Cap. 5 I segmenti

1. Cap. 5 I segmenti

2. Definizione Dal vocabolariosappiamo che segmento significa Porzione, parte di un corpo, di un organo, di un oggetto Se lo troviamo ora sappiamo che il segmento deve essere una parte di qualcosa che abbiamo già studiato. Consideriamo un retta r e poniamo su di essa due punti A e B I due punti individuano un parte di retta Si dice segmento una porzione di retta delimitata da due punti detti estremi del segmento Quale? I segmenti si indicano con una lettera minuscola

3. Segmenti consecutivi Cosa è un segmento lo sappiamo ma cosa significa consecutivo? Consecutivi sono degli eventi od elementi che vengono uno dietro l’altro Perciò anche i segmenti consecutivi debbono venire uno dietro l’altro Consideriamo i segmenti AB e CD sono consecutivi? Per rispondere facciamo la seguente considerazione: una formica può andare a D ad A senza toccare il piano a B C D A a La risposta è no perché c’è una discontinuità (un intervallo) fra i due segmenti

4. Per ripristinare questa continuità debbo far coincidere due estremi Come si vede gli estremi B e C vanno a coincidere Definiamo consecutivi due segmenti che hanno un estremo in comune B A C D Segmenti consecutivi a

5. Spezzata C B D A E F A cosa vi fa pensare una spezzata? Qualcosa che si rompe in tanti pezzi A me dà l’idea di un spaghetto che si rompe Se noi rompiamo uno spaghetto e manteniamo uniti i vari pezzi per un punto abbiamo l’idea della spezzata In pratica la spezzata è data dall’unione di tanti segmenti uno consecutivi all’altro

6. Elementi di una pezzata vertici I punti di inizio e di fine della spezzata prendono il nome di estremi della spezzata C B lati D I punti che uniscono i segmenti consecutivi prendono il nome di vertici della spezzata A E I segmenti consecutivi che formano la spezzata prendono il nome di lati della spezzata F estremi

7. Tipi di spezzata Spezzata aperta semplice Spezzata aperta intrecciata Spezzata chiusa semplice Spezzata chiusa intrecciata

8. Spezzata aperta Spezzata aperta Spezzata aperta intrecciata Una spezzata si dice aperta semplice se i suoi estremi non coincidono Una spezzata aperta (con gli estremi che non coincidono) si dice intrecciata quando ha due o più lati che si intersecano

9. Spezzata Chiusa p Spezzata semplice chiusa Spezzata chiusa intrecciata Una spezzata semplice si dice chiusa se i suoi estremi coincidono Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha almeno due lati che si intersecano

10. Segmenti adiacenti Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e se giacciono sulla stessa retta Contributo esterno B C r A Segmenti adiacenti

11. Confronto di segmenti • Confrontare: Mettere di fronte persone o cose, per conoscerne la somiglianza, le affinità, le differenze • Nel nostro caso, siccome i segmenti si assomigliano tutti, ci dobbiamo limitare alle differenze di lunghezza • Confrontare due segmenti si riduce quindi a vedere quale è maggiore, quale minore o verificare se sono uguali

12. A B D C Segmento maggiore di un altro • Consideriamo i segmenti AB e CD • Facciamo coincidere gli estremi di inizio e vediamo cosa succede • Si vede che AB è maggiore di CD Un segmento è maggiore di un altro quando facendo coincidere l’inizio dei due segmenti l’estremo del secondo segmento cade all’interno del primo

13. A B D C Segmento minore di un altro • Consideriamo i segmenti AB e CD • Sovrapponiamoli e vediamo cosa succede • Si vede che AB è minore di CD Un segmento è minore di un altro quando facendo coincidere l’inizio dei due segmenti l’estremo del secondo segmento cade all’esterno del primo

14. A C B D Segmenti congruenti • Consideriamo i segmenti AB e CD • Sovrapponiamoli e vediamo cosa succede • Si vede che AB è uguale a CD Un segmento è congruente ad un altro quando facendo coincidere l’inizio dei due segmenti l’estremo del secondo coincide con l’estremo del primo

15. A C B D Somma di segmenti • Per sommare due segmenti occorre metterli uno dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo segmento con la fine del primo in modo da avere due segmenti adiacenti • Consideriamo i segmenti AB e CD • Facciamo coincidere B con C • Otteniamo il segmento AD • Tale segmento è la somma di AB + CD • AD = AB + CD

16. A B C D Differenza di segmenti • Consideriamo i segmenti AB e CD con AB maggiore di CD • Facciamo coincidere A con C • Otteniamo il segmento DB • Tale segmento è la differenza di AB – CD • DB = AB – CD Per sottrarre due segmenti occorre far coincidere l’inizio dei due segmenti, la differenza sarà data da quel segmento che sommato al secondo riproduce il primo

17. Multiplo di un segmento • Col termine multiplo ci riferiamo a qualcosa che contiene un numero intero di volte qualcos’altro • Perciò un segmento sarà multiplo di un altro se lo contiene un numero intero di volte • Consideriamo il segmento AD esso contiene 4 volte BC • AD = 4 x BC D A D C

18. Sottomultiplo di un segmento • Col termine sottomultiplo ci riferiamo a qualcosa che è contenuta un numero intero di volte qualcos’altro • Perciò un segmento sarà sottomultiplo di un altro se questo lo contiene un numero intero di volte • Consideriamo il segmento BC esso è contenuto 4 volte BC • BC = AD : 4 D A D C

19. A B Punto medio di un segmento • Medio significa ciò che è nel mezzo tra due estremi • Riferito ad un segmento sarà quel punto che è equidistante (cioè che ha la stessa distanza) dagli estremi • Il punto medio di un segmento è quel punto che lo divide in due parti congruenti M

20. Problema 1 • La somma di 2 segmenti è 35 cm la loro differenza è 5 cm trovare i due segmenti c s a Cosa succede se elimino questa differenza? b Rimangono due segmenti uguali (a e b) eliminato a = b a + b = 35 cm - 5 cm Differenza 5 cm La cui somma è 2b = 30 cm Se a = b sarà anche a + b = b + b = 2b Da cui b = 30 cm : 2 = 15 cm Ed infine s = a + c s = 15 cm + 5 cm = 20 cm a = 15 cm e c = 5 cm perciò

21. La somma di due segmenti a e b è 65 cm la loro differenza è di 15 cm trovare i due segmenti • a + b = 65 cm • a – b = 15 cm • Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del segmento b • 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm • b = 50 cm : 2 = 25 cm • a = 25 cm + 15 cm = 40 cm

22. La somma di due segmenti a e b è 65 cm la uno supera l’atro di 15 cm trovare i due segmenti (problema uguale al precedente, se uno supera l’altro significa che c’è una differenza fra i due) • a + b = 65 cm • a = b + 15 cm • Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del segmento b • 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm • b = 50 cm : 2 = 25 cm • a = 25 cm + 15 cm = 40 cm

23. 60 cm u u u u La somma di due segmenti è 60 cm uno è il triplo dell’altro. Trovare la lunghezza dei due segmenti Poniamo il segmento più piccolo pari ad u AB = u L’altro segmento sarà il suo triplo, cioè tre volte CD = 3u La loro somma sarà CD + AB = 4u Il tutto con una lunghezza di 60 cm Cioè 4u = 60 cm …. Cosa debbo fare per sapere quanto vale u (cioè uno dei due segmenti di cui si vuole conoscere il valore?) C 3u D A B AB = 15 cm CD = 3 u = 3 x 15 cm = 45 cm u = 60cm : 4 = 15 cm

24. La somma di due segmenti è di 37,5 cm uno è il quadruplodell’altro. Trovare la lunghezza dei due segmenti AB = uCD = 4 u AB + CD = u + 4 u = 5 u 5u = 37,5 cm u = 37, 5 cm : 5 = 7,5 cm AB = 7,5 cm CD = 7,5 cm x 4 =30 cm CD = 30 cm È uguale a perché

25. 42 cm u u u u la differenza di due segmenti è 42 cm uno è il triplo dell’altro, trovare la lunghezza dei due segmenti 2u C 3u D Poniamo il segmento più piccolo pari ad u AB = u L’altro segmento sarà il suo triplo, cioè tre volte CD = 3u CA = CD – AB = 3u – u = 2u 2u = 42 cm u = 42cm : 2 = 21 cm AB = 21 cm CD= 3 x AB = 3 x 21 cm = 63 cm CD = 63 cm A B

26. La differenza di due segmenti è 64 cm uno è il quintuplodell’altro AB = u CD = 5 u CA = CD – AB = 5u – u = 4 u CA = 4u = 64 cm u = 64 cm : 4 = 16 cm AB = 16 cm CD = 5 x u = 5 x 16 cm = 80 cm CD = 80 cm 80 cm