p+p-)p0) = (-1)L • CP (p+ p- p0 ) = (-1)3L+1

42. Sperimentalmente: Se CP è conservata nel decadimento: Sperimentalmente: Nei decadimenti semileptonici del KL: Sperimentalmente:

43. Il parametro e s t,c,u d K0 W W K0 d t,c,u s • I diagrammi con u sono trascurabili (mu << mc,mt ) • Diagramma con c e c: • Diagramma con c e t: • Diagramma con t e t: • La parte reale è dominata dal diagramma con c e c • Per la parte immaginaria i tre contributi sono paragonabili

44. più precisamente… • Il primo termine vale circa il 75%, il secondo il 37%, il terzo(negativo)il 12%

45. Sperimentalmente:

46. Violazione diretta di CP • CP puo’ essere violata anche nel decadimento: • Se CPT è conservata la larghezza totale di decadimento del K0 deve essere uguale a quella del K0: • e quindi • Per simmetria di isospin: • Se la violazione di CP è piccola: da cui:

47. Teorema di Watson • Se vale il teorema CPT • Se T è conservata nelle interazioni forti • Allora per ogni decadimento debole di un adrone i a spin nullo in uno stato finale f : dove dè la fase dovuta alla diffusione elastica (causata dalle interazioni forti) tra gli adroni nello stato finale f

48. Violazione diretta di CP (II) • Gli stati a due pioni possono essere scritti in funzione dell’isospin: • Dal teorema di Watson: • Da cui per KS e KL:

49. La convenzione di Wu-Yang consiste nell’imporre • Definiamo: (dai rate sperimentali di decadimento di K0 e K+): • Avremo:

50. Analogamente: Con la convenzione di Wu-Yang: • Abbiamo: • R è chiamato il Doppio Rapporto