Métodos y Terapias Formulas & Ejercicios

1. Métodos y TerapiasFormulas & Ejercicios Dr. Willy H. Gerber Instituto de Fisica Universidad Austral de Chile Valdivia, Chile Conocer los distintos tipos de radioterapias y los mecanismos que asociados a estos. Objetivos: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

2. Índice Introducción www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

3. Flujo de fotones y partículas Partículas/Fotones por sección [1/m2] Flujo de partículas/fotones por sección y tiempo [1/m2s] Energía por sección [J/m2] Flujo de energía por sección y tiempo [J/m2s] ICRU 33: Radiation Quantities and Units www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

4. Fuentes de radiación Cuando estudiamos equipamiento vimos que los fotones provenían de la interacción de la materia con los electrones que se aceleraban. Sin embargo se pueden generar rayos γ en forma directa empleando el decaimiento radiactivo de núcleos inestables. • Existen cuatro mecanismos básicos: • Un protón se transforma en un neutrón (emitiendo un positrón) • Un neutrón se transforma en un protón (emitiendo un electrón) • El núcleo reduce masa emitiendo una partícula α • Liberación de un neutrón por un proceso de fisión www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

5. Fuentes de radiación Ley de decaimiento: Actividad de la muestra [Bq=1/s] Numero de núcleos [-] Tiempo medio de vida [s] Constante de decaimiento [1/s] A N T λ Unidad Bq: 1 Bequerel Unidad antigua: 1 Ci (Curie) Conversión: 37 mCi = 1 MBq 1 Ci = 3.7×1010 1/s www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

6. Definición histórica de la exposición La medición de radiación se hizo históricamente con cámaras de ionización. Como referencia se creo la unidad Roentgen que equivale a la cantidad de radiación que ioniza en 1 kg de aire a una atm y 22C la cantidad de 2.58x10-4 C: 1R = 2.58x10-4 C/kg www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

7. Exposición La relación entre actividad y la exposición es: X A d Γ Exposición [R] Actividad [R] Distancia [m] Constante de exposición [R m2] www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

8. Dosis La Dosis se define como Si se conoce la relación de la energía de la radiación con respecto de la densidad de la materia se puede convertir la exposición en dosis: Los factor de conversión son: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

9. Índice Interacción partículas cargadas - materia www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

10. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada Supongamos que el núcleo tiene carga Ze, que la distancia mínima que alcanza la partícula de carga ze es b y que la velocidad es tan alta que en primer orden la trayectoria se puede considerar recta y el núcleo inmóvil: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

11. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

12. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada Si se descompone la expresión del impulso transferido de la forma: Los primeros dos términos representan la fuerza de Coulomb máxima y el tercero un tiempo característico: El desarrollo se calculo para el caso no-relativista, en dicho caso con y www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

13. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada Por ello en el caso que limitamos el efecto relativista solo a la partícula: La energía cinética del objetivo seria en la aproximación no relativista: Si comparamos la energía transferida al núcleo y a los electrones Con lo que se concluye que la primera puede ser despreciada frente a la energía absorbida por los electrones www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

14. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada La energía absorbida por un electrón (Z=1) es: La partícula que se dispara contra el material va impactando electrones en su ruta. En una distancia dx www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

15. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada Para pasar del parámetro b al de la energía entregada a la materia: o se obtiene el diferencial y con ello la distribución de probabilidades www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

16. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada La distribución de energías: tiene mayormente una contribución para bajas energías en donde encontramos ante todo procesos de ionización y excitación. Para energías mayores, en que la contribución es menor, observamos la generación de electrones secundarios (radiación δ) Electrón δ Partícula Si se acota el espectro P(E) a energías menores a las que generan los electrones δ se tendría la energía transmitida al material. www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

17. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada La variación promedia de la energía es: con el radio clásico del electrón: so obtiene: o www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

18. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada Las energías limites están dadas por: La energía máxima a ser transferida: la energía mínima que corresponde a la energía de ionización: Se obtiene así: O el stopping power www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

19. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada La relación calculada con mecánica cuántica y tomando en cuenta el efector pantalla ε y la polarización de los electrones δ entregando la ecuación de Bethe-Bloch: Esta ecuación solo vale para partículas pesadas y no para electrones. Hans Bethe (1906-2005) Felix Bloch (1905-1983) www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

20. Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada Perdida de energía por colisiones Perdida de energía por Bremsstrahlung (radiación) El Stopping Power total se calcula de la suma ponderado por la densidad de los elementos relevantes para el tipo de mecanismo www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

21. Relación con dosis La energía entregada al material por trecho (Linear energy transfer) recorrido por la partícula es: que se puede estimar el Stopping Power La dosis se define como la suma del Stopping Power sobre las energías, ponderado con el espectro: con www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

22. Camino recorrido El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante: Para el caso del Stopping Power de colisiones con z cargas y m masa: Con lo que se obtiene una dependencia del camino recorrido en función de la energía y parámetros del proyectil: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

23. Modelamiento simplificado Al ser las ecuaciones difíciles de integrar se prosigue resolviendo los problemas en forma numérica o mediante modelos simplificados. Ejemplo se modela la curva de penetración mediante un polinomio simple: Energía mas probable 100% con C1 = 0.22 MeV C2 = 1.98 MeV/cm C3 = 0.0025 MeV/cm2 La energía media en la superficie es 50% con C4 = 2.33 MeV/cm Profundidad equivalente con C5 = 0.88 MeV1/2cm Contaminación con Bremsstrahlung www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

24. Ley de Bragg El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante: William L. Bragg (1890-1971) Deposito de energía en una profundidad especifica Camino R [cm] www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

25. Modelo de Difusión de Electrones Basado en la teoría de un gas de electrones de Fermi-Eyges Con la desviación estándar definida por Enrico Fermi (1901-1954) y la potencia lineal de scattering (cambio del cuadrado del ángulo de desviación con la distancia) www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

26. Característica de la radiación con electrones 100% 50% www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

27. Ventaja en el uso de radiación con electrones Fuente Colimador Bolus Cáncer Paciente Órgano critico www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

28. Ubicación de las zonas irradiadas Cancer Bolus 100% 50% Oregano critic www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

29. Comparación con radiación con rayos gamma Cancer Bolus 100% 50% Oregano critic www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

30. Índice Interacción fotones - materia www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

31. Absorción El flujo que aun prevalece en el haz de radiación en una profundidad z esta dada por: Flujo en la profundidad z [W] Flujo en la superficie [W] Absorción del material en la posición z [1/m] Profundidad [m] Φ(z) Φ(0) μ(z) z El factor de absorción se relaciona con el coeficiente de atenuación σy la densidad del material ρmediante www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

32. Absorción variable En ese caso la intensidad será: … o sea que: o en un limite continuo: Que para el caso μ constante se reduce a la definición original de la reducción exponencial del flujo. www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

33. Absorción puntual El flujo “que sufre scatterring” en la profundidad z será: dz z z + dz www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

34. Absorción variable En tres dimensiones debemos considerar que la Intensidad decrece en función del radio: Muestra R r www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

35. Absorción variable Si se supusiese que la energía es entregada en forma directa a la zona en que ocurre el scattering, se puede considerar un volumen dV de masa: Como la dosis es la energía absorbida por unidad de masa Con lo que se obtiene para el caso monocromático (una sola energía): www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

36. Barras o agujas Para el caso de que se apliquen semillas concadenadas o barras/agujas la dosis debe ser calculada sumando a lo largo L de la fuente. Un elemento dx de la fuente de actividad A contribuye en: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

37. Absorción Integrando a lo largo de la fuente con Se obtiene la llamada integral de Sievert y requiere de ser integrada numéricamente: www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

38. Alternativas www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

39. Ejercicios • Una muestra de Co-60 tiene 50 curie, su vida media es de 5.26 añosy al decaer emite un electrón de 0.31 MeV y dos fotones de 1.17 y 1.33 Mev. Cuanta energía emite 1g de Co-60 por segundo? (0.832 J/s) • Cual es el flujo de energía a una distancia de 10 cm si los fotones del ejercicio anterior se propagasen sin interacción con el medio? (5.89 W/m2) • Cual es la distancia media entre dos moléculas en agua? Asuma que la masa molar es 18 g y la densidad 1 g/cm3. (3.10x10-10 m) • Cual es la velocidad de una partícula alfa con una energía de 1MeV? Recuerde que la masa del protón y el neutrón son similar y del orden de 1.67x10-27 kg (5.49x106 m/s) • Si suponemos que la partícula alfa recién descrita viaja por un medio tipo agua y su distancia mínima al centro de una molécula es la mitad de la distancia media entre moléculas calculada en el ejercicio 3; cual es el tiempo característico de la interacción? (5.67x10-17 s) • Cual es la fuerza máxima que ejerce esta partícula alfa sobre la molécula de agua? (1.44x10+6 N) • Cual es el impulso promedio que se asocia a la fuerza estimada en 6 y el tiempo de interacción de 5? (8.14x10-11 kgm/s) www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

40. Ejercicios • Cual es la energía transferida a una molécula de agua como un todo?(1.11x10+5 J) • Cual es la energía transferida a un electrón? (1.11x10+5 J) • Cual es la relación entre las energías transferida a un electrones respecto de las de la molécula (núcleo)? (3.28x10+4) • Si los electrones penetran una muestra en 2.2 cm cual es la energía probable? (5.49 MeV) • Cual es el R50? (1.1 cm) • Cual es la energía en la superficie? (2.56 MeV) www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

41. Ejercicios Simule en forma manual la forma como un haz se propaga en la aproximación Pencil Beam. Considere un haz monocromático de 1 MeV en un medio tipo agua y vaya calculando la proporción que logra sobrevivir cm a cm en un total de 20 cm. Indique además la proporción que se genera en fotones involucrados en scattering Rayleigh, Compton, Fotoeléctrico y pares en cada elemento. Considere los factores de absorción Rayleigh: 4x10]4 cm2/g, Fotoeléctrico: 3 5x10]4 cm2/g 3.5x10 cm /g, Compton: 6x10]2 cm2/g y los restantes con valores despreciables. Aplique el método cono colapsado en una hoja cuadriculada. Calcule como se distribuyen los electrones al decimo paso para el caso de que un 50% continua al cuadrito en la dirección de movimiento, y cada vez 25% a los cuadritos paralelos al cuadro anterior descrito. Usando los cálculos de los dos ejercicios anteriores y empleando la tabla de números rondom que se muestra a continuación, calcule para tres casos tirando los dados si se genero electrón y donde fue este a dar. Asuma que el cuadriculado del ejercicio 2 tiene una malla de 1x1 mm. 0.830301|0.750572|0.160337|0.054459|0.043647|0.158783|0.961808 0 897865|0 666354|0 623756|0 746108|0 693814|0 449321|0 2084450.897865|0.666354|0.623756|0.746108|0.693814|0.449321|0.2084450.954671|0.386558|0.269915|0.940382|0.993867|0.707698 www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08